多重線形マップ

Vector-valued function of multiple vectors, linear in each argument

線型代数学において、多重線型写像とは、複数の変数の関数であり、各変数について個別に線型である。より正確には、多重線型写像とは関数である。

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

ここで、( ) およびはベクトル空間（または可換環上の加群）であり、次の性質があります。各 に対して、変数以外のすべてが一定に保たれると、 はの線形関数になります。^[1]これを視覚化する 1 つの方法は、2 つの直交ベクトルを想像することです。これらのベクトルの 1 つが係数 2 で拡大され、もう 1 つが変更されない場合、外積も同様に係数 2 で拡大されます。両方が係数 2 で拡大される場合、外積は係数 で拡大されます。 ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle 2^{2}}$

1変数の多重線型写像は線型写像であり、2変数の多重線型写像は双線型写像である。より一般的には、任意の非負整数に対して、 k変数の多重線型写像はk線型写像と呼ばれる。多重線型写像の余域がスカラー体である場合、それは多重線型形式と呼ばれる。多重線型写像と多重線型形式は、多重線型代数における基本的な研究対象である。 ${\displaystyle k}$

すべての変数が同じ空間に属する場合、対称写像、反対称写像、交代 k線型写像を考えることができます。後者の2つは、基となる環（または体）の標数が2と異なる場合に一致し、そうでない場合は前者の2つは一致します。

例

• 任意の双線型写像は多重線型写像である。例えば、 -ベクトル空間上の任意の内積は多重線型写像であり、におけるベクトルの外積も同様である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• 正方行列の行列式は、列（または行）の多重線形関数であり、また、列（または行）の交代関数でもあります。
• がC ^k関数である場合、その定義域内の各点におけるの 階微分は対称線形関数として見ることができる。^{[引用が必要]} ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

座標表現

させて

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

は有限次元ベクトル空間間の多重線型写像で、は次元 を持ち、は次元 を持つ。それぞれの基底と の基底（ベクトルは太字で表記）を選べば、スカラーの集合を次のように定義できる。 ${\displaystyle V_{i}\!}$ ${\displaystyle d_{i}\!}$ ${\displaystyle W\!}$ ${\displaystyle d\!}$ ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$ ${\displaystyle V_{i}\!}$ ${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$ ${\displaystyle W\!}$ ${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$

すると、スカラーは多重線型関数を完全に決定する。特に、 ${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$ ${\displaystyle f\!}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

の場合、 ${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$

${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$

例

三線関数を考えてみましょう

${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$

ここで、V _i = R ²、d _i = 2、i = 1,2,3、W = R、d = 1です。

各V _iの基底は ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$

${\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$

ここで、定数は、8つの可能な基底ベクトルの3つ組（3つのそれぞれに2つの選択肢があるため）のいずれかにおける関数値です。 ${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle A_{ijk}}$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

各ベクトルは基底ベクトルの線形結合として表現できる。 ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$

任意の3つのベクトルの集合における関数値は次のように表される。 ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$

${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}$

または拡張形式では

${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$

テンソル積との関係

多重線形写像の間には自然な一対一の対応関係がある

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

線形マップ

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

ここで はのテンソル積を表す。関数 と の関係は次式で表される。 ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}$

多重線形関数n×n行列

単位元を持つ可換環K上のn × n行列上の多重線型関数を、行列の行（あるいは列）の関数として考えることができる。そのような行列をAとし、 a _i（ 1 ≤ i ≤ n ）をAの行とする。このとき、多重線型関数D は次のように書ける。

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

満足のいく

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

単位行列のj番目の行をとすると、各行a _iは次のように 表すことができます。 ${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$

Dの多重線性を利用してD ( A )を次のように書き直す。

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

この置き換えを各a _iについて続けると、 1 ≤ i ≤ nに対して、

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}$

したがって、D ( A )は、 D がにどのように作用するかによって一意に決まります。 ${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$

例

2×2行列の場合は、

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,}$

ここで、 および です。を交代関数 に制限すると、 およびとなります。 とすると、2×2行列上の行列式関数が得られます。 ${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$ ${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$ ${\displaystyle D(I)=1}$

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$

プロパティ

• 多重線形マップの値は、引数の 1 つがゼロの場合、常にゼロになります。

参照

• 代数形式
• 多重線形形式
• 同次多項式
• 同次関数
• テンソル

参考文献

1. ラング、セルジュ(2005) [2002]. 「XIII. 行列と線型写像 §S 行列式」.代数学大学院数学テキスト 第211巻（第3版）. シュプリンガー. pp. 511–. ISBN 978-0-387-95385-4。

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