乗法関数

Function equal to the product of its values on coprime factors

数論において、乗法関数は、と が互いに素である場合に、という特性を持つ正の整数の算術関数 です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(1)=1}$ $${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

算術関数は、すべての正の整数と に対して、それらが互いに素でなくても と が成り立つ場合、完全に乗法的(または完全に乗法的)であると言われます。 ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

例

数式を書きやすくするために、いくつかの乗算関数が定義されています。

• ${\displaystyle 1(n)}$: によって定義される定数関数 ${\displaystyle 1(n)=1}$

• ${\displaystyle \operatorname {Id} (n)}$:恒等関数、定義される ${\displaystyle \operatorname {Id} (n)=n}$

• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)}$:任意の複素数に対して定義されるべき関数。特別な場合として、 ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$ ${\displaystyle k}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Id} _{0}(n)=1(n)}$、 そして
  • ${\displaystyle \operatorname {Id} _{1}(n)=\operatorname {Id} (n)}$。

• ${\displaystyle \varepsilon (n)}$:の場合に定義される関数、そうでない場合は で定義される関数。これは単位関数であり、ディリクレ畳み込み の乗法恒等式であることからこのように呼ばれます。と表記されることもあります。と混同しないように注意してください。 ${\displaystyle \varepsilon (n)=1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle \mu (n)}$

• ${\displaystyle \lambda (n)}$:リウヴィル関数、、ここでは（重複度を数えた）素数の総数であり、 ${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n}$

上記の関数はすべて完全に乗算的です。

• ${\displaystyle 1_{C}(n)}$:集合 の指示関数。この関数は、互いに素な元の乗法に関して が閉じている場合にのみ乗法的となる。また、平方自由数の集合のように、このような関数を生じる他の集合（乗法に関して閉じていないもの）も存在する。 ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C}$

乗法関数の他の例としては、次のような数論で重要な多くの関数が挙げられます。

• ${\displaystyle \gcd(n,k)}$:との最大公約数、 の関数として、は固定整数 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle \varphi (n)}$:オイラーのトーティエント関数は、互いに素である（ただしそれより大きくない）正の整数を数える。 ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \mu (n)}$:メビウス関数、平方数の素因数の偶奇性（奇数の場合は奇数、偶数の場合は偶数） 。平方数でない場合は ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$:約数関数 は、 （任意の複素数）の正の約数の 乗和である。特別な場合として、 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$
  • ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$、の正の約数の個数、 ${\displaystyle n}$
  • ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=\sigma (n)}$、 のすべての正の約数の合計。 ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)}$:のすべての単位約数の累乗の和 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)\,=\!\!\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!\!d^{k}}$

• ${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$:の根号。これは の異なる素因数の積です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle a(n)}$:位数の非同型アーベル群の数 ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \gamma (n)}$は で定義され、ここで加法関数は を割り切る異なる素数の個数である。 ${\displaystyle \gamma (n)=(-1)^{\omega (n)}}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \tau (n)}$：ラマヌジャンのタウ関数
• すべてのディリクレ指標は完全に乗法的な関数である。例えば
  • ${\displaystyle (n/p)}$ルジャンドル記号は、固定された素数である関数として考えられます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

非乗法関数の例としては算術関数 が挙げられます。 を2つの整数（正、負、またはゼロ）の平方和として表す表現方法は数多くありますが、その数え方を数える際には順序の逆転が許されます。例えば、 ${\displaystyle r_{2}(n)}$ ${\displaystyle n}$

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

したがって。これは関数が乗法ではないことを示しています。しかし、は乗法です。 ${\displaystyle r_{2}(1)=4\neq 1}$ ${\displaystyle r_{2}(n)/4}$

オンライン整数列百科事典では、乗法関数の値の列にはキーワード「mult」が付けられています。^[1]

乗算関数以外の他の例については、算術関数を参照してください。

プロパティ

乗法関数は、算術の基本定理の帰結として、素数のべき乗における値によって完全に決定される。したがって、nが異なる素数のべき乗の積、例えばn = p ^a q ^b ...とすると、 f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ... となる。

乗法関数のこの特性により、 n = 144 = 2 ⁴ · 3 ²の次の例のように、計算の必要性が大幅に軽減されます。 $${\displaystyle d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15}$$ $${\displaystyle \sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403}$$ $${\displaystyle \sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170}$$

同様に、次のようになります。 $${\displaystyle \varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48}$$

一般に、f ( n )が乗法関数であり、 a、bが任意の2つの正の整数である場合、

f ( a ) · f ( b ) = f ( gcd ( a、b )) · f ( lcm ( a、b )).

すべての完全に乗法的な関数はモノイドの準同型であり、素数への制限によって完全に決定されます。

畳み込み

fとg が2つの乗法関数である場合、 fとgのディリクレ畳み込みという新しい乗法関数が定義されます。これはnのすべての正の約数dにわたって 適用されます。この演算により、すべての乗法関数の集合はアーベル群になります。単位元はεです。畳み込みは可換法、結合法、および加算に対して分配法則に従います。 ${\displaystyle f*g}$ $${\displaystyle (f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)}$$

上で説明した乗法関数間の関係は次のとおりです。

• ${\displaystyle \mu *1=\varepsilon }$(メビウスの反転公式)
• ${\displaystyle (\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon }$（一般化メビウス反転）
• ${\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} }$
• ${\displaystyle d=1*1}$
• ${\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d}$
• ${\displaystyle \sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1}$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu }$

ディリクレ畳み込みは一般的な算術関数に対して定義でき、環構造であるディリクレ環を生成します。

2つの乗法関数のディリクレ畳み込みもまた乗法関数である。この事実の証明は、互いに素な に対する次の展開によって与えられる。 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}}$$

いくつかの乗法関数のディリクレ級数

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$

さらに多くの例は、ディリクレ級数に関する記事に示されています。

有理数関数

算術関数fは、完全に乗法的な関数g ₁ ,..., g _r , h ₁ ,..., h _sが存在し、逆関数がディリクレ畳み込みに関して存在する場合、階数 の有理算術関数と呼ばれます。 階数の有理算術関数はトーティエント関数と呼ばれ、 階数の有理算術関数は二次関数または特殊乗法関数と呼ばれます。オイラー関数はトーティエント関数であり、除数関数は二次関数です。完全に乗法的な関数は、 階数の有理算術関数です。リウヴィル関数は完全に乗法です。メビウス関数は、階数の有理算術関数です。慣例により、ディリクレ畳み込みの下の単位元は、階数の有理算術関数です。 ${\displaystyle (r,s)}$ $${\displaystyle f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},}$$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle \lambda (n)}$ ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (0,0)}$

すべての有理算術関数は乗法関数である。乗法関数fが 位の有理算術関数となるのは、そのベル級数がすべての素数に対して の形である 場合に限ります。 ${\displaystyle (r,s)}$ $${\displaystyle {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}}}$$ ${\displaystyle p}$

有理算術関数の概念は、R. Vaidyanathaswamy (1931) に由来します。

ブッシュ＝ラマヌジャン恒等式

乗法関数は、次のような完全乗法関数が存在するとき、特殊乗法関数と呼ばれます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{A}}$

${\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}f(mn/d^{2})f_{A}(d)}$

すべての正の整数およびに対して、または同等に ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}f(m/d)f(n/d)\mu (d)f_{A}(d)}$

全ての正の整数とに対して、はメビウス関数である。これらはブッシュ・ラマヌジャン恒等式として知られている。1906年、E.ブッシュは次の恒等式を述べた。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(mn/d^{2})d^{k},}$

そして1915年にS.ラマヌジャンは逆の形を与えた。

${\displaystyle \sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(m/d)\sigma _{k}(n/d)\mu (d)d^{k}}$

について。S. Chowlaは1929年に一般の逆形式を与えました。PJ McCarthy (1986) を参照。Busche-Ramanujan恒等式の研究は、BuscheとRamanujanによって与えられた特殊な場合をより深く理解しようとする試みから始まりました。 ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k}$

二次関数はという条件でブッシュ＝ラマヌジャン恒等式を満たすことが知られています。二次関数は特殊乗法関数と全く同じです。トーティエントは制限されたブッシュ＝ラマヌジャン恒等式を満たします。詳細については、R. Vaidyanathaswamy (1931) を参照してください。 ${\displaystyle f=g_{1}\ast g_{2}}$ ${\displaystyle f_{A}=g_{1}g_{2}}$

乗法関数F _q [ X ]

q個の元を持つ有限体上の多項式環をA = F _q [ X ]とする。Aは主イデアル領域であるため、Aは唯一の因数分解領域である。

A上の複素関数は、fとgが互いに素である場合に乗法的であると呼ばれます。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)}$

ゼータ関数とディリクレ級数F _q [ X ]

h を多項式算術関数（つまりA上のモニック多項式全体の関数）とする。対応するディリクレ級数は次のように定義される。

$${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$$

ここで、 for はifを設定し、 otherwise は ifを設定します。 ${\displaystyle g\in A,}$ ${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$ ${\displaystyle g\neq 0,}$ ${\displaystyle |g|=0}$

多項式ゼータ関数は

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$$

Nの場合と同様に、乗法関数hのすべてのディリクレ級数は積表現（オイラー積）を持ちます。

$${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),}$$

ここで、積はすべてのモニック既約多項式P上で成り立ちます。例えば、ゼータ関数の積表現は整数の場合と同じです。

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}$$

古典的なゼータ関数とは異なり、は単純な有理関数です。 ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

同様に、fとg が2つの多項式算術関数である場合、fとgのディリクレ畳み込みf  *  gを次のように定義します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}}$$

ここで、和はmの すべての一項約数 dについて、あるいはそれと同値で、積がmとなる一項多項式のすべてのペア ( a , b ) についてである。この場合も恒等式は成立する。 ${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

多変量

多変数関数は乗法モデル推定量を用いて構築できる。Aの行列関数は次のように定義される。 $${\displaystyle D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2}$$

合計は製品全体に分配できる $${\displaystyle y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}}$$

Σ(.)を効率的に推定するために、次の2つの非パラメトリック回帰を検討することができます。 $${\displaystyle {\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),}$$

そして $${\displaystyle y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1).}$$

したがって推定値は $${\displaystyle L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}}$$

既知および未知の に対する局所尤度関数。 ${\displaystyle y_{t}^{2}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}(t/T)}$

一般化

算術関数が準乗法的であるとは、任意の正の整数に対して となる非零の定数が存在する場合である。この概念はLahiri (1972)に由来する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\,f(mn)=f(m)f(n)}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle (m,n)=1}$

算術関数が半乗法的であるとは、0 以外の定数、正の整数、およびすべての正の整数に対してとなる乗法関数が存在する場合です (が正の整数でない場合はという規則が適用されます)。この概念は David Rearick (1966) によるものです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f_{m}}$ ${\displaystyle f(n)=cf_{m}(n/a)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{m}(x)=0}$ ${\displaystyle x}$

算術関数がセルバーグ乗法的であるとは、各素数に対して、有限個以外のすべての素数に対して を満たす非負整数上の関数が存在し、すべての正の整数に対してとなるとき である。ここで はの標準因数分解におけるの指数である。セルバーグ（1977）を参照。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{p}}$ ${\displaystyle f_{p}(0)=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(n)=\prod _{p}f_{p}(\nu _{p}(n))}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

半乗法関数とセルバーグ乗法関数の類は一致することが知られています。これらは両方とも、 すべての正の整数に対して算術恒等式を満たします。Haukkanen (2012) を参照してください。 ${\displaystyle f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])}$ ${\displaystyle m,n}$

乗法関数は の準乗法関数であり、準乗法関数は の半乗法関数であることはよく知られており、簡単にわかります。 ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle a=1}$

参照

• オイラー積
• ベルシリーズ
• ランバート級数

参考文献

• アポストル、トム・M.（1976）「解析的数論入門」第2章を参照、数学の学部テキスト、ニューヨーク-ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001
• PJ McCarthy著『算術関数入門』Universitext、ニューヨーク：Springer-Verlag、1986年。
• Hafner, Christian M.; Linton, Oliver (2010). 「多変量乗法ボラティリティモデルの効率的な推定」(PDF) . Journal of Econometrics . 159 (1): 55– 73. doi :10.1016/j.jeconom.2010.04.007. S2CID  54812323.
• P. Haukkanen (2003). 「特殊乗法関数のいくつかの特徴付け」. Int. J. Math. Math. Sci . 2003 (37): 2335– 2344. doi : 10.1155/S0161171203301139 .
• P. ハウッカネン (2012). 「乗法関数のクラスの拡張」.イースト・ウェスト数学ジャーナル. 14 (2): 101– 113.
• DB ラヒリ (1972)。 「次数乗法数論関数」。数学の方程式。8 (3): 316–317。土井:10.1007/BF01844515。

• D. Rearick (1966). 「半乗法関数」. Duke Math. J. 33 : 49–53 . doi : 10.1215/S0012-7094-66-03308-4.

• L. Tóth (2013). 「ブッシュ＝ラマヌジャン恒等式の2つの一般化」.国際数論ジャーナル. 9 (5): 1301– 1311. arXiv : 1301.3331 . doi :10.1142/S1793042113500280.
• R. ヴァイダヤナサスワミ(1931). 「乗法算術関数の理論」.アメリカ数学会誌. 33 (2): 579– 662. doi : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .
• ラマヌジャン, S. (1916). 「解析的数論におけるいくつかの公式」(PDF) .メッセンジャー. 45 : 81–84 .

• E. Busche、Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen。ミット。数学。ゲス。ハム。 4、229--237 (1906)

• A. セルバーグ「乗法関数に関する考察」整数論の日（ロックフェラー大学、ニューヨーク、1976年）pp. 232–241、Springer、1977年。
• マサー、リチャード・J. (2012). 「乗法算術関数のディリクレ級数の概要」arXiv : 1106.4038 [math.NT].

外部リンク

• PlanetMathの乗算関数。

参考文献

1. 「キーワード:mult - OEIS」。

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