峠定理

峠定理は、変分法における存在定理の一つであり、アントニオ・アンブロセッティとポール・ラビノウィッツによって提唱された。^{[1] [2]}この定理は、関数に特定の条件が与えられた場合、鞍点が存在することを証明する。この定理は、極値の存在に関する定理は数多く存在するが、鞍点に関する定理はほとんど存在しないという点で特異である。

声明

定理の仮定は次のとおりです。

• ${\displaystyle I}$はヒルベルト空間Hから実数への汎関数であり、
• ${\displaystyle I\in C^{1}(H,\mathbb {R} )}$はHの有界部分集合上でリプシッツ連続である。 ${\displaystyle I'}$
• ${\displaystyle I}$パレ・スメールのコンパクト性条件を満たす、
• ${\displaystyle I[0]=0}$、
• 正の定数rとaが存在し、 ${\displaystyle I[u]\geq a}$ ${\displaystyle \Vert u\Vert =r}$
• となるようなが存在する。 ${\displaystyle v\in H}$ ${\displaystyle \Vert v\Vert >r}$ ${\displaystyle I[v]\leq 0}$

次のように定義します。

${\displaystyle \Gamma =\{\mathbf {g} \in C([0,1];H)\,\vert \,\mathbf {g} (0)=0,\mathbf {g} (1)=v\}}$

そして：

${\displaystyle c=\inf _{\mathbf {g} \in \Gamma }\max _{0\leq t\leq 1}I[\mathbf {g} (t)],}$

すると、定理の結論はc がIの臨界値であるということです。

視覚化

定理の背後にある直感は「峠」という名前に表れています。Iを標高を表すものとして考えてみましょう。すると、地形の中に 2 つの低い地点がわかります。1 つは である原点、もう 1 つはである遠くの地点vです。この 2 つの地点の間には、標高が高い ( a >0 より高い)山脈 ( ) があります。原点からvへの経路gに沿って移動するには、山々を越える必要があります。つまり、一度登ってから降りる必要があります。Iはある程度滑らかなので、その間のどこかに臨界点があるはずです (平均値定理に沿って考えてください)。峠は、山々を通る最低標高の経路沿いにあります。この峠は、ほとんどの場合、鞍点 であることに注意してください。 ${\displaystyle I[0]=0}$ ${\displaystyle I[v]\leq 0}$ ${\displaystyle \Vert u\Vert =r}$

証明については、Evans のセクション 8.5 を参照してください。

弱い処方

をバナッハ空間とする。定理の仮定は以下の通りである。 ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \Phi \in C(X,\mathbf {R} )}$および は、それぞれ強い位相と弱い*位相が備わっているときに連続となるガトー微分 を持ちます。 ${\displaystyle \Phi '\colon X\to X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$
• 特定のものを見つけることができるものが存在する ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \|x'\|>r}$

${\displaystyle \max \,(\Phi (0),\Phi (x'))<\inf \limits _{\|x\|=r}\Phi (x)=:m(r)}$。

• ${\displaystyle \Phi }$は、上の弱いパレ・スメール条件を満たします。 ${\displaystyle \{x\in X\mid m(r)\leq \Phi (x)\}}$

この場合、を満たす臨界点 が存在する。さらに、 ${\displaystyle {\overline {x}}\in X}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle m(r)\leq \Phi ({\overline {x}})}$

${\displaystyle \Gamma =\{c\in C([0,1],X)\mid c\,(0)=0,\,c\,(1)=x'\}}$

それから

${\displaystyle \Phi ({\overline {x}})=\inf _{c\,\in \,\Gamma }\max _{0\leq t\leq 1}\Phi (c\,(t)).}$

証明については、Aubin と Ekeland のセクション 5.5 を参照してください。

参考文献

1. アンブロセッティ, アントニオ; ラビノウィッツ, ポール H. (1973). 「臨界点理論における双対変分法とその応用」.関数解析ジャーナル. 14 (4): 349– 381. doi :10.1016/0022-1236(73)90051-7.
2. ラビノウィッツ, ポール H. (1982). 「峠の定理：テーマと変奏」. デ・フィゲイレド, DG; ヘーニグ, CS (編).微分方程式：第1回ラテンアメリカ微分方程式学派の議事録. 数学講義ノート. 第957巻. ニューヨーク: シュプリンガー. pp.  237– 271. ISBN 0-387-11951-5。

さらに読む

• オーバン、ジャンピエール。イーヴァル、エケランド(2006)。応用非線形解析。ドーバーブックス。ISBN 0-486-45324-3。
• ビスガード、ジェームズ (2015). 「山道と鞍部」 . SIAMレビュー. 57 (2): 275– 292. doi :10.1137/140963510.
• エヴァンス、ローレンス・C. (1998).偏微分方程式. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会. ISBN 0-8218-0772-2。
• ジャブリ、ユセフ (2003). 「峠定理、その変種、一般化、そしていくつかの応用」 . 数学とその応用百科事典. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-82721-3。
• マウヒン、ジャン、ウィレム、ミシェル (1989). 「峠定理と超線形凸自律ハミルトン系の周期解」. 『臨界点理論とハミルトン系』 . ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. pp.  92– 97. ISBN 0-387-96908-X。
• マコーウェン、ロバート・C. (1996). 「峠と鞍点」偏微分方程式：方法と応用. アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: プレンティス・ホール. pp.  206– 208. ISBN 0-13-121880-8。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mountain_pass_theorem&oldid=1292291466"