多重解像度解析

Design method of discrete wavelet transforms

多重解像度解析（MRA）またはマルチスケール近似（MSA ）は、実用上重要な離散ウェーブレット変換（DWT）のほとんどの設計手法であり、高速ウェーブレット変換（FWT）アルゴリズムの根拠となっています。この文脈において、1988年から1989年にかけてステファン・マラとイヴ・マイヤーによって導入されました。この手法の先駆者としては、微分方程式理論における微小局所解析（アイロニング法）や、 1981年から1983年にかけてピーター・J・バート、エドワード・H・アデルソン、ジェームズ・L・クロウリーによって導入された画像処理のピラミッド法が挙げられます。

意味

ルベーグ空間 の多重解像度解析は、入れ子になった部分空間の列から構成される。 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$

時間空間およびスケール周波数における特定の自己相似性関係、および完全性および規則性関係を満たします。

• 時間における自己相似性は、各部分空間V _{k が}2 ^kの整数 倍のシフトに対して不変であることを要求します。つまり、各部分空間 V k に対して、 として定義される関数gはにも含まれます。 ${\displaystyle f\in V_{k},\;m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g(x)=f(x-m2^{k})}$ ${\displaystyle V_{k}}$
• スケールにおける自己相似性は、すべての部分空間が互いの時間スケール版であり、スケーリング係数がそれぞれ2 ^{k-l で}あることを要求する。すなわち、各部分空間に対して が存在し、 となる。 ${\displaystyle V_{k}\subset V_{l},\;k>l,}$ ${\displaystyle f\in V_{k}}$ ${\displaystyle g\in V_{l}}$ ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\;g(x)=f(2^{k-l}x)}$
• 部分空間のシーケンスにおいて、k > lの場合、 l番目の部分空間の空間解像度 2 ^{l は}、 k番目の部分空間の解像度 2 ^kよりも高くなります。
• 正則性は、モデル部分空間 V _{0 が}、1つまたは有限個の生成関数またはの整数シフトの線形包（代数的に、あるいは位相的に閉じている）として生成されることを要求する。これらの整数シフトは、少なくとも部分空間のフレームを形成し、無限遠での減衰に特定の条件を課す。生成関数は、スケーリング関数またはファーザーウェーブレットとも呼ばれる。ほとんどの場合、これらの関数は、コンパクトなサポートを持つ区分連続であることが求められる。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{r}}$ ${\displaystyle V_{0}\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$
• 完全性は、これらの入れ子になった部分空間が空間全体を埋めること、すなわち、それらの和がにおいて稠密であること、また、それらがあまり冗長ではないこと、すなわち、それらの交差にはゼロ要素のみが含まれることを要求します。 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

重要な結論

連続的（または少なくとも有界な変化を持つ）コンパクトに支えられた直交シフトを持つスケーリング関数が1つある場合、いくつかの演繹が可能である。この関数のクラスの存在証明は、Ingrid Daubechiesによるものである。

スケーリング関数がコンパクトな台を持つと仮定すると、、、 の係数の有限列が存在し、 ${\displaystyle V_{0}\subset V_{-1}}$ ${\displaystyle a_{k}=2\langle \phi (x),\phi (2x-k)\rangle }$ ${\displaystyle |k|\leq N}$ ${\displaystyle a_{k}=0}$ ${\displaystyle |k|>N}$

${\displaystyle \phi (x)=\sum _{k=-N}^{N}a_{k}\phi (2x-k).}$

マザーウェーブレットまたは単にウェーブレットと呼ばれる別の関数を定義する

${\displaystyle \psi (x):=\sum _{k=-N}^{N}(-1)^{k}a_{1-k}\phi (2x-k),}$

マザーウェーブレットの整数シフトの（閉）線形包として定義される空間 は、の内部で の直交補集合であることが示せる。^[1]あるいは言い換えれば、はとの直交和（ と表記）である。自己相似性により、のスケールバージョンが存在し、完全性により、 ${\displaystyle W_{0}\subset V_{-1}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{-1}}$ ${\displaystyle V_{-1}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle W_{0}}$

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )={\mbox{closure of }}\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }W_{k},}$

したがって、セット

${\displaystyle \{\psi _{k,n}(x)={\sqrt {2}}^{-k}\psi (2^{-k}x-n):\;k,n\in \mathbb {Z} \}}$

は、 における可算な完全直交ウェーブレット基底です。 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

参照

• マルチグリッド法
• マルチスケールモデリング
• スケール空間
• 時間周波数解析
• ウェーブレット

参考文献

1. Mallat, SG「信号処理のウェーブレットツアー」www.di.ens.fr . 2019年12月30日閲覧。

• Chui, Charles K. (1992). 『ウェーブレット入門』サンディエゴ: アカデミック・プレス. ISBN 0-585-47090-1。
• Akansu, AN ; Haddad, RA (1992). 『多重解像度信号分解：変換、サブバンド、ウェーブレット』 アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-047141-6。
• Crowley, JL, (1982). 視覚情報の表現, カーネギーメロン大学博士論文, 1982年.
• Burrus, CS ; Gopinath, RA; Guo, H. (1997). 『ウェーブレットとウェーブレット変換入門：入門』 Prentice-Hall. ISBN 0-13-489600-9。
• マラット, SG (1999). ウェーブレット信号処理入門. アカデミック・プレス. ISBN 0-12-466606-X。

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