連続体力学

Branch of physics which studies the behavior of materials modeled as continuous media

連続体力学は、離散粒子ではなく連続媒体（連続体とも呼ばれる）としてモデル化された材料の変形と材料を通じた力の伝達を扱う力学の分野です。

連続体力学は、剛体ではなく、変形可能な物体を扱います。連続体モデルは、物体の物質が占める空間を完全に満たしていると仮定します。物質が原子で構成されているという事実を無視しながらも、このモデルは、原子間の距離よりもはるかに大きな長さのスケールにおける物質の十分に正確な記述を提供します。連続媒体の概念は、質量保存、運動量保存、エネルギー保存といった物理法則に従って物質の挙動を記述する微分方程式を用いることで、バルク物質の直感的な解析を可能にします。特定の物質に関する情報は、構成関係で表現されます。

連続体力学は、固体および流体の物理的特性を、それらが観測される特定の座標系とは独立して扱います。これらの特性はテンソルによって表されます。テンソルは、座標系に依存しないという顕著な特性を持つ数学的対象です。これにより、数学的に都合の良い連続関数に従って、連続体の任意の点における物理的特性を定義することができます。弾性、塑性、流体力学の理論は、連続体力学の概念に基づいています。

連続体の概念

連続体の概念は、物質における大規模な力や変形を研究するための数学的枠組みの根底にあります。物質は、空間や微細な亀裂、結晶欠陥によって隔てられた離散的な原子や分子で構成されていますが、物理現象は多くの場合、空間のある領域に分布する物質を考えることでモデル化できます。連続体とは、任意の特定の点において局所的な物質特性が定義された、微小な要素に連続的に細分化できる物体です。したがって、バルク材料の特性は連続関数で記述でき、その変化は微積分を用いて研究することができます。

連続体力学の研究では、連続性の仮定に加えて、他に2つの独立した仮定がしばしば用いられます。それらは、均質性（すべての場所で同一の特性を持つという仮定）と等方性（方向不変のベクトル特性を持つという仮定）です。^[1]これらの補助的な仮定が全体的に適用できない場合、解析を簡素化するために、材料をそれらが適用可能なセクションに分割することができます。より複雑なケースでは、これらの仮定の一方または両方を省略することができます。このような場合、材料特性の変化を記述する微分方程式を解くために、計算手法がしばしば用いられます。

主要分野

連続体力学 連続体物質の物理学の研究	固体力学 定義された静止形状を持つ連続材料の物理学を研究する学問。	弾性加えられた応力 が除去された後に元の形状に戻る材料を表します。
		可塑性 十分な応力が加わると永久的に変形する材料について説明します。	レオロジー 固体と流体の両方の特性を持つ物質の研究。
	流体力学 力を受けると変形する連続材料の物理学を研究する学問。	非ニュートン流体は、 加えられたせん断応力に比例するひずみ速度を受けません。
		ニュートン流体は、加えられたせん断応力に比例したひずみ速度を経験します。

連続体力学のもう一つの分野として、奇妙な双曲線型の応力-ひずみ関係を示すエラストマーフォームがあります。エラストマーは真の連続体ですが、均一な空隙分布によって特異な特性が発現します。^[2]

モデルの定式化

図1.連続体の構成。

連続体力学モデルは、モデル化対象となる物質体に3次元ユークリッド空間内の領域を割り当てることから始まります。この領域内の点は、粒子または質点と呼ばれます。物体の異なる構成または状態は、ユークリッド空間内の異なる領域に対応します。ある時刻における物体の構成に対応する領域は とラベル付けされます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

特定の構成にある物体内の特定の粒子は、位置ベクトルによって特徴付けられる。

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i},}$

ここで、これらは問題のために選択されたある参照系における座標ベクトルである（図1参照）。このベクトルは、例えば初期時刻における粒子の位置など、ある参照系における粒子の位置の関数として表すことができる。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} ).}$

この関数は、モデルが物理的に意味を成すように、さまざまなプロパティを持っている必要があります。次のようになります。 ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

• 時間的に連続的であるため、身体は現実的な方法で変化し、
• 常に全体的に反転可能であり、物体が自身と交差することはできない。
• 鏡面反射を生成する変換は自然界では不可能であるため、方向が保存されます。

モデルの数学的定式化では、は2 回連続的に微分可能であると仮定し、その運動を記述する微分方程式を定式化することができます。 ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

連続体における力

固体は、せん断強度を有する変形可能な物体です。固体はせん断力（作用する物質表面に平行な力）に耐えることができます。一方、流体はせん断力に耐えることができません。

アイザック・ニュートンとレオンハルト・オイラーの古典力学によれば、物体の運動は外部から加えられた力の作用によって生み出され、その力は表面力と体積力の2種類であると想定されます。^[3]したがって、物体または物体の一部に加えられる力の合計は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{C}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{B}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {F} _{C}+\mathbf {F} _{B}}$

表面力

表面力または接触力は、単位面積あたりの力として表され、他の物体との機械的接触の結果として物体の境界面に作用するか、または表面の両側の物体の部分間の機械的相互作用の結果として物体の一部を境界とする仮想の内部表面に作用します（オイラー-コーシーの応力原理）。物体が外部接触力の作用を受けると、ニュートンの第3運動法則（線運動量と角運動量保存の法則）に従って、内部接触力が物体内部の点から点へと伝達され、その作用を釣り合わせます（連続物体の場合、これらの法則はオイラーの運動方程式と呼ばれます）。内部接触力は、構成方程式を通じて物体の変形と関連しています。内部接触力は、物体の材料構成とは無関係に、物体の運動とどのように関連しているかによって数学的に記述できます。 ^[要出典]

物体の体積全体にわたる内部接触力の分布は連続的であると仮定される。したがって、特定の時間における物体の特定の構成におけるこの分布を表す接触力密度、すなわちコーシー牽引力場^[4] が存在する。これはベクトル場ではない。なぜなら、特定の質点の位置だけでなく、その法線ベクトルによって定義される表面要素の局所的な向きにも依存するからである。^{[5] [要ページ]} ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle t\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

物体の一部を囲む、与えられた内部表面積の法線ベクトルを持つ任意の微分領域は、物体の両側の接触部分から生じる接触力を受ける。接触力は次のように表される。 ${\displaystyle dS\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle S\,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!}$ ${\displaystyle S\,\!}$

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

ここで、表面牽引力[ ^6]は応力ベクトル^[7]、牽引力^{[8] [要ページ]}、あるいは牽引力ベクトル^[9]とも呼ばれる。応力ベクトルは座標系に依存しないベクトルである（オイラー‐コーシーの応力原理を参照）。 ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

特定の内部表面上の総接触力は、すべての差動表面上の接触力の合計（面積分）として表されます。 ${\displaystyle S\,\!}$ ${\displaystyle dS\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

連続体力学において、物体は、重力を含むあらゆる外部影響がない状態で、物体を結合させ、その形状を維持するために必要な原子間力（イオン力、金属力、ファンデルワールス力）のみが存在する場合、応力がないとみなされます。 ^{[9] [10]}物体を特定の形状に製造する際に発生する応力も、物体の応力を考慮する際には除外されます。したがって、連続体力学で考慮される応力は、物体の変形によって生じる応力のみであり、応力の絶対値ではなく、応力の相対的な変化のみが考慮されます。

物体の力

物体力は、物体の外部の発生源^[11]から発生し、物体の体積（または質量）に作用する力です。物体力が外部発生源によると言うことは、物体の異なる部分間の相互作用（内部力）が接触力のみによって現れることを意味します。 ^{[6]これらの力は、}重力場（重力）や電磁場（電磁力）などの 力の場における物体の存在から、または物体が運動しているときの慣性力から生じます。連続体の質量は連続的に分布していると仮定されるため、質量から発生する力も連続的に分布しています。したがって、物体力はベクトル場によって指定され、ベクトル場は物体の全体積にわたって連続していると仮定され、 ^[12]つまり物体内のすべての点に作用します。物体力は、フレーム無関係なベクトル場である物体力密度（単位質量あたり）によって表されます。 ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$

重力の場合、力の強さは物質の質量密度に依存するか、またはそれに比例し、単位質量あたりの力（）または単位体積あたりの力（）で表されます。これら2つの値は、物質の密度を介して次式で表されます。同様に、電磁力の強さは電磁場の強度（電荷）に依存します。 ${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle b_{i}\,\!}$ ${\displaystyle p_{i}\,\!}$ ${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$

連続体に作用する全体積力は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

物体に作用する体積力と接触力は、与えられた点に対する対応する力のモーメント（トルク）を生じます。したがって、原点を中心とした全トルクは次のように表されます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

材料の機械的挙動の解析では通常考慮されない特定の状況では、他の2種類の力を考慮する必要が生じます。これらは、カップル応力^{[注 1] [注 2]}（表面カップル、^[11]接触トルク）^[12]とボディモーメントです。カップル応力は、表面に適用される単位面積あたりのモーメントです。ボディモーメントまたはボディカップルは、物体の体積に適用される単位体積または単位質量あたりのモーメントです。どちらも、電界の作用下にある分極誘電体固体の応力解析、分子構造が考慮される材料（例：骨）、外部磁界の作用下にある固体、および金属の転位理論において重要です。^{[7] [8] [必要ページ] [11]}

力のみによって生じるモーメントに加えて、物体の偶力と偶力応力を示す材料は、極性材料と呼ばれます。^{[8] [要ページ] [12]} 非極性材料とは、力のモーメントのみを示す材料です。連続体力学の古典的な分野において、応力理論の発展は非極性材料に基づいています。

したがって、物体に作用するすべての力とトルクの合計（座標系の原点に対する）は次のように表される。

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

運動学：動きと変形

図2. 連続体の運動。

連続体の形状変化は、変位を生じます。物体の変位は、剛体変位と変形という2つの要素から成ります。剛体変位は、物体の形状や大きさを変えることなく、並進と回転を同時に行うことで生じます。変形とは、物体の形状や大きさが、初期状態（変形前の状態）から現在の状態（変形後）に変化することを指します（図2）。 ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

連続体の運動は、変位の連続的な時間的系列である。したがって、物体は異なる時間に異なる配置をとるため、粒子は経路線を描く空間上の一連の点を占める。

連続体の運動または変形中には、次のような意味で連続性が存在します。

• 任意の瞬間に閉曲線を形成する質点は、その後の任意の時点でも常に閉曲線を形成します。
• ある瞬間に閉じた面を形成する物質点は、その後のどの時点においても常に閉じた面を形成し、その閉じた面内の物質は常にその中に残ります。

後続のすべての配置の基準となる基準配置または初期状態を特定すると便利です。基準配置は、必ずしも物体が常に取る配置である必要はありません。多くの場合、 における配置が基準配置とみなされます。粒子の位置ベクトルの成分は、基準配置を基準としてとられ、物質座標または基準座標と呼ばれます。 ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

固体の運動や変形、あるいは流体の流れを解析する際には、時間経過に伴う形状の連続性や変化を記述する必要があります。運動の記述方法の一つとして、物質座標系または参照座標系を用いる方法があり、物質記述法またはラグランジュ記述法と呼ばれます。

ラグランジアン記述

ラグランジュ記述では、粒子の位置と物理的特性は、物質座標または参照座標と時間によって記述されます。この場合、参照配置は における配置です ${\displaystyle t=0}$。参照座標系内に立つ観測者は、物質が時間の経過とともに空間内を移動するにつれて、位置と物理的特性が変化する様子を観察します。得られる結果は、初期時間と参照配置の選択に依存しません。この記述は通常、固体力学で用いられます。 ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

ラグランジアン記述では、連続体の運動は写像関数（図2）によって表現される。 ${\displaystyle \chi (\cdot )}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

これは初期配置を現在の配置に写像したもので、両者の幾何学的な対応関係を与える。すなわち、変形前の配置（基準配置）における位置ベクトルを持つ粒子が、時刻 における現在の配置（変形後の配置）において占める位置ベクトルを与える。これらの成分は空間座標と呼ばれる。 ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{i}}$

物質の特性を記述または特徴付ける物理的および運動学的特性、すなわち熱力学的特性および流速は、位置と時間の連続関数、すなわち として表現されます。 ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$

連続体のあらゆる特性（スカラー、ベクトル、テンソルなど）の物質微分とは、運動する連続体を構成する特定の粒子群における、その特性の時間変化率のことです。物質微分は、実質微分、共動微分、対流微分とも呼ばれます。これは、その粒子群とともに移動する観測者によって測定された、特性の変化率と考えることができます。 ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

ラグランジアン記述では、 の物質微分は単に時間に関する偏微分であり、位置ベクトルは時間とともに変化しないため一定に保たれる。したがって、 ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

瞬間位置は粒子の特性であり、その物質微分は粒子の瞬間流速である。したがって、連続体の流速場は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

同様に加速度場は次のように与えられる。

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

ラグランジュ記述における連続性は、基準配置から物質点の現在の配置への写像の空間的および時間的連続性によって表現されます。連続体を特徴付けるすべての物理量はこのように記述されます。この意味で、関数と は一価かつ連続であり、空間および時間に関して、必要な次数、通常は2次または3次まで連続微分を持ちます。 ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ ${\displaystyle P_{ij\ldots }(\cdot )}$

オイラー記述

連続性により、 の逆関数を用いて、現在 にある粒子が初期配置 または参照配置 においてどこに位置していたかを遡ることができます。この場合、運動の記述は空間座標で行われ、これは空間記述またはオイラー記述と呼ばれます。つまり、現在の配置 が参照配置 として扱われます。 ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

オイラーの記述は、現在の配置に焦点を当て、個々の粒子が空間と時間を移動する様子ではなく、時間の経過に伴って空間内の固定された点で何が起こっているかに注目します。このアプローチは、流体の流れの研究において便利に適用されます。流体の流れの研究において、最も関心の高い運動学的特性は、参照時刻における流体の形状ではなく、変化の速度です。^[14] ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

数学的には、オイラー記述を用いた連続体の運動は写像関数で表される。

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

これは、現在の構成で現在位置を占めている粒子を、初期構成での元の位置まで追跡します。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

この逆関数が存在するための必要十分条件は、ヤコビ行列（しばしば単にヤコビアンと呼ばれる）の行列式が0と異なることである。したがって、

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0}$

オイラー記述では、物理的性質は次のように表現される。 ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

ここで、ラグランジアン記述における の関数形式は、オイラー記述におけるの形式と同じではありません。 ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle p_{ij\ldots }}$

連鎖律を用いたの物質微分は、 ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

この式の右辺第1項は、位置 における特性の局所的な変化率を表します。右辺第2項は対流による変化率であり、粒子の空間位置（運動）の変化による寄与を表します。 ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

オイラー記述における連続性は、流速場の空間的・時間的連続性と連続微分可能性によって表現されます。すべての物理量は、現在の構成において、各瞬間においてベクトル位置の関数としてこのように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$

変位場

変形されていない構成と変形された構成の粒子の位置を結ぶベクトルは、ラグランジュ記述では変位ベクトル、オイラー記述ではと呼ばれます。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$

変位場とは、物体中の全ての粒子の変位ベクトルからなるベクトル場であり、変形後の状態と変形前の状態を関連付ける。変位場を用いて連続体の変形や運動を解析することは容易である。一般に、変位場は物質座標系を用いて次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

あるいは空間座標で言えば

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

ここで、はそれぞれ単位ベクトルとを持つ物質座標系と空間座標系間の方向余弦である。したがって、 ${\displaystyle \alpha _{Ji}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

そして、 と の関係は次のように表される。 ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{J}}$

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

それを知って

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$

それから

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$

変形前と変形後の座標系を重ね合わせることが一般的であり、その結果、 となり、方向余弦はクロネッカーデルタ、すなわち ${\displaystyle \mathbf {b} =0}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

したがって、

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

あるいは空間座標で言えば

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

支配方程式

連続体力学は、特定の長さと時間スケールにおいて連続と近似できる物質の挙動を扱います。このような物質の力学を支配する方程式には、質量、運動量、エネルギーの釣合い法則が含まれます。支配方程式系を完成させるには、運動関係と構成方程式が必要です。構成関係の形式に対する物理的な制約は、あらゆる条件下で熱力学第二法則が満たされることを条件とすることで適用できます。固体の連続体力学では、エントロピー不等式のクラウジウス-デュエム形式が満たされる場合に熱力学第二法則が満たされます。

バランスの法則は、体積内の量（質量、運動量、エネルギー）の変化率が、次の 3 つの原因から生じるという考えを表しています。

1. 物理量自体は体積を囲む表面を通って流れ、
2. 体積の表面上に物理量の源がある、または、
3. 体積の中に物理量の発生源が存在します。

を体（ユークリッド空間の開部分集合）とし、を その面（ の境界）とします。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

物体内の物質点の運動を写像で表すとしよう

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} )=\mathbf {x} (\mathbf {X} )}$

ここで、 は初期構成における点の位置であり、は変形構成における同じ点の位置です。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

変形勾配は次のように与えられる。

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}=\nabla \mathbf {x} ~.}$

バランス法則

物体を流れる物理量を とします。物体表面上の源を 、物体内部の源を とします。表面 に垂直な外向きの単位を とします。流れる物理量を運ぶ物理粒子の流速を とします。また、境界面が（方向）で移動する速度を とします。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

そして、バランス法則は一般的な形で表現できる。

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

関数、、 は、バランス方程式が扱う物理量に応じて、スカラー値、ベクトル値、またはテンソル値を取ることができます。物体に内部境界がある場合は、バランス法則においてジャンプ不連続性も指定する必要があります。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$

オイラーの観点から見ると、固体の質量、運動量、エネルギーの釣り合いの法則は次のように表すことができる（質量と角運動量の方程式の源項がゼロであると仮定）。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

上記の式において、 は質量密度（電流）、 は の物質時間微分、は粒子速度、は の物質時間微分、はコーシー応力テンソル、は体積力密度、は単位質量あたりの内部エネルギー、は の物質時間微分、は熱流束ベクトル、 は単位質量あたりのエネルギー源です。使用される演算子は以下のように定義されます。 ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {e}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$

基準構成（ラグランジアンの観点）に関して、バランス法則は次のように記述できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

上記において、は第一ピオラ・キルヒホッフ応力テンソルであり、 は基準配置における質量密度である。第一ピオラ・キルヒホッフ応力テンソルは、コーシー応力テンソルと次の関係にある。 ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

あるいは、最初のピオラ・キルヒホッフ応力テンソルの転置である公称応力テンソルを次のように定義することもできる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

するとバランスの法則は

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

オペレーター

上記の式の演算子は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=v_{i,j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}~;\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}~;\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{i}=\sigma _{ij,j}~\mathbf {e} _{i}~.\end{aligned}}}$

ここで、はベクトル場、は2階テンソル場、は現在の構成における直交基底の成分である。また、 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\mathbf {v} &=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{j}}}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}=v_{i,j}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}~;\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {v} &=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{i}}}=v_{i,i}~;\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {S}}&=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial X_{j}}}~\mathbf {E} _{i}=S_{ij,j}~\mathbf {E} _{i}\end{aligned}}}$

ここで、 はベクトル場、は2次テンソル場、 は参照構成における直交基底の成分です。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$

内積は次のように定義される。

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}:{\boldsymbol {B}}=\sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=\operatorname {trace} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}^{T})~.}$

クラウジウス・デュエム不等式

クラウジウス・デュエムの不等式は、弾塑性材料における熱力学第二法則を表すために用いられる。この不等式は、特にエネルギー散逸が関与する自然現象の不可逆性に関する記述である。

前のセクションの平衡法則と同様に、ある量のフラックス、その量の源、そしてその量の単位質量あたりの内部密度が存在すると仮定します。この場合の着目する量はエントロピーです。したがって、着目領域には エントロピーフラックス、エントロピー源、内部質量密度、そして内部比エントロピー（つまり単位質量あたりのエントロピー）が存在すると仮定します。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$

そのような領域を とし、その境界を とします。熱力学第二法則によれば、この領域における の増加率は、 に供給される量（フラックスとして、または内部源から）と、その領域に出入りする物質の流入による内部エントロピー密度の変化の合計以上となります。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \rho \eta }$

が流速で運動し、内部の粒子の速度が であるとする。が表面に対する単位外向きの法線方向の速度 としよう。が領域内の物質の密度、が表面におけるエントロピーフラックス、 が単位質量あたりのエントロピー源であるとする。このとき、エントロピー不等式は次のように表される。 ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bar {q}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

スカラーエントロピーフラックスは、表面におけるベクトルフラックスと関係 で結び付けられる。漸増等温条件の仮定のもと、 ${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

ここで、 は熱流束ベクトル、は単位質量あたりのエネルギー源、 は時刻における質点の絶対温度です。 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$

すると、クラウジウス・デュエム不等式が積分形式で得られる。

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

エントロピー不等式は次のように微分形式で表すことができる。

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

コーシー応力と内部エネルギーの観点から、クラウジウス・デュエム不等式は次のように表される。

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

有効

連続体仮定の妥当性は、明確な周期性が特定されるか、ミクロ組織の統計的均質性とエルゴード性が存在する理論的分析によって検証できます。より具体的には、連続体仮説は、ヒル・マンデル条件に基づく代表的基本体積とスケールの分離の概念にかかっています。この条件は、構成方程式（線形および非線形弾性/非弾性または結合場）に関する実験者の観点と理論家の観点を結び付けるとともに、ミクロ組織を空間的および統計的に平均化する方法を提供します。スケールの分離が成り立たない場合、または代表体積要素（RVE）のサイズよりも細かい解像度の連続体を確立したい場合は、統計体積要素（SVE）が使用され、ランダムな連続体場が生成されます。後者は、確率有限要素（SFE）のミクロメカニクスの基礎を提供します。SVE と RVE のレベルは、連続体力学と統計力学を結び付けます。実験的には、RVE は構成応答が空間的に均一な場合にのみ評価できます。

アプリケーション

• 連続体力学
  • 固体力学
  • 流体力学
• エンジニアリング
  • 土木工学
  • 機械工学
  • 航空宇宙工学
  • 生体医学工学
  • 化学工学

参照

• 輸送現象
• ベルヌーイの原理
• コーシー弾性材料
• 構成力学
• 曲線座標
• 状態方程式
• 有限変形テンソル
• 有限ひずみ理論
• 超弾性材料
• 流れ場のラグランジュおよびオイラー指定
• 可動セルオートマトン
• ペリダイナミクス（積分方程式を導く非局所連続体理論）
• ストレス（物理学）
• ストレス対策
• テンソル計算
• テンソル微分（連続体力学）
• 弾性理論
• クヌーセン数

説明ノート

1. マクスウェルは、磁場中の磁石と、異なる偏光面を持つ電場中の誘電体には、消滅しないモーメントが存在することを指摘した。^[13]
2. カップルストレスとボディカップルは、最初にVoigtとCosseratによって研究され、その後、1960年にMindlinがベル研究所の純粋な石英結晶に関する研究で再導入しました。 ^{[引用が必要]}

参考文献

引用

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外部リンク

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