マルチスライス

マルチスライス顕微鏡検査

マルチスライスアルゴリズム^{[ 1 ]}は、電子ビームと物質の弾性散乱を、多重散乱効果を含めてシミュレートする手法である。この手法は、John M. Cowleyの著書^{[ 2 ]}およびIshizukaの研究^{[ 3 ]}でレビューされている。このアルゴリズムは、高解像度透過型電子顕微鏡（HREM）写真のシミュレーションに使用され、実験画像を解析するための有用なツールとして機能している。^{[ 4 ]}この記事では、関連する背景情報、手法の理論的根拠、使用される近似値、およびこの手法を実装するいくつかのソフトウェアパッケージについて説明する。また、この手法の利点と限界、および考慮すべき重要な事項についても説明する。

背景

マルチスライス法は、電子顕微鏡法や結晶学において広く応用されています。結晶構造からその像または電子回折パターンへのマッピングは比較的よく理解され、文献にも記載されています。しかし、電子顕微鏡像から結晶構造への逆マッピングは、一般的に複雑です。像は三次元結晶構造の二次元投影であるため、これらの投影をあらゆる可能性のある結晶構造と比較するのは煩雑です。そのため、異なる結晶構造の結果をシミュレーションするための数値手法の使用は、電子顕微鏡法や結晶学の分野において不可欠です。電子顕微鏡像をシミュレーションするためのソフトウェアパッケージはいくつか存在します。

文献には広く使用されているシミュレーション手法が2つあります。ハンス・ベーテのオリジナルの理論的処理から派生したブロッホ波法^{[ 5 ]と[ 6 ]}、およびマルチスライス法です。この記事では、多重弾性散乱効果を含む動的回折のシミュレーションにマルチスライス法を使用します。存在するパッケージのほとんどは、電子レンズ収差効果を組み込んで電子顕微鏡画像を決定し、位相コントラストや回折コントラストなどの側面に対処するために、マルチスライスアルゴリズムをフーリエ解析とともに実装しています。透過ジオメトリ内の薄い結晶スラブの形をした電子顕微鏡サンプルの場合、これらのソフトウェアパッケージの目的は結晶ポテンシャルのマップを提供することですが、この逆変換プロセスは多重弾性散乱の存在によって非常に複雑になります。

現在マルチスライス理論として知られる理論の最初の記述は、カウリーとムーディーによる古典的な論文^{[ 1 ]}でなされました。この論文では、著者らは量子力学的な議論に言及することなく、物理光学的アプローチを用いて電子の散乱を記述しています。その後、これらの反復方程式は、グリーン関数、微分方程式、散乱行列、経路積分法といった代替手法を用いて多くの導出がなされてきました。例えば、リアンマオ・ペン、セルゲイ・ドゥダレフ、マイケル・ウェランによる著書^{[ 7 ]}を参照。

CowleyとMoodieのマルチスライス理論に基づく数値計算用コンピュータアルゴリズムの開発の概要は、GoodmanとMoodieによって報告されました^{[ 8 ]} 。彼らはまた、マルチスライスと他の定式化との関係についても詳細に議論しました。具体的には、Zassenhausの定理を用いて、本論文ではマルチスライスから1.シュレーディンガー方程式、2. 回折コントラスト透過型電子顕微鏡（TEM）像シミュレーションに広く用いられるダーウィンの微分方程式（Howie -Whelan方程式）、^{[ 9 ]、} 3. Sturkeyの散乱行列法への数学的経路を示しています。^{[ 10 ]} 4. 自由空間伝播の場合、5. 位相格子近似、6. これまで用いられたことのない新しい「厚い位相格子」近似、7. 多重散乱に対するムーディーの多項式、8.ファインマン経路積分定式化、そして9. マルチスライスとボルン級数の関係。アルゴリズム間の関係は、Spence (2013) のセクション5.11にまとめられている^{[ 11 ]}（図5.9参照）。

理論

ここで提示したマルチスライスアルゴリズムの形式は、Peng、Dudarev、Whelan 2003から改変したものである。^{[ 7 ]}マルチスライスアルゴリズムは、シュレーディンガー方程式を解くためのアプローチである。

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\Psi (x,t)&=E\Psi (x,t)\end{aligned}}}$

1957年、カウリーとムーディーは、シュレーディンガー方程式を解析的に解くことで回折ビームの振幅を評価できることを示しました。^{[ 1 ]}その後、動的回折の効果を計算することができ、得られたシミュレーション画像は、動的条件下で顕微鏡で撮影された実際の画像と良好な類似性を示します。さらに、マルチスライスアルゴリズムは構造の周期性についていかなる仮定も行わないため、非周期系の高分解能電子顕微鏡像のシミュレーションにも使用できます。

次のセクションでは、マルチスライスアルゴリズムの数学的定式化について説明します。シュレーディンガー方程式は、入射波と散乱波の形で次のように表すこともできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi ({\mathbf {r} })&=\Psi _{0}({\mathbf {r} })+\int {G({\mathbf {r,r'} })V({\mathbf {r'} })\Psi ({\mathbf {r'} })d{\mathbf {r'} }}\end{aligned}}}$

ここで、 は、点 にある発生源による点 における電子波動関数の振幅を表すグリーン関数です。 ${\displaystyle G(\mathbf {r,r'} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r'} }$

したがって、入射平面波が次のような形である場合、シュレーディンガー方程式は次のように書ける。 ${\displaystyle \Psi (r)=\exp(i\mathbf {k\cdot r} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi ({\mathbf {r} })=\exp(i{\mathbf {k\cdot r} })-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int {\frac {\exp(ik\cdot {\mathbf {|r-r'|} })}{\mathbf {|r-r'|} }}V({\mathbf {r'} })\Psi ({\mathbf {r'} })dr'.\end{aligned}}}$

{{{3}}}

次に、入射ビームが試料の(0,0,0)に-方向に当たるように座標軸を選択します。つまり、 です。ここで、振幅の変調関数を持つ波動関数を考えます。すると、式( 1 )は変調関数の式になります。つまり、 ${\displaystyle {\hat {z}}}$ ${\textstyle \mathbf {k} =(0,0,k)}$ ${\displaystyle \Psi (r)=\phi (\mathbf {r} )\exp(i\mathbf {k\cdot r} )}$ ${\displaystyle \phi ({\mathbf {r} })}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi ({\mathbf {r} })&=1-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int {{\frac {\exp[ik|{\mathbf {r-r'} }|-i{\mathbf {k} }\cdot ({\mathbf {r-r'} })]}{|{\mathbf {r-r'} }|}}V({\mathbf {r'} )\phi ({\mathbf {r'} })}dr'}\end{aligned}}}$。

ここで、これまで従ってきた座標系に関して置き換えを行う。すなわち、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {k} }\cdot ({\mathbf {r-r'} })&=k(z-z')\\|{\mathbf {r-r'} }|&\approx (z-z')+({\mathbf {X-X'} })^{2}/{2(z-z')}\end{aligned}}}$

どこ。 ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi ({\mathbf {r} })=1-i{\frac {\pi }{E\lambda }}\int \int \limits _{z'=-\infty }^{z'=z}V({\mathbf {X'} },z')\phi ({\mathbf {X'} },z'){\frac {1}{i\lambda (z-z')}}\exp \left(ik{\frac {|{\mathbf {X-X'} }|^{2}}{2(z-z')}}\right)d{\mathbf {X'} }dz'\end{aligned}}}$、

ここで、はエネルギーを持つ電子の波長、は相互作用定数である。ここまでは、物質内での散乱を考慮せずに波動力学の数学的定式化を行ってきた。さらに、フレネル伝搬関数を用いて横方向の広がりを考慮する必要がある。 ${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$ ${\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/{2m}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma =\pi /E\lambda \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p({\mathbf {X} },z)={\frac {1}{iz\lambda }}\exp \left(ik{\frac {{\mathbf {X} }^{2}}{2z}}\right)\end{aligned}}}$。

反復処理が行われる各スライスの厚さは通常小さく、その結果、スライス内のポテンシャル場は一定であると近似できます。したがって、変調関数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle V({\mathbf {X'} },z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi ({\mathbf {X} },z_{n+1})=\int p({\mathbf {X} }-{\mathbf {X'} },z_{n+1}-z_{n})\phi ({\mathbf {X} },z_{n})\exp \left(-i\sigma \int \limits _{z_{n}}^{z_{n+1}}V({\mathbf {X'} },z')dz'\right)dX'\end{aligned}}}$

したがって、次のスライスで変調関数を表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{n+1}=\phi ({\mathbf {X} },z_{n+1})=[q_{n}\phi _{n}]*p_{n}\end{aligned}}}$

ここで、* は畳み込みを表し、スライスの伝達関数を定義します。 ${\displaystyle p_{n}=p({\mathbf {X} },z_{n+1}-z_{n})}$ ${\displaystyle q_{n}({\mathbf {X} })}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{n}({\mathbf {X} })=\exp\{-i\sigma \int \limits _{z_{n}}^{z_{n+1}}V({\mathbf {X} },z')dz'\}\end{aligned}}}$

したがって、前述の手順を反復的に適用することで、サンプルのコンテキストにおける完全な解釈が可能になります。さらに、スライス内の電位が均一であるという仮定を除き、サンプルの周期性については何ら仮定を置いていないことを改めて強調しておきます。したがって、この手法は原理的にはあらゆるシステムに適用できることは明らかです。ただし、ビーム方向に沿って電位が急速に変化する非周期的なシステムでは、スライス厚を非常に小さくする必要があり、その結果、計算コストが増大します。 ${\displaystyle V(\mathbf {X} ,z)}$

表1 - 離散フーリエ変換と高速フーリエ変換の計算効率の比較

データポイント	${\displaystyle \mathbf {log_{2}} }$北	離散FT	高速FT	比率
64	6	4,096	384	10.7
128	7	16,384	896	18.3
256	8	65,536	2,048	32
512	9	262,144	4,608	56.9
1,024	10	1,048,576	10,240	102.4
2,048	11	4,194,304	22,528	186.2

実用的な考慮事項

GaNのシミュレーション

基本的な前提は、高速フーリエ変換（FFT）を用いて各原子層からの回折を計算し、各層に位相格子項を乗じることです。次に、波は伝播関数で乗じられ、逆フーリエ変換され、再び位相格子項が乗じられ、この処理が繰り返されます。FFTの使用は、特にブロッホ波法に比べて計算時間を大幅に短縮します。これは、FFTアルゴリズムはブロッホ波解の対角化問題（系内の原子数）と比較してステップ数が少ないためです。（計算時間の比較については表1を参照してください。） ${\displaystyle N\log N}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle N}$

マルチスライス計算を実行する上で最も重要なステップは、ユニットセルを設定し、適切なスライス厚を決定することです。一般的に、画像のシミュレーションに使用されるユニットセルは、特定の材料の結晶構造を定義するユニットセルとは異なります。その主な理由は、FFT計算におけるラップアラウンドエラーによって発生するエイリアシング効果です。ユニットセルに「パディング」を追加する必要があることから「スーパーセル」という名称が付けられており、基本ユニットセルにこれらの追加ピクセルを追加するには、計算コストがかかります。

スライス厚を薄くしすぎるとどのような影響があるかを説明するために、簡単な例を考えてみましょう。フレネル伝播関数は、固体中における電子波のZ方向（入射ビームの方向）への伝播を記述します。

${\displaystyle {\tilde {\phi }}(\mathbf {u} ,z)={\tilde {\phi }}(\mathbf {u} ,z=0)\exp(\pi i\lambda \mathbf {u} ^{2}z)}$

ここで、 は逆格子座標、z はサンプルの深さ、 は電子波の波長（波数ベクトルと の関係で関連付けられています）です。小角近似（ 100 mRad）の場合、位相シフトを と近似できます。 100 mRadの場合、 であるため、誤差は約0.5%です。 小さな角度の場合、スライスの数に関係なくこの近似は成立しますが、マルチスライスシミュレーションで格子パラメータ（ペロブスカイトの場合は格子パラメータの半分）よりも大きい を選択すると、結晶ポテンシャル内にあるはずの原子が失われます。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \theta \sim }$ ${\displaystyle \Delta z}$ ${\displaystyle d-S}$ ${\displaystyle \cos(0.1)=0.995}$ ${\displaystyle \Delta z}$

追加の実際的な懸念事項としては、非弾性散乱や拡散散乱、量子化された励起（プラズモン、フォノン、励起子など）などの効果をどのように効果的に含めるかということである。コヒーレンス関数アプローチ^{[ 12 ]}を通じてこれらのことを考慮に入れたコードが1つあり、Yet Another Multislice（YAMS）と呼ばれていたが、このコードはダウンロードも購入もできなくなっている。

利用可能なソフトウェア

画像のマルチスライスシミュレーションを実行するソフトウェアパッケージはいくつかあります。NCEMSS、NUMIS、MacTempas、Kirklandなどが挙げられます。他にもプログラムは存在しますが、残念ながらメンテナンスされていないものが多くあります（例：ローレンス・バークレー国立研究所のマイク・オキーフ氏によるSHRLI81、Accerlys社のCerius2）。表2にマルチスライスコードの簡単な年表を示しますが、これは網羅的なものではありません。

表2 - さまざまなマルチスライスコードのタイムライン

コードネーム	著者	公開年
シュリ	オキーフ	1978
テンパス	キラース	1987
ヌミス	マークス	1987
NCEMSS	オキーフ＆キラース	1988
マックテンパス	キラース	1978
テムシム	カークランド	1988
Jマルチス	左	1990
HREMリサーチ	石塚	2001
ジェムズ	シュターデルマン	2004

ACEM/JCSTEM

このソフトウェアは、コーネル大学の Earl Kirkland 氏によって開発されました。このコードは、対話型 Java アプレットおよび C/C++ で記述されたスタンドアロン コードとして無料で入手できます。Java アプレットは、基本的なインコヒーレント線形イメージング近似による簡単な導入とシミュレーションに最適です。ACEM コードには、Kirkland 氏による同名の優れたテキストが付属しており、電子顕微鏡写真 (マルチスライスを含む) をシミュレーションするための背景理論と計算手法が詳細に説明されています。主要な C/C++ ルーチンは、多数のシミュレーションを自動的にバッチ処理するためにコマンド ライン インターフェイス (CLI) を使用します。ACEM パッケージには、初心者に適したグラフィカル ユーザー インターフェイスも含まれています。ACEM の原子散乱係数は、相対論的ハートリー–フォック計算にガウス分布とローレンツ分布を 12 パラメータでフィッティングすることで正確に特徴付けられます。

NCEMSS

このパッケージは、国立高解像度電子顕微鏡センター（National Center for High Resolution Electron Microscopy）からリリースされました。このプログラムはマウス操作のグラフィカルユーザーインターフェースを採用しており、ローレンス・バークレー国立研究所のRoar Kilaas氏とMike O'Keefe氏によって開発されました。コードは現在開発されていませんが、ノースウェスタン大学のLaurence D. Marks氏が開発したElectron Direct Methods (EDM)パッケージから入手できます。拡散散乱を考慮するためのパラメータとしてデバイ・ワラー係数を含めることができますが、その精度は不明です（つまり、デバイ・ワラー係数の正確な推定値が必要です）。

ヌミス

ノースウェスタン大学マルチスライスおよびイメージング システム ( NUMIS ) は、ノースウェスタン大学の Laurence Marks 氏によって書かれたパッケージです。コマンドライン インターフェイス (CLI) を使用し、UNIX に基づいています。このコードを実行するには構造ファイルを入力として提供する必要があります。そのため、上級ユーザーに最適です。NUMIS マルチスライス プログラムは、結晶の底部での電子の波動関数を計算し、収束などのさまざまな装置固有のパラメータを考慮して画像をシミュレートすることにより、従来のマルチスライス アルゴリズムを使用します。このプログラムは、他の計算 (たとえば、密度汎関数理論) で使用した材料の構造ファイルが既にある場合に適しています。これらの構造ファイルは、NUMIS の PTBV ルーチンの入力として使用される一般的な X 線構造因子に使用できます。顕微鏡のパラメータは、MICROVB ルーチンを通じて変更できます。 ${\displaystyle C_{s}}$

マックテンパス

このソフトウェアは、ローレンス・バークレー国立研究所のRoar Kilaas氏によってMac OS X向けに特別に開発されました。ユーザーフレンドリーなユーザーインターフェースを備え、他の多くのコードと比較してメンテナンスが行き届いています（最終更新日：2013年5月）。こちらから（有料で）入手できます。

Jマルチス

これは、アリゾナ州立大学でジョン・C・スペンスの指導の下、ポスドク研究員だったJM・ズオがFORTRAN 77で作成したマルチスライスシミュレーション用ソフトウェアです。ソースコードはElectron Microdiffraction誌に掲載されています。^{[ 13 ]}同誌には、ZnTeのマルチスライスシミュレーションとブロッホ波シミュレーションの比較も掲載されています。また、2000年には、複数のマルチスライスアルゴリズムの比較も報告されています。^{[ 14 ]}

QSTEM

定量TEM/STEM（QSTEM）シミュレーションソフトウェアパッケージは、ドイツのベルリン・フンボルト大学のChristopher Koch氏によって開発されました。HAADF、ADF、ABF-STEMに加え、従来のTEMおよびCBEDのシミュレーションが可能です。実行ファイルとソースコードは、Kochグループのウェブサイトから無料でダウンロードできます。

幹細胞

これは、イタリアのナノサイエンス研究所（CNR）のVincenzo Grillo氏によって書かれたコードです。このコードは、Kirkland氏によって書かれたマルチスライスコードのグラフィカルフロントエンドであり、より多くの機能が追加されています。複雑な結晶構造の生成、HAADF画像のシミュレーション、STEMプローブのモデリング、材料の歪みモデリングなどのツールが含まれています。画像解析（GPAなど）やフィルタリングのためのツールも利用可能です。コードは頻繁に更新され、新機能が追加され、ユーザーメーリングリストも運営されています。ウェブサイトから無料で入手できます。

ドクター・プローブ

ユーリッヒ研究センターのエルンスト・ルスカ・センターのユリ・バルテル氏によって開発された、高解像度走査型およびコヒーレントイメージング透過型電子顕微鏡（STEM）用のマルチスライス画像シミュレーションです。このソフトウェアは、STEM画像計算を直接可視化するためのグラフィカルユーザーインターフェース版と、より包括的な計算タスクのためのコマンドラインモジュールバンドルで構成されています。プログラムはVisual C++、Fortran 90、およびPerlを使用して記述されています。Microsoft Windows 32ビットおよび64ビットオペレーティングシステム用の実行バイナリは、ウェブサイトから無料で入手できます。

clTEM

ウォーリック大学の Adam Dyson と Jonathan Peters によって書かれた OpenCL アクセラレーション マルチスライス ソフトウェア。clTEMは2019 年 10 月現在開発中です。

cudaEM

コードcudaEMは、 Stephen Pennycook のグループによって開発された、マルチスライス シミュレーション 用のCUDAに基づくマルチ GPU 対応コードです。

拡張機能

磁気マルチスライス

マルチスライスアルゴリズムの拡張として、磁気マルチスライス法（パウリマルチスライス法とも呼ばれる）があり、磁性材料の電子顕微鏡シミュレーションを可能にします。^{[ 15 ] [ 16 ]}この方法はパウリ方程式に基づいており、弾性散乱における電子のスピン角運動量と軌道角運動量の影響を組み込んでいます。従来のシュレーディンガー方程式に基づくマルチスライスアプローチとは異なり、磁気マルチスライス法は電子ビームと固体中の磁場との相互作用を明示的に考慮します。

非弾性散乱：フォノンとマグノン

マルチスライス法はフォノン^{[ 17 ]}とマグノン^{[ 18 ]}を含む非弾性散乱機構をモデル化するために拡張されている。

凍結フォノンマルチスライス法

凍結フォノンマルチスライス法（FPMS）は、熱振動が電子回折に与える影響をシミュレートするために開発された。^{[ 17 ]} 1990年代初頭に初めて導入されたFPMSは、熱分布からサンプリングされた原子変位の静的スナップショットを平均化することで、フォノン誘起歪みを近似する。^{[ 17 ] [ 19 ]}

凍結マグノンマルチスライス法

FPMSに触発されて、スピン波励起（マグノン）による電子の拡散散乱をモデル化するために、凍結マグノンマルチスライス法（FMMS）が導入されました。^{[ 18 ]} FMMSはFPMSと類似したアプローチに従いますが、パウリマルチスライスフレームワーク内で実装されており、非弾性磁気散乱プロセスのシミュレーションを可能にします。

電子エネルギー損失と利得分光法：フォノンとマグノン

FPMS と FMMS を基にして、 TEM / STEMにおける電子エネルギー損失分光法(EELS) と電子エネルギーゲイン分光法(EEGS)を計算するための追加の理論的手法が開発されました。

1. 周波数分解凍結フォノンマルチスライス（FRFPMS）：FPMSの拡張であるFRFPMS法は、周波数依存の原子振動を組み込んで、TEM / STEMにおける運動量分解フォノンEELS信号をモデル化します。 ^{[ 20 ]}
2. 補助波動関数の時間自己相関法（TACAW法）：TACAW法は、電子-フォノン相互作用および電子-マグノン相互作用における多重散乱効果を完全に動的に扱う手法である。補助波動関数の時間自己相関を利用することで、この手法はFPMS法とFMMS法を拡張し、フォノンとマグノンの両方について、TEM/STEMにおける運動量分解EELSおよびEEGSをシミュレートすることができる。^{[ 21 ]}

参考文献

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