多変量補間

複数変数の関数の補間

数値解析において、多変数補間または多次元補間とは、複数の変数を持つ、あるいは多次元領域で定義された多変数関数上の補間である。^[1]一般的な特殊な例として、2変数または2次元に基づく二変数補間または2次元補間がある。変数が空間座標である場合、空間補間とも呼ばれる。

補間される関数は特定の点において既知であり、補間問題は任意の点における値を生成することから構成されます。 ${\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i},\dots )}$ ${\displaystyle (x,y,z,\dots )}$

多変量補間は地統計学において特に重要であり、地球表面上の一連の点（たとえば、地形調査におけるスポット高度や水路調査における深度） からデジタル標高モデルを作成するために使用されます。

規則的なグリッド

いくつかの1次元および2次元補間の比較。
黒と赤/黄/緑/青の点は、それぞれ補間点と近傍サンプルに対応しています。
地面からの高さは、それぞれの値に対応しています。

規則的なグリッド（必ずしも均一ではない、事前に決定された間隔を持つ）上で既知の関数値の場合、次の方法を使用できます。

あらゆる次元

• 最近傍補間
• n線形補間（双線形補間と三線形補間、多重線形多項式を参照）
• n-3次補間（双3次補間と三次3次補間を参照）
• クリギング
• 逆距離重み付け
• 自然近傍補間
• スプライン補間
• ラジアル基底関数補間

2次元

• バーンズ補間
• 双線形補間
• 双三次補間
• ベジェ曲面
• ランチョス再サンプリング
• ドロネー三角形分割

ビットマップの再サンプリングは、画像処理における 2D 多変量補間の応用です。

同じデータセットに3つの手法を適用した結果。黒い点に位置する25個の値から抽出した。色は補間された値を表す。

• 
  最も近い隣人
• 
  双線形
• 
  バイキュービック

2 つの変数における多項式補間については、パドヴァ点も参照してください。

3次元

• 三線補間
• 3次補間

ビットマップの再サンプリングも参照してください。

テンソル積スプライン北寸法

キャットマル・ロムスプラインは任意の次元に簡単に一般化できます。3次エルミートスプラインの記事では、 xのみの関数である4次元ベクトルに対して、補間される関数のにおける値 が成り立つことを説明しました。この近似を次のように書き直すと、 ${\displaystyle \mathrm {CINT} _{x}(f_{-1},f_{0},f_{1},f_{2})=\mathbf {b} (x)\cdot \left(f_{-1}f_{0}f_{1}f_{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {b} (x)}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathrm {CR} (x)=\sum _{i=-1}^{2}f_{i}b_{i}(x)}$

この式はN次元に直接一般化できる：^[2]

${\displaystyle \mathrm {CR} (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{N}=-1}^{2}f_{i_{1}\dots i_{N}}\prod _{j=1}^{N}b_{i_{j}}(x_{j})}$

同様の一般化は、エルミートスプラインを含む他の種類のスプライン補間にも適用できることに注意してください。効率性に関しては、三次補間の記事で説明されているように、一般的な式は実際には、あらゆる種類のテンソル積スプラインに対して、連続する 型演算の合成として計算できます。ただし、 1次元の 型和に項がある場合、 次元和にも項が存在するという事実は変わりません。 ${\displaystyle \mathrm {CINT} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {CR} }$ ${\displaystyle n^{N}}$ ${\displaystyle N}$

不規則なグリッド（散在したデータ）

不規則グリッド上の散在データ用に定義されたスキームはより汎用的です。これらはすべて規則グリッド上でも機能し、通常は別の既知の手法に簡略化されます。

• 最近傍補間
• 三角形不規則ネットワークベースの自然近傍
• 三角形不規則ネットワークベースの線形補間（区分線形関数の一種）
  • n単体（例えば四面体）補間（重心座標系を参照）
• 逆距離重み付け
• ABOS - 平滑化に基づく近似
• クリギング
• 勾配強化クリギング(GEK)
• 薄板スプライン
• 多調和スプライン(薄板スプラインは多調和スプラインの特殊なケースです。)
• ラジアル基底関数(多調和スプラインは、低次多項式項を持つラジアル基底関数の特殊なケースです。)
• 最小二乗スプライン
• 自然近傍補間

グリッディングとは、不規則に間隔が空いたデータを規則的なグリッド (グリッド データ)に変換するプロセスです。

参照

• スムージング
• サーフェスフィッティング

注記

1. ジェッター、カート;ブーマン、マーティン D.オスマン、ヴェルナー。ロバート・シャバック。および Stöckler、Joachim:多変量近似と内挿のトピックス、Elsevier、ISBN 0-444-51844-4 (2006)
2. スプライン補間の2つの階層。多変数高次スプラインの実用的なアルゴリズム

外部リンク

• いくつかの 1D、2D、および 3D スプライン補間 (Catmull-Rom スプラインを含む) の C++ コードの例。
• 多次元エルミート補間と近似、パデュー大学チャンドラジット・バジャジャ教授
• 3D および 4D スプライン補間メソッドを含む Python ライブラリ。

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