モノイドの表現

代数学において、モノイドの表現（または半群の表現）とは、モノイド（または半群）を、生成元の集合Σと、 Σによって生成される自由モノイド Σ ^∗（または自由半群Σ ⁺）上の関係の集合を用いて記述することである。モノイドは、自由モノイド（または自由半群）をこれらの関係で割った商として表現される。これは、群論における群の表現に類似している。

数学的構造として、モノイド表現は文字列書き換えシステム（セミThueシステムとも呼ばれる）と同一である。すべてのモノイドはセミThueシステム（おそらく無限アルファベット上）で表現できる。^[1]

プレゼンテーションと表現を混同しないでください。

工事

これらの関係は、 Σ ^∗上の（有限）二項関係 Rとして与えられる。商モノイドを形成するために、これらの関係は以下のようにモノイド合同に拡張される。

まず、 Rの対称閉包R ∪ R ⁻¹をとる。これを対称関係E ⊂ Σ ^∗ × Σ ^{∗に拡張し、} x ~ _E yが、 ( u , v ) ∈ R ∪ R ⁻¹となるような文字列u , v , s , t ∈ Σ ^∗に対して、 x = sutかつy = svtと定義する。最後に、 Eの反射的かつ推移的な閉包をとり、これはモノイド合同となる。

典型的な状況では、関係Rは単に方程式の集合として与えられ、したがって、例えば、 ${\displaystyle R=\{u_{1}=v_{1},\ldots ,u_{n}=v_{n}\}}$

${\displaystyle \langle p,q\,\vert \;pq=1\rangle }$

は二環式モノイドの等式表現であり、

${\displaystyle \langle a,b\,\vert \;aba=baa,bba=bab\rangle }$

は2次のプラクティックモノイド（無限位数を持つ）である。このプラクティックモノイドの元は、整数i、j、kに対してと表記される。これは、 ba がaとbの両方と可換であることを示す関係式による。 ${\displaystyle a^{i}b^{j}(ba)^{k}}$

逆モノイドと半群

逆モノイドと半群の表現は、ペアを使って同様に定義できる。

${\displaystyle (X;T)}$

どこ

${\displaystyle (X\cup X^{-1})^{*}}$

は上の反転を持つ自由モノイドであり、 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T\subseteq (X\cup X^{-1})^{*}\times (X\cup X^{-1})^{*}}$

は単語間の二項関係である。Tによって生成される同値関係を （それぞれ）で表す（合同を）とする。 ${\displaystyle T^{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle T^{\mathrm {c} }}$

このオブジェクトのペアを使って逆モノイドを定義する。

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle .}$

をのワグナー合同とすると、逆モノイドを定義する。 ${\displaystyle \rho _{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle }$

発表者​ ${\displaystyle (X;T)}$

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle =(X\cup X^{-1})^{*}/(T\cup \rho _{X})^{\mathrm {c} }.}$

前回の議論で、 をすべての箇所で に置き換えると、（逆半群の場合）の表示と によって表示される逆半群が得られます。 ${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{*}}$ ${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{+}}$ ${\displaystyle (X;T)}$ ${\displaystyle \mathrm {Inv} \langle X|T\rangle }$ ${\displaystyle (X;T)}$

些細だが重要な例として、上の自由逆モノイド（または自由逆半群）がある。これは通常、（それぞれ）で表され、 で定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)}$

${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)=\mathrm {Inv} ^{1}\langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{*}/\rho _{X},}$

または

${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)=\mathrm {Inv} \langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{+}/\rho _{X}.}$

注記

1. Book and Otto, 定理7.1.7、p. 149

参考文献

• ジョン・M・ハウイー著『半群論の基礎』（1995年）、クラレンドン・プレス、オックスフォードISBN 0-19-851194-9
• M. Kilp、U. Knauer、AV Mikhalev、モノイド、アクトとカテゴリー、リース積とグラフへの応用、De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29、Walter de Gruyter、2000、ISBN 3-11-015248-7。
• ロナルド・V・ブックとフリードリヒ・オットー著『文字列書き換えシステム』、シュプリンガー、1993年、ISBN 0-387-97965-4第7章「代数的性質」

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