Mathematical series
多重 極展開とは、 角度 に依存する 関数 を表す 数学的な級数 です。角度は通常、 三次元 ユークリッド空間 、の 球面座標系 で使用される2つの角度 （極角と 方位角）です。多重極展開は、 テイラー級数 と同様に 、多くの場合、最初の数項だけで元の関数の良好な近似値が得られるため便利です。展開される関数は 実 数値または 複素数 値で、 、またはそれほど一般的ではありませんが、 他の に対してで 定義されます 。 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} n {\displaystyle n}
多重極展開は電磁場 や 重力場 の研究では頻繁に用いられ 、遠方点における場は小さな領域内の源によって表される。角度による多重極展開は、しばしば 半径 による展開と組み合わせられる。このような組み合わせは、3次元空間全体にわたる関数を記述する展開を与える。 [1]
多重極展開は、徐々に細かい角度特性（モーメント ）を持つ項の和として表される 。最初の（0次）項は 単極子 モーメント、2番目（1次）項は 双極子 モーメント、3番目（2次）項は 四極子モーメント、4番目（3次）項は八極子モーメントなどと呼ばれる。 ギリシャ数字の接頭辞 の制限があるため 、高次の項は慣例的に極の数に「-極」を付加して命名される。例えば、32極（まれにドトリアコンタポールまたはトリアコンタダイポール）や64極（まれにテトラヘキサコンタポールまたはヘキサコンタテトラポール）などである。 [2] [3] [4] 多重極子モーメントは通常、原点からの距離の 累乗 （または逆累乗）と、ある程度の角度依存性を伴う。
原理的には、多重極展開はポテンシャルの正確な記述を提供し、一般的に次の2つの条件下で 収束する ：(1) 発生源（例えば電荷）が原点近くに局在し、ポテンシャルが観測される点が原点から遠い場合、または (2) その逆、つまり発生源が原点から遠く離れており、ポテンシャルが原点近くで観測される場合。前者（より一般的な）の場合、級数展開の係数は 外部多重極モーメント または単に 多重極モーメント と呼ばれ、後者の場合、それらは 内部多重極モーメント と呼ばれる。
球面調和関数の展開 最も一般的には、級数は 球面調和関数 の和として表されます。したがって、関数は 和として
表すことができます。 ここで、 は標準的な球面調和関数、およびは 関数に依存する定数係数です。項は 単極子を表します。 は双極子を表します。以下同様です。同様に、級数は [5] と表記されることもよくあります。ここ で、 は角度 と によって与えられた方向の 単位ベクトル の成分を表し 、添え字は 暗黙的に を合計し ます。ここで、項 は単極子、 は双極子を表す3つの数の集合、以下同様です。 f ( θ , φ ) {\displaystyle f(\theta ,\varphi )} f ( θ , φ ) = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ C ℓ m Y ℓ m ( θ , φ ) {\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }\,C_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} Y ℓ m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} C ℓ m {\displaystyle C_{\ell }^{m}} C 0 0 {\displaystyle C_{0}^{0}} C 1 − 1 , C 1 0 , C 1 1 {\displaystyle C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}} f ( θ , φ ) = C + C i n i + C i j n i n j + C i j k n i n j n k + C i j k ℓ n i n j n k n ℓ + ⋯ {\displaystyle f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots } n i {\displaystyle n^{i}} θ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi } C {\displaystyle C} C i {\displaystyle C_{i}}
上記の展開において、係数は 実数 または 複素数 です。ただし、多重極展開として表される関数が実数である場合、係数は特定の性質を満たさなければなりません。球面調和関数展開では、次式を満たす必要があります。 多重ベクトル展開では、各係数は実数でなければなりません。 C ℓ − m = ( − 1 ) m C ℓ m ∗ . {\displaystyle C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell }^{m\ast }\,.} C = C ∗ ; C i = C i ∗ ; C i j = C i j ∗ ; C i j k = C i j k ∗ ; … {\displaystyle C=C^{\ast };\ C_{i}=C_{i}^{\ast };\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast };\ C_{ijk}=C_{ijk}^{\ast };\ \ldots }
スカラー 関数の展開は、 これまでのところ多重極展開の最も一般的な応用であるが、任意の階数の テンソルを 記述するために一般化することもできる。 [6]これは、電磁気学における ベクトルポテンシャルの多重極展開や、 重力波 の記述における計量摂動 に利用されている 。
座標原点から離れた3次元関数を記述する場合、多重極展開の係数は原点までの距離の関数として表すことができます。 最も一般的には、 のべき乗の ローラン級数 として表されます。例えば、原点付近の小さな領域にある発生源からの 電磁ポテンシャル ,を記述する場合、 係数は次のように表されます。 r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} V {\displaystyle V} V ( r , θ , φ ) = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ C ℓ m ( r ) Y ℓ m ( θ , φ ) = ∑ j = 1 ∞ ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ D ℓ , j m r j Y ℓ m ( θ , φ ) . {\displaystyle V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell }^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}
アプリケーション 多重極展開は、質量 系の 重力場 、 電荷 分布および電流分布の電場・ 磁場、 電磁波 の伝播といった 問題において広く用いられている。典型的な例としては、電子軌道の 内部 多重極子との相互作用エネルギーから 原子核の 外部 多重極子モーメント を計算することがあげられる 。原子核の多重極子モーメントは、原子核内の電荷分布、ひいては原子核の形状に関する情報を提供する。多重極子展開を最初の非ゼロ項で打ち切ることは、理論計算においてしばしば有用である。
多重極展開は数値シミュレーションにも有用であり、相互作用する 粒子 系におけるエネルギーと力を効率的に計算するための一般的な手法である、 グリーンガード と ロクリン による 高速多重極法 の基礎を形成しています。基本的な考え方は、粒子をグループに分解することです。グループ内の粒子は通常通り（つまり、全ポテンシャルによって）相互作用しますが、粒子グループ間のエネルギーと力は多重極モーメントから計算されます。高速多重極法の効率は、一般的に エワルド和 の効率と同等ですが、粒子が密集している場合、つまり系に大きな密度変動がある場合には、高速多重極法の方が優れています。
静電電荷分布の外側の電位の多極展開 位置ベクトル r i を持つN 個の点電荷 q i から成る離散電荷分布を考えます 。電荷は原点の周りに密集しており、すべての i について: r i < r max （ r max は有限の値を持つ）と仮定します。電荷分布による、電荷分布の外側の 点 R におけるポテンシャル V ( R )は、 | R | > r max 、 1/ R の累乗で展開できます 。この展開を行う 2 つの方法が文献に記載されています。1 つ目は、 直交座標 x 、 y 、 z での テイラー級数であり、2 つ目は 球面極座標 に依存する 球面調和 関数によるものです 。直交座標系によるアプローチには、ルジャンドル関数や球面調和関数などの事前の知識が必要ないという利点があります。欠点は、導出がかなり面倒なことです（実際、導出の大部分は 1 / | r − R |のルジャンドル展開の暗黙的な再導出であり、これは1780年代に ルジャンドル によって一度きりで完全に実行されました ）。また、多重極展開の一般項を閉じた表現で与えることは困難で、通常は最初の数項のみが示され、その後に省略記号が付きます。
直交座標での展開 便宜上、v ( r ) = v (− r )と仮定する。v ( r − R ) の 原点 r = 0 の 周り の テイラー 展開 は 、 テイラー 係数 を 用い て
次 のように表すことができる
。v ( r − R ) が ラプラス方程式 を満たす 場合 、上記の展開により
次の式が得られる。この展開は、トレースレスな直交座標系2階 テンソル の成分を用いて書き直すことができる 。 ここで、 δ αβ は クロネッカーのデルタ であり、 r 2 ≡ | r | 2 である。トレースの除去は、回転不変な r 2を 2階テンソルから取り除くため、一般的に行われる。 v ( r − R ) = v ( − R ) + ∑ α = x , y , z r α v α ( − R ) + 1 2 ∑ α = x , y , z ∑ β = x , y , z r α r β v α β ( − R ) + ⋯ + ⋯ = v ( R ) − ∑ α = x , y , z r α v α ( R ) + 1 2 ∑ α = x , y , z ∑ β = x , y , z r α r β v α β ( R ) − ⋯ + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )&=v(\mathbf {-R} )+\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {-R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {-R} )+\cdots +\cdots \\&=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\cdots +\cdots \end{aligned}}} v α ( R ) ≡ ( ∂ v ( r − R ) ∂ r α ) r = 0 and v α β ( R ) ≡ ( ∂ 2 v ( r − R ) ∂ r α ∂ r β ) r = 0 . {\displaystyle v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.} ( ∇ 2 v ( r − R ) ) r = 0 = ∑ α = x , y , z v α α ( R ) = 0 , {\displaystyle \left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0,} ∑ α = x , y , z ∑ β = x , y , z r α r β v α β ( R ) = 1 3 ∑ α = x , y , z ∑ β = x , y , z ( 3 r α r β − δ α β r 2 ) v α β ( R ) , {\displaystyle \sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}\left(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2}\right)v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),}
例 ここで、 v ( r − R ) の次の形を考えてみましょう 。 直接 微分する と、次の式が得られます。 それぞれを単極子、双極子、（トレースレス）四極子として定義し、
最終的に、全ポテンシャルの 多重極展開 の最初の数項を取得します 。これは、個々の電荷のクーロンポテンシャルの合計です。 [7] : 137–138 v ( r − R ) ≡ 1 | r − R | . {\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.} v ( R ) = 1 R , v α ( R ) = − R α R 3 , and v α β ( R ) = 3 R α R β − δ α β R 2 R 5 . {\displaystyle v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.} q t o t ≡ ∑ i = 1 N q i , P α ≡ ∑ i = 1 N q i r i α , and Q α β ≡ ∑ i = 1 N q i ( 3 r i α r i β − δ α β r i 2 ) , {\displaystyle q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),} 4 π ε 0 V ( R ) ≡ ∑ i = 1 N q i v ( r i − R ) = q t o t R + 1 R 3 ∑ α = x , y , z P α R α + 1 2 R 5 ∑ α , β = x , y , z Q α β R α R β + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}}
離散電荷分布のポテンシャルの展開は、以下に示す実固体高調波の展開と非常によく似ている。主な違いは、この展開が線形従属量で表現されている点である。 ∑ α v α α = 0 and ∑ α Q α α = 0. {\displaystyle \sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_{\alpha \alpha }=0.}
注: 電荷分布が 無限小 距離 d だけ離れた反対符号の 2 つの電荷で構成され、 d / R ≫ ( d / R ) 2 となる場合、展開における支配的な項は
電気 双極子ポテンシャル場 であることが簡単に示されます 。 V ( R ) = 1 4 π ε 0 R 3 ( P ⋅ R ) , {\displaystyle V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} ),}
電荷分布の外側の 点 R におけるポテンシャル V ( R ) 、すなわち | R | > r max は、ラプラス展開 によって展開できます 。 ここで 、 は不規則 固体調和関数 （以下では 球面調和 関数を で割ったものとして定義されます ）、 は 規則固体調和関数（球面調和関数に r ℓ を掛けたもの）です。電荷分布の 球面多重極モーメント を次のように定義します。多重極モーメントは電荷分布（ N 個の電荷
の位置と大きさ ）によってのみ決定されることに注意してください。 V ( R ) ≡ ∑ i = 1 N q i 4 π ε 0 | r i − R | = 1 4 π ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ ( − 1 ) m I ℓ − m ( R ) ∑ i = 1 N q i R ℓ m ( r i ) , {\displaystyle V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),} I ℓ − m ( R ) {\displaystyle I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )} R ℓ + 1 {\displaystyle R^{\ell +1}} R ℓ m ( r ) {\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )} Q ℓ m ≡ ∑ i = 1 N q i R ℓ m ( r i ) , − ℓ ≤ m ≤ ℓ . {\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .}
球面 調和関数 は単位ベクトルに依存します 。（単位ベクトルは2つの球面極角によって決定されます。）したがって、定義により、不規則固体調和関数は次のように表すことができ、 電荷 分布の外側の 点 R における場 V ( R )の 多重極展開は次のように表されます。 R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} I ℓ m ( R ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ m ( R ^ ) R ℓ + 1 {\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell }^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}}
V ( R ) = 1 4 π ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ ( − 1 ) m I ℓ − m ( R ) Q ℓ m = 1 4 π ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ [ 4 π 2 ℓ + 1 ] 1 / 2 1 R ℓ + 1 ∑ m = − ℓ ℓ ( − 1 ) m Y ℓ − m ( R ^ ) Q ℓ m , R > r m a x {\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}}
この展開は、最初の数項だけでなくすべての項に対して閉じた形を与えるという点で、完全に一般化されています。これは、 球面多重極モーメントが ポテンシャルの 1/ R 展開における係数として現れることを示しています。
最初の数項を実数で考察することは興味深い。これは学部教科書でよく見られる唯一の項である。m和の被加数は 両方 の因子を同時にユニタリ変換しても不変であり、複素球面調和関数から実数への変換は ユニタリ変換 によるため、実不規則立体調和関数と実多重極モーメントに置き換えるだけでよい。ℓ = 0の 項は 次のようになり、これもまた クーロンの法則である。ℓ = 1の 項については 、次のように 導入する
。この項は 直交 座標形式の項と同一である。 V ℓ = 0 ( R ) = q t o t 4 π ε 0 R with q t o t ≡ ∑ i = 1 N q i . {\displaystyle V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.} R = ( R x , R y , R z ) , P = ( P x , P y , P z ) with P α ≡ ∑ i = 1 N q i r i α , α = x , y , z . {\displaystyle \mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.} V ℓ = 1 ( R ) = 1 4 π ε 0 R 3 ( R x P x + R y P y + R z P z ) = R ⋅ P 4 π ε 0 R 3 = R ^ ⋅ P 4 π ε 0 R 2 . {\displaystyle V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.}
ℓ = 2 の 項を書くには 、四重極モーメントの5つの実成分と実球面調和関数の簡略記法を導入する必要があります。このような記法は 文献で見つけることができます。実記法はすぐに扱いにくくなるため、複素記法の有用性が明らかになります。 Q z 2 ≡ ∑ i = 1 N q i 1 2 ( 3 z i 2 − r i 2 ) , {\displaystyle Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),}
2つの重なり合わない電荷分布の相互作用 2つの点電荷集合、すなわち 点 Aの周りに密集した集合 { q i } と 点 Bの周りに密集した集合 { q j } を考えてみましょう。例えば2つの 分子 を考えてみましょう。分子は定義上、 電子 （負の点電荷）と 原子核 （正の点電荷）から構成されることを思い出してください。2つの分布間の 全静電相互作用エネルギー U AB は、このエネルギーはA と B の距離の逆数でべき級数展開できます。この展開は U AB の 多重極展開 として知られています 。 U A B = ∑ i ∈ A ∑ j ∈ B q i q j 4 π ε 0 r i j . {\displaystyle U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.}
この多重極展開を導くために、 r XY = r Y − r X と書きます。これは、 Xから Y に向かう ベクトルです 。2 つの分布は重ならないことを前提としています。
この条件下では 、次の形式で ラプラス展開 を適用できます。 ここで 、 と はそれぞれ、非正規 固体調和関数 と正則固体調和関数 です。 正則固体調和関数の変換により 有限展開が得られ、 括弧内の量は クレプシュ・ゴルダン係数 です。さらに、 球面多重極 の定義 Qを使用します。 R A B + r B j + r j i + r i A = 0 ⟺ r i j = R A B − r A i + r B j . {\displaystyle \mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.} | R A B | > | r B j − r A i | for all i , j . {\displaystyle |\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{ for all }}i,j.} 1 | r j − r i | = 1 | R A B − ( r A i − r B j ) | = ∑ L = 0 ∞ ∑ M = − L L ( − 1 ) M I L − M ( R A B ) R L M ( r A i − r B j ) , {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),} I L M {\displaystyle I_{L}^{M}} R L M {\displaystyle R_{L}^{M}} R L M ( r A i − r B j ) = ∑ ℓ A = 0 L ( − 1 ) L − ℓ A ( 2 L 2 ℓ A ) 1 / 2 × ∑ m A = − ℓ A ℓ A R ℓ A m A ( r A i ) R L − ℓ A M − m A ( r B j ) ⟨ ℓ A , m A ; L − ℓ A , M − m A ∣ L M ⟩ , {\displaystyle R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M-m_{A}\mid LM\rangle ,} R ℓ m ( − r ) = ( − 1 ) ℓ R ℓ m ( r ) . {\displaystyle R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).} m ℓ そして、和の範囲を多少異なる順序で覆うと（これは L の範囲が無限大の場合にのみ許される）、最終的に
U A B = 1 4 π ε 0 ∑ ℓ A = 0 ∞ ∑ ℓ B = 0 ∞ ( − 1 ) ℓ B ( 2 ℓ A + 2 ℓ B 2 ℓ A ) 1 / 2 × ∑ m A = − ℓ A ℓ A ∑ m B = − ℓ B ℓ B ( − 1 ) m A + m B I ℓ A + ℓ B − m A − m B ( R A B ) Q ℓ A m A Q ℓ B m B ⟨ ℓ A , m A ; ℓ B , m B ∣ ℓ A + ℓ B , m A + m B ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}
これは、距離 R AB 離れた2つの重なり合わない電荷分布の相互作用エネルギーの 多重極展開 です。
この展開は明らかに 1 / R AB のべき乗であるため 、関数 Y m l は 正規化された球面調和関数 です 。 I ℓ A + ℓ B − ( m A + m B ) ( R A B ) ≡ [ 4 π 2 ℓ A + 2 ℓ B + 1 ] 1 / 2 Y ℓ A + ℓ B − ( m A + m B ) ( R ^ A B ) R A B ℓ A + ℓ B + 1 , {\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},}
分子モーメント すべての原子と分子（ S 状態 原子を除く）は、1つ以上のゼロにならない永久多重極モーメントを持ちます。文献には様々な定義がありますが、以下の球面形の定義は、一つの一般式で表せるという利点があります。また、複素数形であるため、実数よりも計算処理が容易であるという利点もあります。
電荷eZ i を持つN 個の粒子（電子と原子核） からなる分子について考えます （電子の Z 値は -1 ですが、原子核の場合は 原子番号 です）。粒子 i は球面極座標 r i 、 θ i 、 φ i と直交座標 x i 、 y i 、 z i を持ちます。（複素）静電多重極演算子は、 Racah の正規化 （シュミットの半正規化とも呼ばれる）における通常の固体調和関数 です 。 分子 が全正規化 波動関数 Ψ （電子と原子核の座標に依存）を持つ場合、分子の多重極モーメントは 期待値 で与えられます 。 分子が特定の 点群対称性を持つ場合、これは波動関数に反映されます。 Ψ は、 グループの特定の既 約表現 λ に従って変換されます （「Ψ は対称タイプ λ を持ちます」）。この結果、多重極子演算子の期待値には 選択則が 成り立つ、つまり対称性のために期待値がゼロになる可能性がある。よく知られた例として、反転中心を持つ分子は双極子を持たない（ m = −1, 0, 1 の期待値はゼロになる）という事実が挙げられる 。対称性を持たない分子には選択則は作用せず、そのような分子はあらゆる次数の多重極子を持つ（双極子を持ちながら、同時に四重極子、八重極子、十六重極子などを持つ）。 Q ℓ m ≡ ∑ i = 1 N e Z i R ℓ m ( r i ) , {\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),} R ℓ m ( r i ) {\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})} ℓ {\displaystyle \ell } M ℓ m ≡ ⟨ Ψ ∣ Q ℓ m ∣ Ψ ⟩ . {\displaystyle M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_{\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .} Q 1 m {\displaystyle Q_{1}^{m}}
正則固体調和関数の最も低い明示的な形式（コンドン ・ショートリー位相 ）は、 （分子の全電荷）を与える。（複素）双極子成分は以下の通りである。 M 0 0 = ∑ i = 1 N e Z i , {\displaystyle M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},} M 1 1 = − 1 2 ∑ i = 1 N e Z i ⟨ Ψ | x i + i y i | Ψ ⟩ and M 1 − 1 = 1 2 ∑ i = 1 N e Z i ⟨ Ψ | x i − i y i | Ψ ⟩ . {\displaystyle M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .} M 1 0 = ∑ i = 1 N e Z i ⟨ Ψ | z i | Ψ ⟩ . {\displaystyle M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .}
単純な 線形結合 によって、複素多重極演算子を実多重極演算子に変換できることに留意してください。実多重極演算子は、コサイン型 またはサイン型です 。最も低次の演算子をいくつか挙げると、以下のようになります。 C ℓ m {\displaystyle C_{\ell }^{m}} S ℓ m {\displaystyle S_{\ell }^{m}} C 1 0 = ∑ i = 1 N e Z i z i , C 1 1 = ∑ i = 1 N e Z i x i , S 1 1 = ∑ i = 1 N e Z i y i , C 2 0 = 1 2 ∑ i = 1 N e Z i ( 3 z i 2 − r i 2 ) , C 2 1 = 3 ∑ i = 1 N e Z i z i x i , S 2 1 = 3 ∑ i = 1 N e Z i z i y i , C 2 2 = 1 3 3 ∑ i = 1 N e Z i ( x i 2 − y i 2 ) , S 2 2 = 2 3 3 ∑ i = 1 N e Z i x i y i , {\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}^{0}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i},\\C_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i},&S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i},\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}\right),\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i},&S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i},\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(x_{i}^{2}-y_{i}^{2}\right),&S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i},\end{aligned}}}
慣例に関する注記 上記に示した複素分子多重極モーメントの定義は、 本稿 で示した定義の 複素共役 であり、正規化を除けば ジャクソンによる 古典電気力学の標準教科書 [7] : 137 の定義に従っている。さらに、ジャクソンの古典的な定義では、 N 粒子の 量子力学的 期待値に相当するものは、1粒子の電荷分布の 積分 である。1粒子の量子力学系の場合、期待値は電荷分布（波動関数の係数の2乗）の積分に他ならないことを覚えておこう。したがって、本稿の定義はジャクソンの定義の量子力学的 N 粒子一般化となる。
この記事の定義は、ファノとラカ [8] やブリンクとサッチラー [9]の定義などと一致している。
例 多極子モーメントには多くの種類があります。これは、ポテンシャル の種類が多様であり、 座標 と電荷分布の 対称性 に応じて 級数展開 によってポテンシャルを近似する方法も多様であるためです 。最も一般的な展開には以下のものがあります。
1/ R ポテンシャル の例としては、点源の 電位 、 磁気ポテンシャル 、 重力ポテンシャルなどが挙げられます。ln R ポテンシャル の例としては 、 無限線電荷の 電位が挙げられます。
一般的な数学的性質 数学 および 数理物理学 における多重極モーメントは、互いに無限に接近した点源に対する 場 の応答に基づいて、関数の分解のための 直交基底 を形成する。これらは様々な幾何学的形状に配列されていると考えることができる。あるいは、 分布理論 の意味で 、 方向微分 として考えることができる。
多重極展開は、物理法則および関連する 微分方程式 の根底にある回転対称性と関連しています。質量、電荷、電流などの項が対称的でない場合でも、 回転 対称群の 既約表現 を用いて展開することができ、球面調和関数や関連する 直交関数の集合が得られます。 変数分離 の手法を用いて、 対応するラジアル依存性の解を抽出します。
実際には、多くの場は有限個の多重極モーメントで十分に近似できます（ただし、場を正確に再構成するには無限個の多重極モーメントが必要になる場合もあります）。典型的な応用例としては、局所電荷分布の場を 単極子項 と 双極子項で近似することが挙げられます。与えられた次数の多重極モーメントについて一度解いた問題を 線形結合する ことで、与えられた光源に対する最終的な近似解を得ること ができます。
参照
参考文献 ^ エドモンズ, AR (1960). 量子力学における角運動量 . プリンストン大学出版局. ISBN 9780691079127 。 ^ Auzinsh, Marcis; Budker, Dmitry; Rochester, Simon (2010). Optically polarized atoms : understand light-atom interactions . Oxford: New York. p. 100. ISBN 9780199565122 。 ^ 奥村道雄; チャン・マンチョー; 岡武志 (1989年1月2日). 「固体水素の高分解能赤外分光法：テトラヘキサコンタポール誘起遷移」 (PDF) . Physical Review Letters . 62 (1): 32– 35. Bibcode :1989PhRvL..62...32O. doi :10.1103/PhysRevLett.62.32. PMID 10039541. ^ 池田裕章;鈴木道人；アリタ・リョウタロウ；滝本哲也;芝内隆貞；松田裕司（2012年6月3日）。 「URu2Si2 におけるランク 5 のネマチック秩序の出現」。 自然物理学 。 8 (7 ) : 528–533.arXiv : 1204.4016 。 Bibcode :2012NatPh...8..528I。 土井 ：10.1038/nphys2330。 S2CID 119108102。 ^ トンプソン、ウィリアム・J. 角運動量 . John Wiley & Sons, Inc. ^ Thorne, Kip S. (1980年4月). 「重力放射の多重極展開」 (PDF) . Reviews of Modern Physics . 52 (2): 299– 339. Bibcode :1980RvMP...52..299T. doi :10.1103/RevModPhys.52.299. ^ ab ジャクソン、ジョン・デイビッド (1975). 古典電気力学 （第2版）. ニューヨーク: ワイリー. ISBN 047143132X 。 ^ U. FanoとG. Racah、 「Irreducible Tensorial Sets」 、Academic Press、ニューヨーク（1959年）。31ページ ^ DM BrinkとGR Satchler、 「角運動量」 第2版、Clarendon Press、オックスフォード、英国（1968年）。p. 64。p. 90の脚注も参照。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc86928edfb0cce0c5210cffb7eb2696acb2d46)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180807d8fcbb0f680715447883c57d13343fee1b)
![{\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi}{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6247b34906e4b567ebe1f4cfff4f8c71fb6a7b)
