掛け算表

1から10までの掛け算表をスケールに合わせて描き、右上半分に素因数分解のラベルを付けた

数学において、掛け算表（ときには、より非公式には掛け算表）は、代数システムの掛け算演算を定義するために使用される数学的な表です。

10進法の九九は、10進法の算数演算の基礎となるため、世界中で伝統的に初等算数の必須科目として教えられてきました。多くの教育者は、9×9までの九九を暗記する必要があると考えています^。[1]

歴史

前近代

最も古い掛け算表は、約4000年前のバビロニア人が使用していたものです。 ^[2]しかし、彼らは60を底としていました。^[2] 10を底とする最も古い掛け算表は、紀元前305年頃、中国の戦国時代に遡る竹簡に記された中国の十進法の掛け算表です。^[2]

掛け算表は、古代ギリシャの数学者ピタゴラス（紀元前570年～紀元前495年）に由来するとされることがあります。フランス語、イタリア語、ロシア語など多くの言語、時には英語でも「ピタゴラスの表」と呼ばれています。^[4]新ピタゴラス学派の信奉者であったギリシャ・ローマの数学者ニコマコス（紀元後60年～120年）は、著書『算術入門』に掛け算表を掲載しています。一方、現存する最古のギリシャの掛け算表は、紀元1世紀の蝋板に記されたもので、現在は大英博物館に収蔵されています。^[5]

493年、アキテーヌのヴィクトリウスは98列の掛け算表を書き、2から50までのあらゆる数の積を（ローマ数字で）示し、各行は「1000から始まり、100ずつ下がって100になり、10ずつ下がって10になり、1ずつ下がって1/144までの分数が続く数のリスト」であった。^[6]

現代

数学者ジョン・レスリーは1820年に出版した著書『算数の哲学』[7]の中で、「1/4^乗」の表を公開しました。この表は、いくつかの追加手順を加えることで、1000 × 1000までの掛け算に使用できます。レスリーはまた、若い生徒に50 × 50までの掛け算表を暗記することを推奨しました。

1897年、アウグスト・レオポルド・クレレは「1から1000までの2つの数の積を計算する表」^[8]を出版しました。これは1000×10000までの積を計算する簡単な掛け算表です。

1から10まで、または1から12までの数の積をすべて示す表は、小学校で最もよく見られるサイズです。以下の表は、12×12までの積を示しています。

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

学校で教えられる一般的な多桁の掛け算のアルゴリズムでは、この問題は一連の 1 桁の掛け算と多桁の加算の問題に分解されます。1 桁の掛け算は、 0 から 9 までのすべての数字の積の 100 項目の表にまとめることができます。任意の数 $aについて$ $0 \times a = 0$ であるため、 0 を掛ける行と列は通常省略されます。整数の掛け算は可換で、 $a$ $\times$ $b$ $=$ $b$ $\times$ $a$ です。したがって、表は主対角線に対して対称であり、以下に示すように、 $a$ $\geq$ $b$ である $a$ $\times$ $bの項目のみを表示することで 45 項目に減らすことができます。表は、$ $a$ $\times 1 =$ $a$ を満たす乗法恒等式1 を掛ける行と列を省略することで、さらに (36 項目に) 減らすことができます。

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

掛け算の伝統的な暗記学習は、次のように並べられた表の列を暗記することに基づいていました。


1 × 1 = 1 2 × 1 = 2 3 × 1 = 3 4 × 1 = 4 5 × 1 = 5 6 × 1 = 6 7 × 1 = 7 8 × 1 = 8 9 × 1 = 9 10 × 1 = 10 11 × 1 = 11 12 × 1 = 12	1 × 2 = 2 2 × 2 = 4 3 × 2 = 6 4 × 2 = 8 5 × 2 = 10 6 × 2 = 12 7 × 2 = 14 8 × 2 = 16 9 × 2 = 18 10 × 2 = 20 11 × 2 = 22 12 × 2 = 24	1 × 3 = 3 2 × 3 = 6 3 × 3 = 9 4 × 3 = 12 5 × 3 = 15 6 × 3 = 18 7 × 3 = 21 8 × 3 = 24 9 × 3 = 27 10 × 3 = 30 11 × 3 = 33 12 × 3 = 36	1 × 4 = 4 2 × 4 = 8 3 × 4 = 12 4 × 4 = 16 5 × 4 = 20 6 × 4 = 24 7 × 4 = 28 8 × 4 = 32 9 × 4 = 36 10 × 4 = 40 11 × 4 = 44 12 × 4 = 48
1 × 5 = 5 2 × 5 = 10 3 × 5 = 15 4 × 5 = 20 5 × 5 = 25 6 × 5 = 30 7 × 5 = 35 8 × 5 = 40 9 × 5 = 45 10 × 5 = 50 11 × 5 = 55 12 × 5 = 60	1 × 6 = 6 2 × 6 = 12 3 × 6 = 18 4 × 6 = 24 5 × 6 = 30 6 × 6 = 36 7 × 6 = 42 8 × 6 = 48 9 × 6 = 54 10 × 6 = 60 11 × 6 = 66 12 × 6 = 72	1 × 7 = 7 2 × 7 = 14 3 × 7 = 21 4 × 7 = 28 5 × 7 = 35 6 × 7 = 42 7 × 7 = 49 8 × 7 = 56 9 × 7 = 63 10 × 7 = 70 11 × 7 = 77 12 × 7 = 84	1 × 8 = 8 2 × 8 = 16 3 × 8 = 24 4 × 8 = 32 5 × 8 = 40 6 × 8 = 48 7 × 8 = 56 8 × 8 = 64 9 × 8 = 72 10 × 8 = 80 11 × 8 = 88 12 × 8 = 96
1 × 9 = 9 2 × 9 = 18 3 × 9 = 27 4 × 9 = 36 5 × 9 = 45 6 × 9 = 54 7 × 9 = 63 8 × 9 = 72 9 × 9 = 81 10 × 9 = 90 11 × 9 = 99 12 × 9 = 108	1 × 10 = 10 2 × 10 = 20 3 × 10 = 30 4 × 10 = 40 5 × 10 = 50 6 × 10 = 60 7 × 10 = 70 8 × 10 = 80 9 × 10 = 90 10 × 10 = 100 11 × 10 = 110 12 × 10 = 120	1 × 11 = 11 2 × 11 = 22 3 × 11 = 33 4 × 11 = 44 5 × 11 = 55 6 × 11 = 66 7 × 11 = 77 8 × 11 = 88 9 × 11 = 99 10 × 11 = 110 11 × 11 = 121 12 × 11 = 132	1 × 12 = 12 2 × 12 = 24 3 × 12 = 36 4 × 12 = 48 5 × 12 = 60 6 × 12 = 72 7 × 12 = 84 8 × 12 = 96 9 × 12 = 108 10 × 12 = 120 11 × 12 = 132 12 × 12 = 144

完全な数式とともに掛け算表を列に書くこの形式は、コロンビア、ボスニア・ヘルツェゴビナなど一部の国では、上記の現代のグリッドの代わりに今でも使用されています^{[要出典] 。}

表のパターン

九九には、九九をより簡単に覚えるのに役立つパターンがあります。それは以下の数字を使うものです。

	4	5	6
→					→
↑	1	2	3	↓	↑	2		4	↓
	7	8	9			6		8
←					←
	0		5				0
図1: 奇数					図2: 偶数

図1は1、3、7、9の倍数に用いられます。図2は2、4、6、8の倍数に用いられます。これらのパターンは、5を除く0から10までの任意の数の倍数を記憶するために用いられます。掛け算する数から始めるのと同様に、0を掛け算する場合は0に留まります（0は外部にあるため、矢印は0には影響しません。そうでない場合、0は永続的なサイクルを作成するためのリンクとして用いられます）。このパターンは10の倍数にも適用できます。1から始めて0を足して10にし、その後はパターン内のすべての数を「1の位」に適用するのと同じように、「10の位」に適用します。

たとえば、7 の倍数をすべて思い出すには、次のようにします。

最初の写真の 7 を見て、矢印に従ってください。
矢印の方向にある次の数字は 4 です。したがって、7 の次に 4 で終わる数字は 14 です。
矢印の方向にある次の数字は 1 です。したがって、14 の次に 1 で終わる数字は 21 です。
この列の一番上まで来たら、次の列の一番下から同じ方向に進みます。数字は8です。つまり、21の次に8で終わる数字、つまり28を考えてみましょう。
最後の数字 3 (63 に対応) まで同じ手順を繰り返します。
次に、一番下の「0」を使います。これは70に相当します。
次に、7 からもう一度始めます。今回は 77 に相当します。
このように続けます。

抽象代数学では

表は、群、体、環、その他の代数系における二項演算を定義することもできます。このような文脈では、これらはケイリー表と呼ばれます。

任意の自然数nに対し、 n を法とする整数環Z _nにおける加法と乗法は、 n × nの表で記述されます（モジュラー算術を参照）。例えば、Z ₅の表は以下のとおりです。

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

×	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

その他の例については、グループを参照してください。

超複素数

i（赤）、j（緑）、k（青）の乗算サイクルを示す視覚的なアナログ

超複素数の乗算表は、2つの超複素虚数単位の乗算の非可換な結果を示します。最も単純な例は四元数の乗算表です（その他の例については、「八元数 § 乗算」、「六元数 § 乗算」、「三元数 § 乗算」を参照してください）。

四元数の掛け算表
↓ × →	$1$	$私$	$j$	$け$
$1$	$1$	$私$	$j$	$け$
$私$	$私$	$-1$	$け$	$- j$
$j$	$j$	$- k$	$-1$	$私$
$け$	$け$	$j$	$- 私$	$-1$

中国と日本の九九

中国の九九九は81の項から成ります。古代では9×9から始まっていたため、歴史的には九九九と呼ばれていました。9が9つなら81、8が9つなら72、といった具合です。中国では春秋時代にはすでに知られており、そろばんの時代まで生き残りました。今日の小学生は今でも暗記しなければなりません。この九九九の短縮版は、わずか45の文で構成されています。

九九乘法口诀表 (九九九九)
×	1 イーイー	2 二エール	3 三三	4 四秒	5 五月	6 六六	7 七旗	8 八バー	9 九九
1 イーイー	一得一
2 二エール	一二得二	二二得四
3 三三	一三得三	二三得六	三三得九
4 四秒	一四得四	二四得八	三四十二	四四十六
5 五月	一五得五	二五一十	三五十五	四五二十	五五二十五
6 六六	一六得六	二十六二	三十六八	四六二十四	五十六三十	六六三十六
7 七旗	一七得七	二七十四	三七一二十	四七二十十八	五七三十五	六七四十二	七七四十九
8 八バー	一八得八	二八十六	三八二十四	四十八三十二	五八四十	六八四十八	七八五十六	八八六十四
9 九九	一九得九	二十九十八	三九二十七	四九三十六	五九四十五	六九五十四	七九六三	八九七十二	九九八十一

平城宮で発見された木簡は、九九の表現が十未満の積に「如」という文字を共有していることから、『孫子算経』などの中国の数学書を通じて九九が日本に伝わった可能性があることを示唆している。 ^[9]中国語と日本語には、9 × 9までの九九を覚えるために生徒に教えられる、覚えやすい短い81の文という類似したシステムがある。現在では、10未満の積を表す文には、どちらの言語でも追加の助詞が含まれる。現代中国語の場合は「得」、日本語の場合は「が」である。これは、算盤やそろばんを使って計算を練習する人にとって便利である。なぜなら、十の位で始まらない積を入力するときに、1列右にシフトすることを思い出させてくれるからである。特に、日本の九九では、特定の場合で数字の発音が標準的ではない（以下に太字で示すように、 「さんろく」を「さぶろく」に置き換えるなど）。

日本の九九
×	1イチ	2 ni	3さん	4市	5ゴー	6六	7七	8ヘクタール	9区
1 インチ	インイチガイチ	inni ga ni	インサンガサン	インシガシ	インゴが行く	いんろくがろく	院七が七	インハチ・ガ・ハチ	インクがク
2 ni	にいちがに	にんがし	ニサンガロク	ニ・シ・ガ・ハチ	ニゴジュ	二六十二	二七十四	二八十六	ニクジュハチ
3 さん	サンイチガサン	サンニガロク	sazan ga ku	サンシジュウニ	三五十五	サブロク十八	三七二十一	サンパ二十四	三区二十七
4 市	シイチガシ	シニガハチ	シ・サン・ジュウニ	シシ十六	シゴニジュウ	四六二十四	シシシニ十八	shi ha sanjūni	shi ku sanjūroku
5 ゴー	ゴーイチガゴー	ゴー・ニ・ジュ	三十五	ごしにじゅう	行く行く二十五	五六三十	五七三十五	ゴーハシジュー	ごっく四十五
6 六	ロクイチガロク	六に十二	ろくさんじゅうはち	六四二十四	六五三十	六六三十六	六七四十二	ロクハ四十八	六五十四
7 七	シチイチガシチ	七二十四	シチサンニジュウイチ	しちしにじゅうはち	七五三十五	七六四十二	シチシチシジュク	しちはごじゅうろく	七区六十三
8 ハチ	ハチイチガハチ	ハチに十六	はちさんにじゅうし	八市三十二	はちごしじゅう	ハチロク四十八	八七五十六	六五十四	八九七十二
9 区	ku ichi ga ku	ku ni jūhachi	九三二十七	ku shi sanjūroku	ku go shijūgo	ku roku gojūshi	九七六十三	クハ七十二	くくはちじゅういち

戦国時代の十進法の竹簡

清華簡コレクションに含まれる紀元前305年戦国時代の21枚の竹簡の束は、世界最古の十進法の掛け算表の例である。^[10]

12×34.5を計算するために使用された戦国時代の10進法の掛け算表の現代表現

米国における標準に基づく数学改革

1989年、全米数学教育者協会（NCTM）は、すべての生徒がより高次の思考スキルを習得すべきだという信念に基づいた新しい基準を作成し、掛け算の表など、暗記に頼る伝統的な方法の指導に重点を置かないように推奨しました。Investigations in Numbers, Data, and Space（制作元のTechnical Education Research CentersにちなんでTERCとして広く知られています）などの広く採用されている教科書では、初期の版では掛け算の表などの補助が省略されていました。NCTMは2006年の焦点において、暗記が最良の方法であるかどうかについてはコンセンサスがないものの、基本的な数学の事実を学習する必要があることを明確にしました。近年では、ビデオゲームスタイルのアプリや、キャラクターベースのストーリーを通じて掛け算の表を教えることを目的とした本など、子供が掛け算の事実を学ぶのを助けるための多くの非伝統的な方法が考案されています。

参照

ヴェーダの正方形
IBM 1620 は、メモリに保存されたテーブルを使用して加算と乗算を実行する初期のコンピュータです。

参考文献

^ トリベット、ジョン（1980）「掛け算表：暗記かマスターか！」数学学習のために、1（1）：21-25、JSTOR 40247697。
^ abc Qiu, Jane (2014年1月7日). 「中国の竹ひごに隠された古代の年表」Nature News . doi : 10.1038/nature.2014.14482 . S2CID 130132289.
^ ウィキソース: ページ: Popular Science Monthly Volume 26.djvu/467
^ 例えばジョン・ファラーの『算術初等論』
^ David E. Smith (1958),『数学史第1巻：初等数学史の概観』ニューヨーク：Dover Publications（1951年刊行の再版）、 ISBN 0-486-20429-4、58、129ページ。
^ David W. MaherとJohn F. Makowski. 「分数を用いたローマ算術の文学的証拠」『古典文献学』 96/4（2001年10月）、383頁。
^ レスリー、ジョン（1820年）『算術の哲学：計算の理論と実践に関する進歩的な見解、1000までの数の乗算表付き』エディンバラ：アバネシー＆ウォーカー。
^ 「1から1000までの2つの数の積を計算する表と、1000を超えるすべての数の乗算と除算への応用」1897年。
^ “「九九」は中国伝来…平城宮跡から木簡出土”.読売新聞。 2010 年 12 月 4 日。2010 年 12 月 7 日のオリジナルからアーカイブ。
^ Natureの記事 2,300年前のマトリックスは世界最古の10進法の掛け算表である

[1] トリベット、ジョン（1980）「掛け算表：暗記かマスターか！」数学学習のために、1（1）：21-25、JSTOR 40247697。

[Qiu-2] Qiu, Jane (2014年1月7日). 「中国の竹ひごに隠された古代の年表」Nature News . doi : 10.1038/nature.2014.14482 . S2CID 130132289.

[3] ウィキソース: ページ: Popular Science Monthly Volume 26.djvu/467

[4] 例えばジョン・ファラーの『算術初等論』

[5] David E. Smith (1958),『数学史第1巻：初等数学史の概観』ニューヨーク：Dover Publications（1951年刊行の再版）、 ISBN 0-486-20429-4、58、129ページ。

[6] David W. MaherとJohn F. Makowski. 「分数を用いたローマ算術の文学的証拠」『古典文献学』 96/4（2001年10月）、383頁。

[7] レスリー、ジョン（1820年）『算術の哲学：計算の理論と実践に関する進歩的な見解、1000までの数の乗算表付き』エディンバラ：アバネシー＆ウォーカー。

[8] 「1から1000までの2つの数の積を計算する表と、1000を超えるすべての数の乗算と除算への応用」1897年。

[9] “「九九」は中国伝来…平城宮跡から木簡出土”.読売新聞。 2010 年 12 月 4 日。2010 年 12 月 7 日のオリジナルからアーカイブ。

[10] Natureの記事 2,300年前のマトリックスは世界最古の10進法の掛け算表である

×	1 イーイー	2 二エール	3 三三	4 四秒	5 五月	6 六六	7 七旗	8 八バー	9 九九
1 イーイー	一得一
2 二エール	一二得二	二二得四
3 三三	一三得三	二三得六	三三得九
4 四秒	一四得四	二四得八	三四十二	四四十六
5 五月	一五得五	二五一十	三五十五	四五二十	五五二十五
6 六六	一六得六	二十六二	三十六八	四六二十四	五十六三十	六六三十六
7 七旗	一七得七	二七十四	三七一二十	四七二十十八	五七三十五	六七四十二	七七四十九
8 八バー	一八得八	二八十六	三八二十四	四十八三十二	五八四十	六八四十八	七八五十六	八八六十四
9 九九	一九得九	二十九十八	三九二十七	四九三十六	五九四十五	六九五十四	七九六三	八九七十二	九九八十一

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7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
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6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81