モーダルマトリックス

線形代数学では、様相行列は固有値と固有ベクトルを含む対角化の過程で用いられる。^[1]

具体的には、行列のモーダル行列は、の固有ベクトルを の列としてn × n行列にしたものとなる。これは相似変換において利用される。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

ここで、はn × n対角行列で、 の固有値はの主対角線上に、それ以外の位置では零である。この行列はのスペクトル行列と呼ばれる。固有値は、 における対応する固有ベクトルの左から右への順序と同じ順序で、左から右、上から下の順序で現れなければならない。^[2] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

例

マトリックス

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}}}$

固有値とそれに対応する固有ベクトルを持つ

${\displaystyle \lambda _{1}=-1,\quad \,\mathbf {b} _{1}=\left(-3,6,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).}$

対角行列は、 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.}$

逆行列 の1つの選択肢は、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.}$^[3]

固有ベクトル自体は一意ではなく、また、との両方が入れ替わる可能性があるため、との両方が一意ではないことに注意してください。^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D}$

一般化モーダル行列

をn × n行列とする。一般化様相行列は、 n × n行列であり、その列をベクトルとみなすと、その標準基底を形成し、以下の規則に従って現れる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

• 1 つのベクトル (つまり、長さが 1 つのベクトル) で構成されるすべてのジョルダン連鎖は、の最初の列に表示されます。 ${\displaystyle M}$
• 1 つのチェーンのすべてのベクトルは、 の隣接する列に一緒に表示されます。 ${\displaystyle M}$
• 各連鎖は昇順で現れる（つまり、ランク1の一般化固有ベクトルは同じ連鎖のランク2の一般化固有ベクトルの前に現れ、ランク2の一般化固有ベクトルは同じ連鎖のランク3の一般化固有ベクトルの前に現れる、など）。^[5] ${\displaystyle M}$

それは次のことを示すことができる

${\displaystyle AM=MJ,}$

1

ここではジョルダン標準形行列である。 を前置乗算することで、 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M^{-1}}$

${\displaystyle J=M^{-1}AM.}$

2

これらの行列を計算する場合、式（１ ）は行列の逆行列を必要としないため、２つの式の中で検証するのが最も簡単であることに注意する。 ^[6]

例

この例は、4つのジョルダン連鎖を持つ一般化モーダル行列を示しています。残念ながら、低次の興味深い例を構築するのは少し難しいです。^[7]この行列は

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}}$

は代数的重複度の固有値を1つ持ちます。 の標準基底は、階数3の線形独立な一般化固有ベクトル1つ（一般化固有ベクトルの階数。一般化固有ベクトルを参照）、階数2の一般化固有ベクトル2つ、階数1の一般化固有ベクトル4つで構成されます。つまり、3つのベクトルからなる1つの連鎖、2つのベクトルからなる1つの連鎖、1つのベクトルからなる2つの連鎖、および1つのベクトルからなる2つの連鎖で構成されます。 ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ ${\displaystyle \mu _{1}=7}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {z} _{1}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {w} _{1}\right\}}$

ジョルダン正規形の「ほぼ対角」行列は、次のようにして得られます。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},}$

ここで、 は の一般化モード行列であり、 の列はの標準基底であり、 である。^[8]一般化固有ベクトル自体は一意ではなく、 との 列の一部は交換可能であるため、と は一意ではないことに注意すること。^[9] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AM=MJ}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$

注記

1. ブロンソン（1970年、179～183ページ）
2. ブロンソン（1970年、181ページ）
3. Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 271, 272)
4. ブロンソン（1970年、181ページ）
5. ブロンソン（1970年、205ページ）
6. ブロンソン（1970年、206～207ページ）
7. ネリング（1970年、122、123ページ）
8. ブロンソン（1970年、208、209ページ）
9. ブロンソン（1970年、206ページ）

参考文献

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• ブロンソン、リチャード（1970）、マトリックス法入門、ニューヨーク：アカデミックプレス、LCCN  70097490
• Nering, Evar D. (1970),線形代数と行列理論（第2版）、ニューヨーク：Wiley、LCCN  76091646

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