Class of mathematical functions
数学 において 、 ワイエルシュトラスの楕円関数 は、特に単純な形をとる 楕円関数 です。 カール・ワイエルシュトラスにちなんで名付けられました。このクラスの関数は ℘関数 とも呼ばれ 、通常は記号℘（独特の 文字 p ）で表されます。これらは、楕円関数、すなわち 二重周期性 を持つ 有理型関数 の理論において重要な役割を果たします。℘関数とその導関数は、 楕円曲線を パラメータ化するために使用でき 、与えられた周期格子に関して楕円関数の体を生成します。
ワイエルシュトラス関数 の記号 ℘ {\displaystyle \wp }
ワイエルシュトラス関数 のモデル ℘ {\displaystyle \wp }
モチベーション の形の 3 次関数 （ここで は の複素数）は、 有理的にパラメータ化する ことはできません 。 [1] それでも、これをパラメータ化する方法を見つけたいと考えています。 C g 2 , g 3 C = { ( x , y ) ∈ C 2 : y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 } {\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}} g 2 , g 3 ∈ C {\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} } g 2 3 − 27 g 3 2 ≠ 0 {\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}
二次 関数 、つまり単位円 の場合 、正弦関数とその導関数である余弦関数を使用した (非有理的な) パラメーター化が存在します。 正弦と余弦の周期性のため 、定義域として選択されるため、関数は一対一になります。 K = { ( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 1 } {\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}} ψ : R / 2 π Z → K , t ↦ ( sin t , cos t ) . {\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).} R / 2 π Z {\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }
同様に、 二重周期関数とその導関数を用いて、 を のパラメータ化 、すなわち を介して得ることができる 。このパラメータ化は の定義域を持ち 、これは位相的に トーラス と同値である。 [2] C g 2 , g 3 C {\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }} ℘ {\displaystyle \wp } ( x , y ) = ( ℘ ( z ) , ℘ ′ ( z ) ) {\displaystyle (x,y)=(\wp (z),\wp '(z))} C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }
三角関数にはもう一つ類似点があります。積分関数を考えてみましょう。
これは と を代入することで簡略化できます 。 つまり です 。つまり、正弦関数は積分関数の逆関数です。 [3] a ( x ) = ∫ 0 x d y 1 − y 2 . {\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.} y = sin t {\displaystyle y=\sin t} s = arcsin x {\displaystyle s=\arcsin x} a ( x ) = ∫ 0 s d t = s = arcsin x . {\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.} a − 1 ( x ) = sin x {\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}
楕円関数は楕円積分 の逆関数である 。特に、次のように定義する。
すると、 複素平面へ の の拡張は -関数に等しい。 [4] この可逆性は、 複素解析において、 パンルヴェ性質 を満たす特定の 非線形微分方程式 、すなわち、 極を 唯一の 可動特異点 として許容する方程式の解を求めるために使用される 。 [5] u ( z ) = ∫ z ∞ d s 4 s 3 − g 2 s − g 3 . {\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.} u − 1 {\displaystyle u^{-1}} ℘ {\displaystyle \wp }
意味 不変量を持つ -関数 の 視覚化。 白は極、黒はゼロに対応します。 ℘ {\displaystyle \wp } g 2 = 1 + i {\displaystyle g_{2}=1+i} g 3 = 2 − 3 i {\displaystyle g_{3}=2-3i} を2つの 複素数 とし、それぞれが に対して 線型独立で あるとし 、 をそれらの複素数によって生成される 周期格子 とします 。このとき、 -関数は以下のように定義されます。 ω 1 , ω 2 ∈ C {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} } R {\displaystyle \mathbb {R} } Λ := Z ω 1 + Z ω 2 := { m ω 1 + n ω 2 : m , n ∈ Z } {\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}} ℘ {\displaystyle \wp }
℘ ( z , ω 1 , ω 2 ) := ℘ ( z ) = 1 z 2 + ∑ λ ∈ Λ ∖ { 0 } ( 1 ( z − λ ) 2 − 1 λ 2 ) . {\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).} この級数は 複素トーラス 内で局所的に 絶対的に一様 収束します。 C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }
上半平面 において 、 格子 の 生成元 として と を用いるのが一般的です 。 を で割ると、 格子 は を持つ 格子 に同型に写像されます 。は の 代わりに使用できるため 、一般性を失うことなく を仮定し 、 を定義できます 。この定義を用いると、 が得られます 。 1 {\displaystyle 1} τ {\displaystyle \tau } H := { z ∈ C : Im ( z ) > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}} ω 1 {\textstyle \omega _{1}} Z ω 1 + Z ω 2 {\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}} Z + Z τ {\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau } τ = ω 2 ω 1 {\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}} − τ {\displaystyle -\tau } τ {\displaystyle \tau } τ ∈ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } ℘ ( z , τ ) := ℘ ( z , 1 , τ ) {\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )} ℘ ( z , ω 1 , ω 2 ) = ω 1 − 2 ℘ ( z / ω 1 , ω 2 / ω 1 ) {\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1},\omega _{2}/\omega _{1})}
プロパティ ℘ {\displaystyle \wp } は、各周期 に 2 次の極を持つ 有理型関数 です 。 λ {\displaystyle \lambda } Λ {\displaystyle \Lambda } ℘ {\displaystyle \wp } は次の点で同次関数 である 。 ℘ ( λ z , λ ω 1 , λ ω 2 ) = λ − 2 ℘ ( z , ω 1 , ω 2 ) . {\displaystyle \wp (\lambda z,\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-2}\wp (z,\omega _{1},\omega _{2}).} ℘ {\displaystyle \wp } は偶関数です。これは すべての に対して であることを意味し 、次のように表すことができます。 ℘ ( z ) = ℘ ( − z ) {\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)} z ∈ C ∖ Λ {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda } ℘ ( − z ) = 1 ( − z ) 2 + ∑ λ ∈ Λ ∖ { 0 } ( 1 ( − z − λ ) 2 − 1 λ 2 ) = 1 z 2 + ∑ λ ∈ Λ ∖ { 0 } ( 1 ( z + λ ) 2 − 1 λ 2 ) = 1 z 2 + ∑ λ ∈ Λ ∖ { 0 } ( 1 ( z − λ ) 2 − 1 λ 2 ) = ℘ ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}} 最後から2番目の等式は、 であるため成り立ちます 。和は絶対収束するので、この並べ替えによって極限は変わりません。 { − λ : λ ∈ Λ } = Λ {\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda } の導関数は 次のように与えられる: [6] ℘ {\displaystyle \wp } ℘ ′ ( z ) = − 2 ∑ λ ∈ Λ 1 ( z − λ ) 3 . {\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.} ℘ {\displaystyle \wp } および は、 周期 および と 二重周期的 である 。 [6] これは次を意味する。 すべての に対して および が成り立つ 。 ℘ ′ {\displaystyle \wp '} ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} ℘ ( z + ω 1 ) = ℘ ( z ) = ℘ ( z + ω 2 ) , and ℘ ′ ( z + ω 1 ) = ℘ ′ ( z ) = ℘ ′ ( z + ω 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}} ℘ ( z + λ ) = ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)} ℘ ′ ( z + λ ) = ℘ ′ ( z ) {\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)} λ ∈ Λ {\displaystyle \lambda \in \Lambda }
ローラン展開 とする 。すると、関数 に対して 次 の ローラン展開 が成り立つ。
ただし 、 に対しては アイゼンシュタイン級数 と呼ばれる 。 [6] r := min { | λ | : 0 ≠ λ ∈ Λ } {\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}} 0 < | z | < r {\displaystyle 0<|z|<r} ℘ {\displaystyle \wp } ℘ ( z ) = 1 z 2 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n + 1 ) G 2 n + 2 z 2 n {\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}} G n = ∑ 0 ≠ λ ∈ Λ λ − n {\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}} n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3}
微分方程式 と を設定する と、 関数は微分方程式 [6] を満たす。この関係は、 と のべき乗の線形結合を形成して における 極を消去すること で検証できる。これにより 、リウヴィルの定理 により定数となる全楕円関数が得られる 。 [6] g 2 = 60 G 4 {\displaystyle g_{2}=60G_{4}} g 3 = 140 G 6 {\displaystyle g_{3}=140G_{6}} ℘ {\displaystyle \wp } ℘ ′ 2 ( z ) = 4 ℘ 3 ( z ) − g 2 ℘ ( z ) − g 3 . {\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.} ℘ {\displaystyle \wp } ℘ ′ {\displaystyle \wp '} z = 0 {\displaystyle z=0}
不変量 単位円上の ノーム q の 2 乗の関数としての不変量 g 3 の実部。 単位円上のノーム q の 2 乗の関数としての不変量 g 3 の虚数部。 上記の微分方程式と の係数は 不変量 として知られています 。これらは格子に依存するため、 および における関数として見ることができます 。 g 2 {\displaystyle g_{2}} g 3 {\displaystyle g_{3}} Λ {\displaystyle \Lambda } ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} ω 2 {\displaystyle \omega _{2}}
級数展開によれば、 およびは次数 および の 同次関数 であることがわかる 。これは に対して [7] である。 g 2 {\displaystyle g_{2}} g 3 {\displaystyle g_{3}} − 4 {\displaystyle -4} − 6 {\displaystyle -6} g 2 ( λ ω 1 , λ ω 2 ) = λ − 4 g 2 ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})} g 3 ( λ ω 1 , λ ω 2 ) = λ − 6 g 3 ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})} λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0}
および が となるように選択される 場合 、 および は 上半平面 上の関数として解釈できます 。 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} Im ( ω 2 ω 1 ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0} g 2 {\displaystyle g_{2}} g 3 {\displaystyle g_{3}} H := { z ∈ C : Im ( z ) > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}
とする 。次式が成り立つ。 [8] これは、 g 2 と g 3 がこのようにスケールされることを意味する。集合 と の関数として 、、 および はモジュラー形式 と呼ばれる 。 τ = ω 2 ω 1 {\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}} g 2 ( 1 , τ ) = ω 1 4 g 2 ( ω 1 , ω 2 ) , {\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),} g 3 ( 1 , τ ) = ω 1 6 g 3 ( ω 1 , ω 2 ) . {\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).} g 2 ( τ ) := g 2 ( 1 , τ ) {\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )} g 3 ( τ ) := g 3 ( 1 , τ ) . {\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).} τ ∈ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } g 2 {\displaystyle g_{2}} g 3 {\displaystyle g_{3}}
およびの フーリエ 級数 は 次のように与えられる: [9] ここで は 除数関数 、 は 名詞 である。 g 2 {\displaystyle g_{2}} g 3 {\displaystyle g_{3}} g 2 ( τ ) = 4 3 π 4 [ 1 + 240 ∑ k = 1 ∞ σ 3 ( k ) q 2 k ] {\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]} g 3 ( τ ) = 8 27 π 6 [ 1 − 504 ∑ k = 1 ∞ σ 5 ( k ) q 2 k ] {\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]} σ m ( k ) := ∑ d ∣ k d m {\displaystyle \sigma _{m}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{m}} q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}
モジュラー判別式 単位円上のノーム q の 2 乗の関数としての判別式の実部。 モジュラー 判別式は 、微分方程式の特性多項式の 判別式 として以下のように定義される 。 判別式は重み のモジュラー形式である 。つまり、 モジュラー群 の作用下で、 のように変換される 。 ここで となる。 [10] Δ {\displaystyle \Delta } ℘ ′ 2 ( z ) = 4 ℘ 3 ( z ) − g 2 ℘ ( z ) − g 3 {\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}} Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 . {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.} 12 {\displaystyle 12} Δ ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) 12 Δ ( τ ) {\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )} a , b , d , c ∈ Z {\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} } a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1}
ここで 、は デデキントのイータ関数 である 。 [11] Δ = ( 2 π ) 12 η 24 {\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}} η {\displaystyle \eta }
のフーリエ係数については 、 ラマヌジャンのタウ関数 を参照してください。 Δ {\displaystyle \Delta }
定数 e 1 、 e 2 そして e 3 e 1 {\displaystyle e_{1}} であり 、通常は 半周期における関数 の値を表すのに用いられる。 これらは対ごとに異なり、格子のみに依存し 、生成元には依存しない。 [12] e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} ℘ {\displaystyle \wp } e 1 ≡ ℘ ( ω 1 2 ) {\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)} e 2 ≡ ℘ ( ω 2 2 ) {\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)} e 3 ≡ ℘ ( ω 1 + ω 2 2 ) {\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)} Λ {\displaystyle \Lambda }
e 1 {\displaystyle e_{1}} 、 およびは 3次多項式の根であり 、次式で関係付けられます。 これらの根は異なるため、判別式は 上半平面上では消えません。 [13] ここで、微分方程式を書き直すことができます。 つまり、半周期は のゼロです 。 e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} 4 ℘ ( z ) 3 − g 2 ℘ ( z ) − g 3 {\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}} e 1 + e 2 + e 3 = 0. {\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.} Δ {\displaystyle \Delta } ℘ ′ 2 ( z ) = 4 ( ℘ ( z ) − e 1 ) ( ℘ ( z ) − e 2 ) ( ℘ ( z ) − e 3 ) . {\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).} ℘ ′ {\displaystyle \wp '}
不変量 とは 次の方法でこれらの定数を使って表現できる： [14] 、 およびは モジュラーラムダ関数 と関連している ： g 2 {\displaystyle g_{2}} g 3 {\displaystyle g_{3}} g 2 = − 4 ( e 1 e 2 + e 1 e 3 + e 2 e 3 ) {\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})} g 3 = 4 e 1 e 2 e 3 {\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} λ ( τ ) = e 3 − e 2 e 1 − e 2 , τ = ω 2 ω 1 . {\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}
ヤコビの楕円関数との関係 数値計算では、ワイエルシュトラスの楕円関数をヤコビの楕円関数 で計算すると便利な場合がよくあります 。
基本的な関係は [15] であり 、は上で述べた3つの根であり、 ヤコビ関数の 係数 k は等しく
、その偏角 wは 等しい。 ℘ ( z ) = e 3 + e 1 − e 3 sn 2 w = e 2 + ( e 1 − e 3 ) dn 2 w sn 2 w = e 1 + ( e 1 − e 3 ) cn 2 w sn 2 w {\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}} e 1 , e 2 {\displaystyle e_{1},e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} k = e 2 − e 3 e 1 − e 3 {\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}} w = z e 1 − e 3 . {\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}
ヤコビのシータ関数との関係 この関数は ヤコビのシータ関数 で表すことができます 。 ここで は名前、 は周期比です 。 [16] これは を計算するための非常に高速なアルゴリズムも提供します 。 ℘ ( z , τ ) = ℘ ( z , 1 , ω 2 / ω 1 ) {\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})} ℘ ( z , τ ) = ( π θ 2 ( 0 , q ) θ 3 ( 0 , q ) θ 4 ( π z , q ) θ 1 ( π z , q ) ) 2 − π 2 3 ( θ 2 4 ( 0 , q ) + θ 3 4 ( 0 , q ) ) {\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)} q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }} τ {\displaystyle \tau } ( τ ∈ H ) {\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )} ℘ ( z , τ ) {\displaystyle \wp (z,\tau )}
楕円曲線との関係 3次曲線の複素 射影平面への埋め込みを考える
C ¯ g 2 , g 3 C = { ( x , y ) ∈ C 2 : y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 } ∪ { O } ⊂ C 2 ∪ P 1 ( C ) = P 2 ( C ) . {\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{O\}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).} ここで、 は 無限遠直線 上の点である 。この三次曲線には、 ならば有理パラメータ化は存在しない 。 [1]この場合、楕円曲線とも呼ばれる。しかしながら、 同次座標系 においては、 -関数とその導関数 を用いた パラメータ化が存在する 。 [17] O {\displaystyle O} P 1 ( C ) {\displaystyle \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )} Δ ≠ 0 {\displaystyle \Delta \neq 0} ℘ {\displaystyle \wp } ℘ ′ {\displaystyle \wp '}
φ ( ℘ , ℘ ′ ) : C / Λ → C ¯ g 2 , g 3 C , z ↦ { [ ℘ ( z ) : ℘ ′ ( z ) : 1 ] z ∉ Λ [ 0 : 1 : 0 ] z ∈ Λ {\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}} これで、マップは 全単射 となり 、楕円曲線をパラメーター化します 。 φ {\displaystyle \varphi } C ¯ g 2 , g 3 C {\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}
C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } はアーベル群 であり、商 位相 を備えた 位相空間 です 。
任意のワイエルシュトラス立方体はこのように与えられることが示せる。つまり、任意 ののペアに対して 、 となる 格子が存在する。 g 2 , g 3 ∈ C {\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} } Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 ≠ 0 {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0} Z ω 1 + Z ω 2 {\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}
g 2 = g 2 ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})} そして [ 18] g 3 = g 3 ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}
上の楕円曲線は上でパラメータ化できる という主張は 、 モジュラリティ定理として知られています。これは 数論 における重要な定理です。これは、 アンドリュー・ワイルズによる フェルマーの最終定理の 証明（1995年） の一部でした 。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
加法定理 加法定理 [19] によれば、 と が に属さない 場合 、 となります。 これは、点 と が同一線上にあり、 楕円曲線 の群法則 の幾何学的形式であることを示しています 。 z , w , {\displaystyle z,w,} z + w {\displaystyle z+w} Λ {\displaystyle \Lambda } det [ 1 ℘ ( z ) ℘ ′ ( z ) 1 ℘ ( w ) ℘ ′ ( w ) 1 ℘ ( z + w ) − ℘ ′ ( z + w ) ] = 0. {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\wp (z)&\wp '(z)\\1&\wp (w)&\wp '(w)\\1&\wp (z+w)&-\wp '(z+w)\end{bmatrix}}=0.} P = ( ℘ ( z ) , ℘ ′ ( z ) ) , {\displaystyle P=(\wp (z),\wp '(z)),} Q = ( ℘ ( w ) , ℘ ′ ( w ) ) , {\displaystyle Q=(\wp (w),\wp '(w)),} R = ( ℘ ( z + w ) , − ℘ ′ ( z + w ) ) {\displaystyle R=(\wp (z+w),-\wp '(z+w))}
これは、定数 を考えることによって 証明できます [20]。 すると 、楕円関数は 零点に3次の極を持ち、したがって和が に属する3つの零点を持ちます 。零点のうち2つは と であり 、したがって3番目の零点は と合同です 。 A , B {\displaystyle A,B} ℘ ′ ( z ) = A ℘ ( z ) + B , ℘ ′ ( w ) = A ℘ ( w ) + B . {\displaystyle \wp '(z)=A\wp (z)+B,\quad \wp '(w)=A\wp (w)+B.} ℘ ′ ( ζ ) − A ℘ ( ζ ) − B {\displaystyle \wp '(\zeta )-A\wp (\zeta )-B} Λ {\displaystyle \Lambda } z {\displaystyle z} w {\displaystyle w} − z − w {\displaystyle -z-w}
加法定理は次のように変形できる ： [21] z , w , z − w , z + w ∉ Λ {\displaystyle z,w,z-w,z+w\not \in \Lambda } ℘ ( z + w ) = 1 4 [ ℘ ′ ( z ) − ℘ ′ ( w ) ℘ ( z ) − ℘ ( w ) ] 2 − ℘ ( z ) − ℘ ( w ) . {\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}
複製式も同様である： [21] ℘ ( 2 z ) = 1 4 [ ℘ ″ ( z ) ℘ ′ ( z ) ] 2 − 2 ℘ ( z ) . {\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}
証明 これは上記の加法定理から証明できます。点 と は 同一線上にあり、曲線 上にあります 。その直線の傾きは です。 したがって 、 、 、 は すべて 3次関数 を満たします
。 ただし は定数です。これは となり 、したがって 、必要な式が得られます。 P = ( ℘ ( u ) , ℘ ′ ( u ) ) , Q = ( ℘ ( v ) , ℘ ′ ( v ) ) , {\displaystyle P=(\wp (u),\wp '(u)),Q=(\wp (v),\wp '(v)),} R = ( ℘ ( u + v ) , − ℘ ′ ( u + v ) ) {\displaystyle R=(\wp (u+v),-\wp '(u+v))} y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}} m = y P − y Q x P − x Q = ℘ ′ ( u ) − ℘ ′ ( v ) ℘ ( u ) − ℘ ( v ) . {\displaystyle m={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}={\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}.} x = x P = ℘ ( u ) {\displaystyle x=x_{P}=\wp (u)} x = x Q = ℘ ( v ) {\displaystyle x=x_{Q}=\wp (v)} x = x R = ℘ ( u + v ) {\displaystyle x=x_{R}=\wp (u+v)} ( m x + q ) 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 , {\displaystyle (mx+q)^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3},} q {\displaystyle q} 4 x 3 − m 2 x 2 − ( 2 m q + g 2 ) x − g 3 − q 2 = 0. {\displaystyle 4x^{3}-m^{2}x^{2}-(2mq+g_{2})x-g_{3}-q^{2}=0.} x P + x Q + x R = m 2 4 {\displaystyle x_{P}+x_{Q}+x_{R}={\frac {m^{2}}{4}}} ℘ ( u + v ) + ℘ ( u ) + ℘ ( v ) = 1 4 [ ℘ ′ ( u ) − ℘ ′ ( v ) ℘ ( u ) − ℘ ( v ) ] 2 . {\displaystyle \wp (u+v)+\wp (u)+\wp (v)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right]^{2}.}
直接的な証明は以下の通りである。 [22] 任意の楕円関数は 次のように表される。
ここで は ワイエルシュトラスのシグマ関数 であり、 はそれぞれ周期平行四辺形の零点と極である。関数 を の関数として考えると 、
となる。 両辺に を掛け 、 とすると、 となる ので、 f {\displaystyle f} f ( u ) = c ∏ i = 1 n σ ( u − a i ) σ ( u − b i ) c ∈ C {\displaystyle f(u)=c\prod _{i=1}^{n}{\frac {\sigma (u-a_{i})}{\sigma (u-b_{i})}}\quad c\in \mathbb {C} } σ {\displaystyle \sigma } a i , b i {\displaystyle a_{i},b_{i}} ℘ ( u ) − ℘ ( v ) {\displaystyle \wp (u)-\wp (v)} u {\displaystyle u} ℘ ( u ) − ℘ ( v ) = c σ ( u + v ) σ ( u − v ) σ ( u ) 2 . {\displaystyle \wp (u)-\wp (v)=c{\frac {\sigma (u+v)\sigma (u-v)}{\sigma (u)^{2}}}.} u 2 {\displaystyle u^{2}} u → 0 {\displaystyle u\to 0} 1 = − c σ ( v ) 2 {\displaystyle 1=-c\sigma (v)^{2}} c = − 1 σ ( v ) 2 ⟹ ℘ ( u ) − ℘ ( v ) = − σ ( u + v ) σ ( u − v ) σ ( u ) 2 σ ( v ) 2 . {\displaystyle c=-{\frac {1}{\sigma (v)^{2}}}\implies \wp (u)-\wp (v)=-{\frac {\sigma (u+v)\sigma (u-v)}{\sigma (u)^{2}\sigma (v)^{2}}}.}
定義により、 ワイエルシュトラスのゼータ関数は 、 両辺を対数微分して次式を得る 。
再び定義により、 両辺を微分して項を整理すると次式を得る。 次式が微分方程式である
ことを知っているので 、項を整理すると、必要な式が得られる。 d d z ln σ ( z ) = ζ ( z ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \sigma (z)=\zeta (z)} u {\displaystyle u} ℘ ′ ( u ) ℘ ( u ) − ℘ ( v ) = ζ ( u + v ) − 2 ζ ( u ) − ζ ( u − v ) {\displaystyle {\frac {\wp '(u)}{\wp (u)-\wp (v)}}=\zeta (u+v)-2\zeta (u)-\zeta (u-v)} ζ ′ ( z ) = − ℘ ( z ) {\displaystyle \zeta '(z)=-\wp (z)} − ℘ ( u + v ) = − ℘ ( u ) + 1 2 ℘ ″ ( v ) [ ℘ ( u ) − ℘ ( v ) ] − ℘ ′ ( u ) [ ℘ ′ ( u ) − ℘ ′ ( v ) ] [ ℘ ( u ) − ℘ ( v ) ] 2 {\displaystyle -\wp (u+v)=-\wp (u)+{\frac {1}{2}}{\frac {\wp ''(v)[\wp (u)-\wp (v)]-\wp '(u)[\wp '(u)-\wp '(v)]}{[\wp (u)-\wp (v)]^{2}}}} ℘ ″ {\displaystyle \wp ''} 2 ℘ ″ = 12 ℘ 2 − g 2 {\displaystyle 2\wp ''=12\wp ^{2}-g_{2}} ℘ ( u + v ) = 1 4 [ ℘ ′ ( u ) − ℘ ′ ( v ) ℘ ( u ) − ℘ ( v ) ] 2 − ℘ ( u ) − ℘ ( v ) . {\displaystyle \wp (u+v)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right]^{2}-\wp (u)-\wp (v).}
タイポグラフィ ワイエルシュトラスの楕円関数は、通常、特殊な小文字の ℘ で表記されます。これは、ワイエルシュトラスが 1862 年から 1863 年の講義で導入した独自の表記法です。 [脚注 1] これを通常の数学表記文字 P: 𝒫 および 𝓅 と混同しないでください。
コンピュータ 科学では、文字 ℘ は TeX \wpと同様に使用できます 。Unicodeでは コードポイントは U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P で、より正確な別名は weierstrass elliptic function です 。 [脚注2] HTML では、 または の ようにエスケープできます 。 ℘℘
参照
^この記号は、1880年代にシュワルツが出版したヴァイエルシュトラスの講義録でも使用されました。また、1902年に E・T・ウィテカー が出版した 『現代分析講座 』の初版で も使用されました。 [23] ^
Unicode コンソーシアムは 、この文字の名称に関して2つの問題点を認めている。1つは、この文字は実際には小文字であり、もう1つは U+1D4C5 𝓅 MATHEMATICAL SCRIPT SMALL P のような「スクリプト」クラスの文字ではなく、ワイエルシュトラスの楕円関数を表す文字である点である。Unicodeは、この修正のためにこの別名を追加した。 [24] [25]
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外部リンク ウィキメディア・コモンズには、ワイエルシュトラスの楕円関数 に関連するメディアがあります 。
「ワイエルシュトラスの楕円関数」 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] Mathworld における Weierstrass の楕円関数。 WP Reinhardt と PL Walker 著「DLMF ( 数学関数のデジタル ライブラリ ) 」の第 23 章「ワイエルシュトラスの楕円関数とモジュラー関数」 。 David Dumas が C 言語で実装した Weierstrass P 関数とその導関数 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega) _{2}).\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399431b3e815d3f466fc4e4dec7298ef7d96b1c3)
![{\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd81d11a1df2082808812b0f16ee469f29a985e)
![{\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64cf8b72d29a1706f8f9da4befb8145e31aed60b)
![{\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032145bf25123dd8af552de7cc8244c2c357e3df)
![{\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w)。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b6b659964aa5935dd8c1dfd0318742560ef6fb)
![{\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa573cd05b99df6f4d40ca1d50ddba07f26011e)
![{\displaystyle \wp (u+v)+\wp (u)+\wp (v)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331ecda09689995c80cacfce444e30291b14eccd)
![{\displaystyle -\wp (u+v)=-\wp (u)+{\frac {1}{2}}{\frac {\wp ''(v)[\wp (u)-\wp (v)]-\wp '(u)[\wp '(u)-\wp '(v)]}{[\wp (u)-\wp (v)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0d5948e8ba6e1e0aed8e744b0123dbf0d9bc88)
![{\displaystyle \wp (u+v)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right]^{2}-\wp (u)-\wp (v)。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622a6dfc9657391fe8faea877504ce5cd2c7a46e)
