p進数

数論では、素数 $p$ が与えられると、^{[注 1]} $p$ 進数は有理数の拡張を形成しますが、実数とは異なります。ただし、いくつかの類似した特性があります。p $進数は、(おそらく$ 無限の)小数に似た形式で表記できますが、桁は 10 ではなく素数 $p$ に基づき、右ではなく左に拡張されます。

例えば、有理数の $3$ 進展開と $3$ 進展開を比較すると、 ${\tfrac {1}{5}}$ ${\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}$

正式には、素数 $p$ が与えられたとき、 $p進数は$ $k$ が整数（負の場合もある）でそれぞれが次の整数である級数として定義できる。p進整数は $p$ 進数であり $、$ $s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots$ $a_{i}$ $0\leq a_{i}<p.$ $k\geq 0.$

$一般に、 p$ 進数を表す級数は、通常の意味では収束しませんが、 $p$ 進絶対値に対しては収束します。ここで、k $は$ 、次の最小の整数 $i$ です(すべてがゼロの場合、 $0が$ $p$ 進絶対値であるゼロの $p$ 進数があります)。 $|s|_{p}=p^{-k},$ $a_{i}\neq 0$ $a_{i}$

$あらゆる有理数は、 p$ 進絶対値に関する上記の級数の和として一意に表現できます。これにより、有理数を特別な $p$ 進数とみなすことができ、あるいは、実数が通常の絶対値に対する有理数の完備化であるのと同様に、 $p$ 進数を $p$ 進絶対値に対する有理数の完備化として定義することもできます。

$p$ 進数は1897年にクルト・ヘンゼルによって初めて記述されたが^[1]、後から考えてみると、エルンスト・クンマーの初期の著作のいくつかは暗黙的に $p$ 進数を使用していたと解釈できる。^{[注 2]}

モチベーション

大まかに言えば、正の整数 $n を法とする$ モジュラー演算は、任意の整数を $n$ で割ったときの剰余（ $n$ を法とする剰余）で「近似」する演算です。この剰余は n を法とする剰余と呼ばれます。モジュラー演算の主な性質は、整数に対する一連の演算の結果の $nを法とする剰余が、同じ一連の演算を$ $n$ を法とする剰余に対して行った結果と同じになることです。

ディオファントス方程式を研究する際には、素数 $p$ を法として方程式を簡約すると便利な場合があります。これは、方程式自体についてより深い洞察が得られるためです。しかし残念ながら、この簡約は単射ではないため、一部の情報が失われます。 $\mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p$

より多くの情報を保存する一つの方法は、より大きな素数冪、例えば $p 2$ 、 $p 3 、\dots$ といった大きなモジュラスを用いることです。しかし、これは体ではないという欠点があり、体で表現される多くの代数的性質が失われます。^[2] $\mathbb {Z} /p^{e}$ $\mathbb {Z} /p$

クルト・ヘンゼルは、素数 $p$ を法とし、ヘンゼルの補題を適用して $p$ を法とする解を $p 2$ 、 $p 3 、\dots$ を法とする解に引き上げる手法を発見しました。このプロセスにより無限の剰余列が生成され、 $p$ 進数はそのような列の「極限」として定義されます。

本質的に、 $p進数は「すべての$ $e$ について一度に $p e$ を法として計算する」ことを可能にする。p $進$ 数と通常の法算術との違いは、 $p$ 進数の集合が体を形成するため、 $p$ による除算が可能になることである（ $p$ $e$ を法として計算する場合とは異なり）。さらに、写像は単射であるため、 $p$ 進数に簡約しても多くの情報は失われない。^[2] $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Z} _{p}$

非公式な説明

$p$ 進数を理解する方法は複数あります。

ベースとしてp拡大

$p$ 進整数を考える一つの方法は、「 $p$ 」を基数として用いることです。例えば、すべての整数は $pを$ 基数として表すことができます。

$50=1212_{3}=1\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}$

非公式には、 $p$ 進整数は $p$ を底とする整数と考えることができるが、その数字は左に無限に広がる。^[2]

$\ldots 121012102_{3}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}$

$p$ 進整数の加算と乗算は $p$ 進整数と同様に実行できます。^[3]

たとえば、2 つの $p$ 進整数を加算する場合、その桁は右から左へ繰り上がりながら加算されます。 $\ldots 012102_{3}+\ldots 101211_{3}$

${\begin{array}{cccccccc}&&&_{1}&_{1}&&_{1}&\\&\cdots &0&1&2&1&0&2\,_{3}\\+&\cdots &1&0&1&2&1&1\,_{3}\\\hline &\cdots &1&2&1&0&2&0\,_{3}\end{array}}$

$p$ 進整数の乗算は、長乗算を介して同様に機能します。p $進$ 整数は加算と乗算を実行できるため、またはで表される環を形成します。 $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbf {Z} _{p}$

有理数の中には、真の意味で整数ではないとしても、 $p$ 進整数になり得るものがあることに注意してください。例えば、有理数⁠1/5⁠は3進整数であり、3進展開を持ちます。しかし、のような一部の有理数は $p$ 進整数として表すことができません。そのため、 $p進整数はさらに$ $p$ 進数へと一般化されます。 ${\tfrac {1}{5}}=\ldots 121012102_{3}$ ${\tfrac {1}{p}}$

$p$ 進数は、小数点以下の桁数が有限である $p$ 進整数と考えることができる。3進数の例は以下の通りである。

$\ldots 121012.102_{3}=\cdots +1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}+1\cdot 3^{-1}+0\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}$

同様に、すべての $p$ 進数はの形式になります。ここで、 $xは$ $p$ 進整数です。 ${\tfrac {x}{p^{k}}}$

$任意のp$ 進数 $x$ に対して、その逆数も $p$ 進数であり、長除法の変形を使用して計算できます。^[3]このため、 $p$ 進数は体を形成し、またはで表されます。 ${\tfrac {1}{x}}$ $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbf {Q} _{p}$

残基の配列としてmod $p$ ^け

$p$ 進整数を定義する別の方法は、各整数をmodで割った剰余の列として表すことである。^[2] $x_{e}$ $p^{e}$ $e$

$x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )$

の互換性関係を満たす。この表記法では、 $p$ 進整数の加算と乗算は成分ごとに定義される。 $x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})$ $i<j$

$x+y=(x_{1}+y_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}+y_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}+y_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )$ $x\cdot y=(x_{1}\cdot y_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\cdot y_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\cdot y_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )$

これは基数 $p の$ 定義と同等です。基数 $p$ の展開の最後の $k桁によって、 mod$ $p$ ^kの値が一意に定義され、その逆も同様です。

この形式は、有理数が整数ではないにもかかわらず、 $p$ 進整数となる理由も説明できます。例えば、⁠1/5⁠は 3 進整数です。その 3 進展開は5 mod 3、3 ^2、3 3 、... の逆数で構成されるためです^。

${\begin{aligned}{\frac {1}{5}}&=({\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3,~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{2},~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{3},~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{4},~\ldots )\\&=(2\operatorname {mod} 3,~2\operatorname {mod} 3^{2},~11\operatorname {mod} 3^{3},~65\operatorname {mod} 3^{4},~\ldots )\end{aligned}}$

意味

$p$ 進数には同値な定義がいくつかあります。以下に示す2つのアプローチは比較的初歩的です。

ベースの正式なシリーズとして $p$

p進整数は、多くの場合 $、$ それぞれが「 $p$ 進数の数字」を表す形式の正式な累乗級数として定義されます。 $r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+a_{3}p^{3}+\cdots$ $a_{i}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}$

p進単位とは、 $最初$ の桁が0でない $p進整数、すなわちである。すべての$ $p$ 進整数の集合は通常と表記される。^[4] $a_{0}\neq 0$ $\mathbb {Z} _{p}$

$p$ 進数は、形式ローラン級数として定義されます。ここで、 $v$ は（負の場合もある）整数で、各です。^[5]同様に、 $p$ 進数はの形式であり、 $xは$ $p$ 進整数です。 $r=\sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{v}p^{v}+a_{v+1}p^{v+1}+a_{v+2}p^{v+2}+a_{v+3}p^{v+3}+\cdots$ $a_{i}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}$ ${\tfrac {x}{p^{k}}}$

$r$ において数字が0でない最初の添え字 $v は、$ $r$ の $p$ 進値と呼ばれ、と表記されます。の場合、そのような添え字は存在しないため、慣例によりとなります。 $a_{v}$ $v_{p}(r)$ $r=0$ $v_{p}(0)=\infty$

$この定義では、 p$ 進数の加算、減算、乗算、除算は $p$ 進数の場合と同様に実行され、「繰り上がり」や「繰り下がり」は右から左ではなく左から右に移動します。^[6]の例として、 $\mathbb {Q} _{3}$

${\begin{array}{lllllllllll}&&&_{1}&&&&_{1}&&_{1}\\&2\cdot 3^{0}&+&0\cdot 3^{1}&+&1\cdot 3^{2}&+&2\cdot 3^{3}&+&1\cdot 3^{4}&+\cdots \\+&1\cdot 3^{0}&+&1\cdot 3^{1}&+&2\cdot 3^{2}&+&1\cdot 3^{3}&+&0\cdot 3^{4}&+\cdots \\\hline &0\cdot 3^{0}&+&2\cdot 3^{1}&+&0\cdot 3^{2}&+&1\cdot 3^{3}&+&2\cdot 3^{4}&+\cdots \end{array}}$

$p$ 進数の除算は、繰り上がりに注意すれば、形式的な冪級数の除算によって「形式的に」行うこともできる。 ^[5]

$これらの演算により、 p$ 進数の集合はと表記される体を形成します。 $\mathbb {Q} _{p}$

同値類として

$p$ 進数は、実数をコーシー列の同値類として定義するのと同様に、同値類として定義することもできます。これは基本的に以下の補題に基づいています。

すべての非ゼロ有理数 $r は、$ $v$ 、 $m$ 、 $n$ が整数で、 $m$ も $nも$ $p$ で割り切れない数であると表記できます。 ${\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},}$

指数 $vは$ $r$ によって一意に決定され、その $p$ 進評価と呼ばれ、と表記される。この補題の証明は、算術の基本定理から直接導かれる。 $v_{p}(r)$

p進級数は $、$ が（負の可能性のある）整数であり、がゼロであるか負でない値を持つ有理数（つまり、の分母が $p$ で割り切れない）である形式のローラン級数です。 $\sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},$ $v$ $r_{i}$ $r_{i}$

すべての有理数は、単一の非ゼロ項を持つ $p進数級数として考えることができ、$ $m$ と $n が$ 両方とも $p$ と互いに素である形式の因数分解で構成されます。 $p^{k}{\tfrac {m}{n}},$

2 つの $p$ 進級数とは、すべての整数に対して有理数が0 であるか、または $p進値が$ $n$ より大きい整数 $N$ が存在する場合に同等です。 ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}}$ $n>N,$ $\sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}$

p進級数は $、$ すべてが整数でかつとなるか、すべてが零である場合に正規化されます。後者の場合、級数は零級数と呼ばれます。 ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ $a_{i}$ $0\leq a_{i}<p,$ $a_{v}>0,$ $a_{i}$

あらゆる $p$ 進級数は、ちょうど1つの正規化級数と同値である。この正規化級数は、級数の同値性である一連の変換によって得られる。後述の「p進級数の正規化」を参照。

言い換えれば、 $p$ 進級数の同値性は同値関係であり、各同値類には正確に 1 つの正規化された $p$ 進級数が含まれます。

級数の通常の演算（加算、減算、乗算、除算）は、 $p進級数の同値性と両立する。つまり、$ $S$ 、 $T$ 、 $U$ が非零の $p$ 進級数であって、以下の式が成り立つとき、同値性を $~で表す。$ $S\sim T,$ ${\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}$

これにより、 $p$ 進数は $p$ 進数級数の同値類として定義されます。

正規化の一意性により、任意の $p進数は、対応する正規化された$ $p$ 進級数によって一意に表すことができます。級数同値性の互換性は、 $p$ 進数の基本的性質をほぼ即座に導き出します。

$p$ 進数の加算、乗算、逆乗は、形式的な冪級数の場合と同様に定義され、その後に結果の正規化が行われます。
これらの演算により、 $p$ 進数は有理数の拡大体である体を形成します。
非零 $p$ 進数 $x$ の値は通常、対応する正規化された級数の最初の非零項における $p$ の指数と表記される。零の値は次のようになる。 $v_{p}(x)$ $v_{p}(0)=+\infty$
非ゼロの $p$ 進数 $xの$ $p$ 進絶対値は、ゼロの $p$ 進数の場合、 $|x|_{p}=p^{-v(x)};$ $|0|_{p}=0.$

正規化p-adic シリーズ

級数から始めて、の $p$ 進値 (valuation) が0 になるような同値級数を求めます。そのためには、最初の 0 でないを考えます。その $p進値 (valuation) が 0 の場合、$ $v を$ $i$ に変更するだけで十分です。つまり、 $v$ から合計を開始します。それ以外の場合、の $p$ 進値 (valuation)はであり、の値 (valuation) は0 です。したがって、を $0$ に、をに変更することで同値級数が得られます。このプロセスを繰り返すと、おそらく無限に多くのステップを経た後、最終的に、 0 級数であるか、の値 (valuation) が 0 である級数であるかのいずれかの同値級数が得られます。 ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$ $r_{v}$ $r_{i}.$ $r_{i}$ $j>0,$ $r_{i}=p^{j}s_{i}$ $s_{i}$ $r_{i}$ $r_{i+j}$ $r_{i+j}+s_{i}.$ $r_{v}$

次に、級数が正規化されていない場合、区間内の整数でない最初の非ゼロの級数を考えます。ベズーの補題を用いて、これをと書きます。ここで、とは非負の値を持ちます。次に、をで置き換え、をに加えることで、同値級数が得られます。このプロセスを、場合によっては無限回繰り返すことで、最終的に目的の正規化された $p$ 進級数が得られます。 $r_{i}$ $[0,p-1].$ $r_{i}=a_{i}+ps_{i}$ $a_{i}\in [0,p-1]$ $s_{i}$ $r_{i}$ $a_{i},$ $s_{i}$ $r_{i+1}.$

その他の同等の定義

他の同等の定義では、離散評価環の完備化（§ p 進整数を参照）、距離空間の完備化（§ 位相的性質を参照）、または逆極限（§ モジュラー的性質を参照）が使用されます。

p進数は $、$ 正規化された $p$ 進数列として定義できます。一般的に用いられる他の同等の定義が存在するため、正規化された $p$ 進数列は $p$ 進数であると言う代わりに、p進数 $を$ 表すとよく言われます。

$あらゆるp$ 進級数は、唯一の正規化された $p$ 進級数と同値であるため、任意のp進級数はp進数 $を$ $表す$ とも言える。これは $p$ 進数の演算（加算、減算、乗算、除算）を定義する際に有用である。このような演算の結果は、級数に対する対応する演算の結果を正規化することによって得られる。級数演算は $p$ 進級数の同値性と互換性があるため、これは $p$ 進数に対する演算を適切に定義する。

これらの演算により、 $p$ 進数は $p$ 進数体と呼ばれる体を形成し、またはと表記されます。有理数から $p進数への$ 体準同型は唯一存在し、これは有理数をその $p$ 進展開に写します。この準同型の像は、一般に有理数体と同一視されます。これにより、 $p$ 進数を有理数の拡大体、有理数を $p$ 進数の部分体として考えることができます。 $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbf {Q} _{p}.$

非零の $p$ 進数 $x$ の値は、一般的には $xを表すすべての$ $p$ 進級数の最初の非零項における $p$ の指数と表記されます。慣例により、つまり、ゼロの値は次のようになります。この値は離散値です。この値を有理数に限定すると、 $p$ 進値、つまり、 $n$ と $dが$ $p$ と互いに素であるような有理数の因数分解における指数 $v$ になります。 $v_{p}(x),$ $v_{p}(0)=\infty ;$ $\infty .$ $\mathbb {Q} ,$ ${\tfrac {n}{d}}p^{v},$

表記

$p$ 進展開の表記にはいくつかの異なる慣例があります。この記事ではこれまで、 $p$ のべき乗が右から左へ増加する $p$ 進展開の表記法を用いてきました。この右から左への表記法を用いると、例えばの3進展開は次のように書きます。 ${\tfrac {1}{5}},$ ${\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.$

この表記法で算術演算を行う際、桁は左に繰り上がります。また、 $p進展開を記述して、$ $p$ のべき乗が左から右に増加し、桁が右に繰り上がるように書くことも可能です。この左から右への表記法を用いると、の 3 進展開は次のようになります。 ${\tfrac {1}{5}}$ ${\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.$

$p$ 進展開は、 ${0, 1, ...,$ $p$ $- 1$ }の代わりに他の数字の組で表すこともできる。例えば、の $3$ 進展開は、 ${$ $1$ $, 0, 1 }という$ 3進数で表すことができ、 $1$ は負の1を表す。 ${\tfrac {1}{5}}$ ${\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.$

実際、 pを法とする異なる剰余類に属する $p$ 個の整数の任意の集合は $、p$ $進$ 数字として用いることができる。数論では、タイヒミュラー表現が数字として用いられることがある。^[7]

引用符記法は、有理数 $p$ 進表現の変形であり、1979年にエリック・ヘーナーとナイジェル・ホースプールコンピュータ上でこれらの数を用いた（正確な）算術演算を実装するために用いられました。^[8]これは、無限周期の数字列を持つ有理数を簡潔に表現する方法として用いられます。この記法では、引用符（'）を用いて繰り返し部分と非繰り返し部分を区切ります。 ${\frac {1}{5}}=1210\,'2_{3}$

p有理数の -進展開

正の有理数の小数展開は、が整数で、それぞれがとなる整数である級数として表現されます。この展開は、分子を分母で長除算することで計算できます。この長除算自体は、次の定理に基づいています。が有理数で、となる整数が存在し、となります。小数展開は、この結果を反復的に剰余に適用することで得られ、反復では、剰余は元の有理数の役割を担います。 $r$ $r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},$ $k$ $a_{i}$ $0\leq a_{i}<10.$ $r={\tfrac {n}{d}}$ $0\leq r<1,$ $a$ $0\leq a<10,$ $10r=a+r',$ $0\leq r'<1.$ $r'$ $r$

有理数のp進展開も同様に計算できますが、除算の手順が異なります。dが非負の有理数（つまり、dはpで割り切れない）であるとします。除算の $手順$ は $次$ $の$ ように書きます。 $r={\tfrac {n}{d}}$ $r=a+p\,r'$ ここで、は、負でない値を持つ整数です。 $a$ $0\leq a<p,$ $r'$

整数 $aは$ モジュラー逆数として計算できます: 。そのため、 $rを$ このように表記することは常に可能であり、そのような表現は一意です。 $a=nd^{-1}\operatorname {mod} p$

有理数の p 進展開は、最終的には周期的となる。 $逆$ に、の級数が（ $p$ 進絶対値に関して）有理数に収束する場合、それが最終的には周期的となる場合と同値である。この場合、級数はその有理数の $p進展開となる。$ 証明は、循環小数の場合の同様の結果の証明と同様である。 ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$ $0\leq a_{i}<p$

例

の5進展開を計算してみましょう。この数はと書くことができます。したがって、最初のステップではを使用します。次のステップでは、「剰余」をと書くことができます。したがって、を使用します。「剰余」をと書くことができます。したがって、を使用します。「剰余」を再び得ることに注意してください。つまり、この時点以降は数字が繰り返されるだけです。標準的な5進記法では、これをと書き、左側に省略記号を付けます。 ${\tfrac {1}{3}}.$ ${\tfrac {1}{3}}=2+5\cdot {\tfrac {-1}{3}}$ $a=2$ ${\frac {1}{3}}=2+5^{1}\cdot \left({\frac {-1}{3}}\right)$ ${\tfrac {-1}{3}}$ ${\tfrac {-1}{3}}=3+5\cdot {\tfrac {-2}{3}}$ $a=3$ ${\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+5^{2}\cdot \left({\frac {-2}{3}}\right)$ ${\tfrac {-2}{3}}$ ${\tfrac {-2}{3}}=1+5\cdot {\tfrac {-1}{3}}$ $a=1$ ${\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+1\cdot 5^{2}+5^{3}\cdot \left({\frac {-1}{3}}\right)$ ${\tfrac {-1}{3}}$ ${\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+1\cdot 5^{2}+3\cdot 5^{3}+1\cdot 5^{4}+3\cdot 5^{5}+1\cdot 5^{6}+\cdots$ ${\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}$ $\ldots$

p-進整数

p進整数は $、$ 非負の値を持つ $p$ 進数です。

-進整数は、各整数をmod する剰余のシーケンスとして表すことができ、の互換性関係を満たします。 $p$ $x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )$ $x_{e}$ $p^{e}$ $e$ $x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})$ $i<j$

すべての整数は -進整数です（なので、ゼロも含みます）。とが互いに素である形の有理数も -進整数です（は任意のに対して逆数の mod を持つため）。 $p$ $0<\infty$ ${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$ $d$ $p$ $k\geq 0$ $p$ $d$ $p^{e}$ $e$

p進整数は、またはと表記される可換環を形成し、次の特性を持ちます $。$ $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbf {Z} _{p}$

これは体の部分環であるか、または 2 つの非ゼロ $p$ 進級数の積の級数表現の最初の項がそれらの最初の項の積であるため、整域です。
の単位（可逆元）は、価数がゼロの $p$ 進数です。 $\mathbb {Z} _{p}$
これは主イデアル領域であり、各イデアルは $p$ のべき乗によって生成されます。
これは、その唯一の素イデアルが零イデアルと、 $p$ によって生成されるイデアル、すなわち唯一の最大イデアルであるため、Krull 次元1の局所環です。
これは前述の特性から得られるため、離散評価環である。
これは、素イデアルにおける局所化である局所環の完成である。 $\mathbb {Z} _{(p)}={\bigl \{}{\tfrac {n}{d}}\mathbin {\big |} n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} {\bigr \}},$ $\mathbb {Z}$ $p\mathbb {Z} .$

最後の特性は、上記の定義と同等の $p$ 進数の定義を提供します。 $p$ 進数の体とは、 $p$ によって生成される素イデアルにおける整数の局所化の完備化の分数の体です。

位相的性質

$p$ 進評価は p 進数の絶対値を定義することを可能にする。 $非$ ゼロのp進数 x の p 進絶対値は $で$ ある $。$ $ここ$ では $x$ の $p$ 進評価である。の $p$ 進絶対値はである。これは、任意の $x$ と $y$ に対して、以下の式を満たす強三角不等式を満たす絶対値である。 $|x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},$ $v_{p}(x)$ $0$ $|0|_{p}=0.$

$|x|_{p}=0$ もし、そして、もし、 $x=0;$
$|x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p};$
$|x+y|_{p}\leq \max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}\leq |x|_{p}+|y|_{p}.$

さらに、もし $|x|_{p}\neq |y|_{p},$ $|x+y|_{p}=\max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}.$

これにより、 $p$ 進数は距離空間となり、さらには超距離空間となり、 $p$ 進距離は次のように定義される。 $d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.$

計量空間として、 $p$ 進数は $p$ 進絶対値を備えた有理数の完備化を形成する。これは $p$ 進数を定義する別の方法を提供する。

計量は離散値から定義されるため、すべての開いた球は閉じた球でもある。より正確には、開いた球は閉じた球に等しく、 $v$ は最小の整数である。同様に、 $w$ は最大の整数である。 $B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}$ $\textstyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},$ $\textstyle p^{-v}<r.$ $\textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),$ $\textstyle p^{-w}>r.$

これは $p$ 進数が局所コンパクト空間（局所コンパクト体）を形成し、 $p$ 進整数（つまり球体）がコンパクト空間を形成することを意味します。^[9] $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$ $B_{1}[0]=B_{p}(0)$

2進整数の空間はカントール集合に同相である。^[10]^[11]これは、によって定義される連続1対1写像を考えるとわかる。さらに、任意の $p$ に対して、はに同相であり、したがってカントール集合にも同相である。^[12] $\mathbb {Z} _{2}$ ${\mathcal {C}}$ $\psi :\mathbb {Z} _{2}\to {\mathcal {C}}$ $\psi :~a_{0}+a_{1}2+a_{2}2^{2}+a_{3}2^{3}+\cdots ~\longmapsto ~{\frac {2a_{0}}{3}}+{\frac {2a_{1}}{3^{2}}}+{\frac {2a_{2}}{3^{3}}}+{\frac {2a_{3}}{3^{4}}}+\cdots$ $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{2}$

$p$ 進整数群のポンチャギン双対はプリューファー $p$ 群であり、プリューファー $p$ 群のポンチャギン双対は $p$ 進整数群である。^[13] $\mathbb {Z} (p^{\infty })$

モジュラープロパティ

商環はを法とする整数環と同一視できる。これは、正規化された $p$ 進数級数で表されるすべての $p$ 進整数が、その値が区間内の整数である部分和を法として合同であることを示すことによって示される。簡単な検証により、これがからへの環同型を定義することがわかる。 $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ $p^{n}.$ $p^{n}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$ $[0,p^{n}-1].$ $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .$

環の逆極限は、任意の $i$ に対してとなるようなシーケンスによって形成される環として定義されます。 $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ $a_{0},a_{1},\ldots$ $a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z}$ ${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$

$正規化されたp$ 進級数をその部分和のシーケンスにマッピングするマッピングは、からの逆極限への環同型です。これにより、 $p$ 進整数 (同型まで)を定義する別の方法が提供されます。 $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.$

この $p$ 進整数の定義は、逐次近似によって $p$ 進整数を構築できるため、実用的な計算に特に役立ちます。

例えば、整数の $p進逆数（乗法逆数）を計算するには、$ ニュートン法を使って、逆数を法 $p$ から開始します。そして、各ニュートンステップで逆数を法pから法逆数を計算します。 ${\textstyle p^{n^{2}}}$ ${\textstyle p^{n}.}$

$同じ方法は、 pを法とする$ 平方剰余である整数の $p$ 進平方根を計算するのにも使えます。これは、大きな整数が平方数かどうかを判定する最も高速な既知の方法のようです。与えられた整数がにある値の平方数であるかどうかを判定するだけで十分です。ニュートン法を用いて平方根を求めるには、が与えられた整数の2倍よりも大きいことが必要ですが、これはすぐに満たされます。 $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ ${\textstyle p^{n}}$

ヘンゼルリフティングは、整数係数を持つ多項式の $p$ を法とする因数分解を、大きな $n$ の値を持つ因数分解に「持ち上げる」ことを可能にする同様の手法です。これは、多項式因数分解アルゴリズムでよく使用されます。 ${\textstyle p^{n}}$

基数

とはどちらも非可算であり、連続体の濃度を持ちます。^[14]これは $p$ 進表現から生じ、の冪集合上の一対一表現を定義します。これはのコピーの可算無限和として表現されることから生じます。 $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p},$ $\mathbb {Z} _{p}$ $\{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.$ $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.$

代数的閉包

$\mathbb {Q} _{p}$ を含み、特性 $0$ の体です。 $\mathbb {Q}$

$0は$ 平方和として表すことができるため、 ^[注3]を順序付き体に変換することはできません。 $\mathbb {Q} _{p}$

実数体には、複素数という唯一の適切な代数的拡大が存在する。言い換えれば、この二次拡大は既に代数的に閉じている。対照的に、の代数的閉包は無限次数を持ち、[ ^15]つまり、は無限個の非同値な代数的拡大を持つ。また、実数の場合と対照的に、後者への $p$ 進付値の唯一の拡大が存在するものの、（計量的に）完全ではない。^[16]^[17] $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q} _{p}$ ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}},$ $\mathbb {Q} _{p}$ ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}},$

その（計量）完備化はまたはと表記され、^[17]^[18]、複素数との類推から複素 $p$ 進数と呼ばれることもある。ここで終点に達し、は代数的に閉じている。^[17]^[19]しかし、これとは異なり、は局所コンパクトではない。^[18] $\mathbb {C} _{p}$ $\Omega _{p}$ $\mathbb {C} _{p}$ $\mathbb {C}$

$\mathbb {C} _{p}$ とは環として同型であるため^{[注 4]} 、エキゾチックな計量を備えていると見なすことができます。このような体同型の存在証明は選択公理に依存しており、そのような同型の明示的な例は示されていません（つまり、構成的ではありません）。 $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} _{p}$ $\mathbb {C}$

がガロア群の任意の有限ガロア拡大である場合、ガロア群は可解である。したがって、ガロア群は可解である。 $K$ $\mathbb {Q} _{p},$ $\operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)$ ${\operatorname {Gal} }{\bigl (}\,{\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}{\bigr )}$

乗法群

$\mathbb {Q} _{p}$ $にn$ -次元円分体( $n > 2$ )が含まれるのは、 $n | p - 1$ の場合に限ります。^[20]例えば、 $n$ -次元円分体がの部分体となるのは、 $n$ $= 1, 2, 3, 4, 6$ , $12$ の場合に限ります。特に、 $p$ $> 2$ の場合、には乗法的な $p$ -捩れは存在しません。また、の唯一の非自明な捩れ元は $-1$ です。 $\mathbb {Q} _{13}$ $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Q} _{2}$

自然数 $k$ が与えられたとき、その中の非ゼロ元の $k$ 乗の乗法群の指数は有限である。 $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Q} _{p}^{\times }$

階乗の逆数の和として定義される数 $e$ $は、どのp$ 進体の元でもありません。ただしについてはです $。p$ $= 2 の$ 場合には、少なくとも 4 乗をとらなければなりません。^{[21] (したがって、} $e$ と同様の特性を持つ数、つまり $e$ $p$ $のp$ 乗根は、すべての $p$ に対しての元です。) $e^{p}\in \mathbb {Q} _{p}$ $p\neq 2$ $\mathbb {Q} _{p}$

ローカル・グローバル原則

ヘルムート・ハッセの局所・大域原理は、方程式が有理数上で解けることと、実数上でかつ任意の素数 $pに対して$ $p$ 進数上で解けることが同値であるとき、かつその方程式に対して成立すると言われる。この原理は、例えば二次形式で表される方程式には成立するが、複数の不定元を含む高次多項式には成立しない。

ヘンゼルリフトによる有理数演算

アプリケーション

p進数は物理学だけでなく数学のいくつかの分野でも登場しています。

分析

実数解析と複素数解析という、それぞれ実数と複素数上の関数を扱うより古典的な分野と同様に、 p進解析はp進数上の関数を研究します。p進数上の複素数値関数の理論は、局所コンパクト群の理論（抽象調和解析）の一部です。p進解析というと、通常、関心のある空間上のp進値関数の理論を指します。

p進解析の応用は主に数論において行われており、ディオファントス幾何学とディオファントス近似において重要な役割を果たしている。一部の応用では、 p進関数解析とスペクトル理論の発展が必要となった。多くの点でp進解析は古典解析よりも複雑ではない。これは、超計量不等式によって、例えばp進数の無限級数の収束がはるかに単純になることを意味するためである。p進体上の位相ベクトル空間は独特の特徴を示し、例えば凸性やハーン・バナッハの定理に関する側面が異なる。

p進解析からの 2 つの重要な概念は、すべての連続p進関数を多項式で特徴付けるマーラーの定理と、 p進関数の積分法を提供するフォルケンボルン積分です。

ホッジ理論

p進ホッジ理論は、残差特性pを持つ特性 0 の局所体( Q _pなど)のp進ガロア表現を分類および研究する方法を提供する理論です。この理論は、ジャン＝ピエール・セールとジョン・テイトによるアーベル多様体のテイト加群の研究とホッジ・テイト表現の概念に端を発しています。ホッジ・テイト表現は、ホッジ分解に類似したp進コホモロジー理論の特定の分解に関連しているため、 p進ホッジ理論という名前が付けられています。その後の発展は、多様体のエタール・コホモロジーから生じるp進ガロア表現の特性に触発されました。ジャン＝マルク・フォンテーヌは、この体の基本概念の多くを導入しました。

タイヒミュラー理論

p進タイヒミュラー理論は、p進曲線とそのモジュライの「均一化」を記述するものであり、リーマン面とそのモジュライの均一化を記述する通常のタイヒミュラー理論を一般化したものである。この理論は望月新一によって導入・発展された。

量子物理学

p進量子力学は、量子物理学における実数をp進数に置き換える関連研究の総体です、実数上の積分を用いて計算される開ボソン弦のヴェネツィアーノ振幅がp進数に一般化できるという発見に触発されました。この発見がp進弦理論の研究の始まりとなりました。

一般化と関連概念

実数体と $p進数は有理数の完備化です。他の体、例えば一般$ 代数体も同様の方法で完備化できます。これについて以下に説明します。

Dがデデキント整域で、Eがその分数体であるとします。 Dの非ゼロ素イデアル Pを選びます。x がEの非ゼロ元である場合、xDは分数イデアルであり、 Dの非ゼロ素イデアルの正と負の累乗として一意に因数分解できます。この因数分解におけるPの指数をord _P ( x )と書き、 1 より大きい数cの任意の選択に対して、を設定できます。この絶対値|⋅| _Pに関して完成させると、 p進数の体をこの設定に適切に一般化した体E _Pが得られます。 cの選択によって完成は変わりません (異なる選択をしても同じコーシー列の概念が得られるため、同じ完成になります)。留数体D / Pが有限である場合、 cについてD / Pのサイズを取ると便利です。 $|x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.$

例えば、Eが数体の場合、オストロフスキーの定理によれば、 E上のすべての非自明な非アルキメデス的絶対値は、何らかの|⋅| _Pとして生じる。E 上の残りの非自明な絶対値は、 Eの実数または複素数への異なる埋め込みから生じる。（実際、非アルキメデス的絶対値は、単にEの体C _pへの異なる埋め込みと見なすことができ、これにより、数体上のすべての非自明な絶対値の記述が共通の基盤に置かれる。）

E が数体（あるいはより一般的には大域体）である場合、上述のすべての完備化を同時に追跡する必要があることがよくあります。これらの完備化は「局所的」な情報を符号化するものとみなされます。これはアデール環とイデール群によって実現されます。

p進整数はp進ソレノイドに拡張できます。からp進整数を繊維とする円群への写像が存在し、これはからを繊維とする円への写像が存在することと類似しています。 $\mathbb {T} _{p}$ $\mathbb {T} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Z}$

p進整数は、環の直積として理解できるprofinite 整数に拡張することもできます。素数累乗p ^{kのみを法として一般化する}p進整数とは異なり、 profinite 整数はすべての自然数nを法として一般化します。 ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ ${\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.$

参照

脚注

注記

^ この記事では、特に断りのない限り、 $p は$ 一度だけ固定された素数を表します。
^訳者序文、35ページ：「実際、後から考えてみると、クンマーの理想数の概念の背後には 離散的な評価が存在していることが明らかになる。」（デデキント＆ウェーバー 2012、35ページ）
^ ヘンゼルの補題によれば $、には-7$ の平方根が含まれるので、 $p$ $> 2$ であればにも $1 -$ $p$ の平方根が含まれるので、 $\mathbb {Q} _{2}$ $2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+\left({\sqrt {-7}}\right)^{2}=0,$ $\mathbb {Q} _{p}$ $(p-1)\times 1^{2}+\left({\sqrt {1-p}}\right)^{2}=0.$
^ 2 つの代数的に閉じた体は、それらが同じ特性と超越次数 (たとえば、Lang のAlgebra X §1 を参照) を持ち、両方とも特性0 と連続体の濃度を持つ場合にのみ同型です。 $\mathbb {C} _{p}$ $\mathbb {C}$

引用

^ (ヘンゼル 1897)
^ abcd （陳、第27章）
^ ab (コチ 2002)
^ （コブリッツ 1984、13ページ）
^ ab (Gouvêa 1997, p. 18)
^ （コブリッツ 1984、14～15ページ）
^ (ヘイズウィンケル 2009, p. 342)
^ (ヘナー＆ホースプール 1979、124～134ページ)
^ (Gouvêa 1997、結果 4.2.7)
^ （ロバート 2000、第1章第2.3節）
^ (Gouvêa 1997、定理 4.4.1)
^ (Gouvêa 1997、定理 4.4.2)
^ (アーマコスト＆アーマコスト 1972)
^ (ロバート 2000、第1章第1.1節)
^ (Gouvêa 1997、結果 5.3.10)
^ (Gouvêa 1997、定理 5.7.4)
^ abc (カッセルズ 1986, p. 149)
^ ab (コブリッツ 1980, p. 13)
^ (Gouvêa 1997、命題 5.7.8)
^ (Gouvêa 1997、命題 3.4.2)
^ (ロバート 2000、セクション4.1)

参考文献

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さらに読む

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ボレヴィッチ, ZI ;シャファレヴィッチ, IR (1986) 『数論、純粋数学と応用数学』第20巻、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-117851-2、MR 0195803
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外部リンク

Weisstein, Eric W.「p進数」。MathWorld。
Springer On-line Encyclopaedia of Mathematicsの p 進数

[1] この記事では、特に断りのない限り、 $p は$ 一度だけ固定された素数を表します。

[3] ^訳者序文、35ページ：「実際、後から考えてみると、クンマーの理想数の概念の背後には 離散的な評価が存在していることが明らかになる。」（デデキント＆ウェーバー 2012、35ページ）

[17] ヘンゼルの補題によれば $、には-7$ の平方根が含まれるので、 $p$ $> 2$ であればにも $1 -$ $p$ の平方根が含まれるので、 $\mathbb {Q} _{2}$ $2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+\left({\sqrt {-7}}\right)^{2}=0,$ $\mathbb {Q} _{p}$ $(p-1)\times 1^{2}+\left({\sqrt {1-p}}\right)^{2}=0.$

[23] 2 つの代数的に閉じた体は、それらが同じ特性と超越次数 (たとえば、Lang のAlgebra X §1 を参照) を持ち、両方とも特性0 と連続体の濃度を持つ場合にのみ同型です。 $\mathbb {C} _{p}$ $\mathbb {C}$

[2] (ヘンゼル 1897)

[Chen-4] （陳、第27章）

[Koc-5] (コチ 2002)

[6] （コブリッツ 1984、13ページ）

[G18-7] (Gouvêa 1997, p. 18)

[8] （コブリッツ 1984、14～15ページ）

[9] (ヘイズウィンケル 2009, p. 342)

[10] (ヘナー＆ホースプール 1979、124～134ページ)

[11] (Gouvêa 1997、結果 4.2.7)

[12] （ロバート 2000、第1章第2.3節）

[13] (Gouvêa 1997、定理 4.4.1)

[14] (Gouvêa 1997、定理 4.4.2)

[15] (アーマコスト＆アーマコスト 1972)

[16] (ロバート 2000、第1章第1.1節)

[18] (Gouvêa 1997、結果 5.3.10)

[19] (Gouvêa 1997、定理 5.7.4)

[C149-20] (カッセルズ 1986, p. 149)

[K13-21] (コブリッツ 1980, p. 13)

[22] (Gouvêa 1997、命題 5.7.8)

[24] (Gouvêa 1997、命題 3.4.2)

[25] (ロバート 2000、セクション4.1)

v t e 数体系
定義可能な数の集合	自然数（） $\mathbb {N}$ 整数（） $\mathbb {Z}$ 有理数（） $\mathbb {Q}$ 構成可能な数字代数的数（） $\mathbb {A}$ 閉じた形式の数期間（） ${\mathcal {P}}$ 計算可能な数算術数字集合論的に定義可能な数ガウス整数ガウス有理数アイゼンシュタイン整数
合成代数	除算代数：実数（） $\mathbb {R}$ 複素数（） $\mathbb {C}$ クォータニオン（） $\mathbb {H}$ 八元数（） $\mathbb {O}$
分割タイプ	以上： $\mathbb {R}$ 分割複素数分割四元数分割八元数上: $\mathbb {C}$ 双複素数双四元数バイオクトニオン
その他のハイパーコンプレックス	二重番号双対四元数双対複素数双曲四元数セデニオン（） $\mathbb {S}$ トリギンタデュオニオン（） $\mathbb {T}$ 分割双四元数多重複素数幾何代数/クリフォード代数物理空間の代数時空代数平面ベースの幾何代数
無限と無限小	基数拡張自然数拡張実数射影的拡張複素数超実数レヴィ・チヴィタ平原序数超自然的な数字超実数超実数
その他のタイプ	無理数曖昧な数字超越数 p進数（p進ソレノイド）有限整数通常の数値
分類リスト

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全国	アメリカ合衆国フランス BnFデータイスラエル
他の	イェール・ラックス

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