多重添字表記

マルチインデックス表記法は、整数インデックスの概念を順序付けられたインデックスの 組に一般化することにより、多変数微分積分学、偏微分方程式、および超関数の理論で使用される式を簡素化する数学表記法です

定義と基本的な性質

n次元のマルチインデックスは-タプルです ${\textstyle n}$

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

非負整数（つまり、自然数の-次元集合の要素、 と表記される）。 ${\textstyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$

多重インデックスおよびの場合、次のように定義されます。 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

成分ごとの和と差

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

半順序

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

成分の合計（絶対値）

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

階乗

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

二項係数

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}$

多項式係数

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}$$ここで ${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$

パワー

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$.

高階偏微分

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}$$ここで（4-勾配も参照）。表記法が使われることもある。^{[ 1 ]} ${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$

いくつかの応用

多重添字表記法は、初等微積分学の多くの公式を、対応する多変数の場合に拡張することを可能にします。以下にいくつかの例を示します。以下のすべてにおいて、（または）、、および（または）です ${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

多項式定理

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

多二項定理

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$x + yはベクトル、αは多重添字なので、左側の式は( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n}の略であることに注意してください

ライプニッツの公式

滑らかな関数と ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$$

テイラー級数

変数の解析関数 については、以下の式が成り立ちます。実際、十分に滑らかな関数であれば、同様のテイラー展開が成り立ちますが、その最後の項（剰余）はテイラー公式の厳密なバージョンに依存します。例えば、コーシー公式（剰余は整数）については、以下の式が成り立ちます。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle n}$ $${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}$$ $${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$$ $${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}$$

一般線形偏微分演算子

変数の形式的な線型偏微分演算子は次のように書かれる。 ${\textstyle N}$ ${\textstyle n}$ $${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$$

部分積分

有界領域におけるコンパクトな台を持つ滑らかな関数の場合、次の式が成り立ちます。この式は超関数と弱微分の定義に使用されます ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$$

定理の例

が多重添字で、が多重添字の場合、 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

証明

証明は常微分 のべき乗則から導かれます。αとβがの場合、 ${\textstyle \{0,1,2,\ldots \}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}}$$

1

、、と仮定すると、 ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$$

の各 について、関数 はのみに依存します。したがって、上記において、各偏微分は対応する常微分 に帰着します。したがって、式( 1 )から、の少なくとも1つについてがゼロになることがわかります。そうでない場合、つまり が多重添字として である場合、 各および について定理が成り立ちます。QED ${\textstyle i}$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle d/dx_{i}}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$ ${\textstyle \alpha _{i}>\beta _{i}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\textstyle \alpha \leq \beta }$ $${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$$ ${\displaystyle i}$

参照

• アインシュタイン記法
• 指数表記
• リッチ微積分

参考文献

1. リード, M.; サイモン, B. (1980).現代数理物理学の方法：関数解析 I（改訂増補版）. サンディエゴ: アカデミック・プレス. p. 319. ISBN 0-12-585050-6.

• セント・レイモンド、ザビエル (1991).擬微分作用素理論入門. 第1章.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

この記事には、PlanetMathの「べき乗のマルチインデックス微分」の資料が組み込まれており、クリエイティブ・コモンズの表示/継承ライセンスの下でライセンスされています

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