Ext関数

Construction in homological algebra

数学において、Ext関手はHom関手の導来関手である。Tor関手とともに、Extはホモロジー代数の中核概念の一つであり、代数位相幾何学の考え方を用いて代数構造の不変量を定義する。群のコホモロジー、リー代数、結合代数はすべてExtを用いて定義できる。この名称は、最初のExt群Ext ^{1が、ある}モジュールの拡張を別のモジュールで分類するという事実に由来する。

アーベル群の特殊な場合において、Extは1934年にラインホルト・ベーアによって導入された。^[1]これは1942年にサミュエル・アイレンバーグとサンダース・マクレーンによって命名され、 ^[2]位相幾何学（コホモロジーの普遍係数定理）に適用された。任意の環上の加群に対しては、Extは1956年にアンリ・カルタンとアイレンバーグによって定義された。^[3]

意味

を環とし、上の加群の圏 をとする。(これは左-加群または右-加群のいずれかを意味すると解釈できる。) 固定された-加群に対して、においてが成り立つとする。(これはから への -線型写像のアーベル群である。 が可換であれば、これは-加群である。) これはからアーベル群の圏への左完全関数であり、したがって右導来関数を持つ。Ext 群は、以下で定義されるアーベル群である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(B)={\text{Hom}}_{R}(A,B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,B)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ ${\displaystyle R^{i}T}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

整数 iに対して、定義により、これは次のことを意味する：任意の単射的解決をとる

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,}$

項Bを削除して、コチェーン複合体を形成します。

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

各整数 に対して、はこの複体 の位置 におけるコホモロジーです。負の値の場合は 0 です。例えば、は の核であり、と同型です。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}_{R}^{i}(A,B)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}_{R}^{0}(A,B)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,I^{0})\rightarrow {\text{Hom}}_{R}(A,I^{1})}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,B)}$

別の定義では、固定された- 加群に対して関数 を用いる。これは反変関数であり、の反対のカテゴリからの左完全関数と見ることができる。Ext 群は右導来関数 として定義される。 ${\displaystyle G(A)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (R{\text{-Mod}})^{\text{op}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ ${\displaystyle R^{i}G}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

つまり、任意の射影解像度を選択する

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

項を削除して、コチェーン複体を形成します。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

すると、この複体の位置 におけるコホモロジーは になります。 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)}$ ${\displaystyle i}$

なぜこれまで解決の選択が曖昧にされてきたのか疑問に思う人もいるかもしれない。実際、カルタンとアイレンバーグは、これらの構成は射影的解決か単射的解決かの選択とは独立であり、どちらの構成でも同じExt群が得られることを示した。^[4]さらに、固定された環Rに対して、Ext は各変数の関手（Aでは反変、Bでは共変）となる。

可換環RとR加群AとBに対して、 Extⁱ
_R( A , B ) はR加群である（この場合 Hom _R ( A , B ) がR加群であることを用いる）。非可換環Rに対して、 Extⁱ
_R( A , B ) は一般にはアーベル群でしかない。Rが環 S上の代数（特にSが可換であることを意味する）ならば、Extⁱ
_R( A、B ) は少なくともS加群である。

Extのプロパティ

以下にExt群の基本的な性質と計算をいくつか示す。^[5]

• 内線⁰
  _R任意のR加群AとBに対して、 Hom R ( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) となる。
• 内線ⁱ
  _RRモジュールAが射影的（たとえば自由）であるか、 Bが単射的である場合、すべてのi > 0に対して( A , B ) = 0 となります。
• 逆もまた成り立ちます:
  • 内線の場合^1R
    _​( A , B ) = 0 がすべてのBに対して成り立つとき、Aは射影的である（したがって Extⁱ
    _R( A、B ) = 0（すべてのi > 0 の場合）
  • 内線の場合^1R
    _​( A , B ) = 0 がすべてのAに対して成り立つならば、Bは単射である（したがって Extⁱ
    _R( A、B ) = 0（すべてのi > 0 の場合）
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$すべておよびすべてのアーベル群およびに対して。^[6] ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• 前の例を一般化すると、が主イデアル領域である場合、すべての に対して となります。 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$ ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle R}$
• が可換環で が零因子でない場合、 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

任意の-加群に対して。ここで はの -捩れ部分群を表す。を整数環とすると、この計算は任意の有限生成アーベル群に対してを計算するのに使用できる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B[u]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{x\in B:ux=0\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$ ${\displaystyle A}$

• 前の例を一般化すると、最初のモジュールが任意の正則列による可換環の商であるとき、コシュル複体^[7]を用いてExt群を計算することができる。例えば、Rが体k上の多項式環 k [ x ₁ ,..., x _n ]である場合、Ext^*
  _R( k , k ) はExt ^{1における}n個の生成元k上の外積代数 Sである。さらに、 Ext^*
  _S( k , k ) は多項式環Rです。これはKoszul 双対性の例です。
• 導来関手の一般的な性質により、 Extには2つの基本的な完全列が存在する。 ^[8]まず、R加群の短完全列は、 次のような長完全列を誘導する。 ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

任意のR加群Aに対して成り立つ。また、短完全列は、以下の形の長完全列を誘導する。 ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

任意のRモジュールBに対して。

• Extは、最初の変数の直和（無限大の可能性もある）と、 2番目の変数の積を積で取ります。[ ^9]つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• A を可換ノイザン環R上の有限生成加群とする。このとき、 Ext は局所化と可換であり、R内の任意の乗法的に閉集合S、任意のR加群B、および任意の整数iに対して、^[10]

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Extと拡張機能

拡張の同等性

Ext群は、加群の拡大との関係からその名前が付けられている。R加群AとBが与えられたとき、 BによるAの拡大はR加群の短完全列となる。

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

2つの拡張機能

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

は、可換図が存在する場合（AのBによる拡張として）同値であると言われる。

五つの補題は、中央の矢印が同型であることを示唆していることに注意する。AのBによる拡大は、それが自明な拡大と同値であるとき、分割と呼ばれる。

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

AのBによる拡大の同値類とExtの元との間には1対1の対応がある。^1R
_​（A、B）。^[11]これは次のように明確に説明できる。

証明。短い完全列を固定する

${\displaystyle 0\to M\to P\to A\to 0}$

ここで射影的である。を適用すると、長完全列が得られる。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,B)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,B)\to \operatorname {Hom} (M,B)\xrightarrow {\delta } \operatorname {Ext} (A,B)\to 0.}$

が与えられたとき、となるように選ぶ。写像の余核によって与えられる に沿ったの押し出しを考える。 ${\displaystyle x\in \operatorname {Ext} (A,B)}$ ${\displaystyle \beta \in \operatorname {Hom} (M,B)}$ ${\displaystyle \delta (\beta )=x}$ ${\displaystyle j:M\to P}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle M\to P\oplus B,\quad m\mapsto (j(m),-\beta (m)).}$

をこの押し出しオブジェクトとして定義します。これにより、可換図が得られます。 ${\displaystyle X}$

ここで、写像 によって が誘導されます。一番下の行は による の拡張であり、 と表記されます。また、接続写像によって が成立することが保証され、射影性が証明されます。 ${\displaystyle X\to A}$ ${\displaystyle P\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta (\xi )=x}$

同値類の well-defined を示すために、 がの別の持ち上げであると仮定します。すると、 が存在するので、が の押し出しであり、である場合、同型性が誘導され、拡張が同値になります。 ${\displaystyle \beta '}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} (P,B)}$ ${\displaystyle \beta '=\beta +f\circ j}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \beta '}$ ${\displaystyle X\cong X'}$

逆に言えば、拡張が与えられた場合

${\displaystyle 0\to B\to X\to A\to 0}$、

の持ち上げ特性は、図にフィットするマップを与える。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \tau :P\to X}$

以下はとの押し出しです。これは写像が単射であることを示しています。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \gamma }$

したがって、 によるの拡大の同値類の集合はと自然に同型である。∎ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} (A,B)}$

自明な拡張はExtのゼロ元に対応する。^1R
_​（A、B）。

拡張のベール和

ベール和は、 の拡大の同値類の集合として見た上のアーベル群構造の明示的な記述である。^[12]すなわち、2つの拡大が与えられたとき、 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(A,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0}$

そして

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,}$

まずプルバックを形成し、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$

次に商モジュールを形成する

${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.}$

と のベール和は拡張である ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E'}$

${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$

最初のマップは で、2 番目のマップは です。 ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$ ${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$

拡大の同値性を除き、ベール和は可換であり、自明な拡大を単位元として持つ。拡大の負数とは、同じ加群を含む拡大の、準同型がその負数に置き換えられたものを言う。 ${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\rightarrow E}$

アーベル圏におけるExtの構成

米田信夫はアーベル群を定義した Extⁿ
_C（A、B ）は任意のアーベル圏Cの対象AとBに対して成り立つ。これは、 Cが十分​​な射影表現または十分な単射表現を持つ場合、分解の観点から定義と一致する。まず、Ext ⁰
_℃( A , B ) = Hom _C ( A , B )。次に、Ext¹
_℃( A , B ) は、 AのBによる拡大の同値類全体の集合であり、ベール和の下でアーベル群を形成する。最終的に、高次の Ext 群 Extⁿ
_C（A、B ）は、正確なシーケンスであるn-拡張の同値類として定義されます

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

2つの拡張を識別する関係によって生成される同値関係の下で

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

すべてのmに対して {1, 2, ..., n }の写像があり、結果として得られるすべての正方形が可換である場合 、つまり、AとBの恒等写像である連鎖写像がある場合。 ${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{cc cc cc c cc cc cc}0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\\&&{\Bigg \Vert }&&{\Bigg \downarrow }\iota _{n}\!&&&&{\Bigg \downarrow }\iota _{1}&&{\Bigg \Vert }&&\\0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X'_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X'_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\end{array}}}$$ ${\displaystyle \iota \colon \xi \to \xi '}$

上に示した2つのn-拡大のベール和は、 A上の引き戻しを、 B下の押し出しをとすることで形成される。^[13]このとき、拡大のベール和は ${\displaystyle X''_{1}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X'_{1}}$ ${\displaystyle X''_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X'_{n}}$

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

導来圏と米田積

重要な点は、アーベル圏Cの Ext 群は、 Cに付随する圏、すなわち導来圏 D ( C ) の射の集合として見ることができるということである。^{[14]導来圏の対象は}Cの対象の複合体である。具体的には、

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),}$

ここで、 Cの対象は零次に集中した複素数とみなされ、[ i ] は複素数をiステップ左にシフトすることを意味します。この解釈から、双線型写像（米田積と呼ばれることもあります）が存在します。

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

これは単純に導出カテゴリにおける射の合成です。

米田積はより基本的な言葉で記述することもできる。i = j = 0 の場合、この積は圏Cにおける写像の合成である。一般に、この積は2つの米田拡大を繋ぎ合わせることで定義できる。

あるいは、米田積は分解を用いて定義することもできる（これは導来カテゴリの定義に近い）。例えば、環RのR加群A、B、Cとし、 P、Q、TをA、B、Cの射影分解とする。すると、 Extⁱ
_R( A , B ) は連鎖写像P → Q [ i ] の連鎖ホモトピー類の群と同一視できる。米田積は連鎖写像を合成することで与えられる。

${\displaystyle P\to Q[i]\to T[i+j].}$

これらの解釈のいずれにおいても、米田積は結合的である。結果として、任意のR -加群Aに対して、は次数付き環となる。例えば、これは と見ることができるため、群コホモロジー上の環構造を与える。また、米田積の結合性により、任意のR -加群AおよびBに対して、は 上の加群となる。 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$ ${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$

重要な特殊なケース

• 群コホモロジーは次のように定義される。

  ${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$、

ここでは群、は整数上の の表現、 はの群環です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle G}$

• 体上の代数 と双加群に対して、ホックシルトコホモロジーは次のように定義される。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

  ${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• リー代数コホモロジー はによって定義されます。ここでは可換環 上のリー代数、は-加群、 は普遍包絡代数です。 ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$

• 位相空間 に対して、層コホモロジーは次のように定義できる。ここで、 Ext は上のアーベル群の層のアーベル圏にとられ、は局所定数値関数の層である。 の代わりに、上の任意の環の層を考え、 Ext を-加群の層の圏にとることができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• 環空間上の加群の層に対して、層 Homの右導来関手、すなわち -加群のカテゴリにおける内部 Hom をとると、Ext 層 が得られる。^{[15]これらは}、局所から大域への Ext スペクトル列を介して大域 Ext 群と関連している。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Hom}}_{X}({\mathcal {F}},-)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{X}^{*}({\mathcal {F}},-)}$

• 剰余体を持つ可換ノイザン局所環 に対して、は上の次数付きリー代数の普遍包絡代数であり、のホモトピー・リー代数として知られる。（正確には、が特性2 を持つとき、は「調整されたリー代数」として見なければならない。^{[16] ）}アンドレ・キラン・コホモロジーからへの次数付きリー代数の自然な準同型が存在し、 が特性 0 を持つとき同型である。^[17] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$ ${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$ ${\displaystyle D^{*}(k/R,k)}$ ${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$ ${\displaystyle k}$

参照

• グローバル次元
• バー解像度
• グロタンディーク群
• グロタンディークの局所双対性

注記

1. ベア、ラインホルト(1934)。 "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen"。数学的ツァイシュリフト。38 (1): 375–416。土井:10.1007/BF01170643。Zbl  0009.01101。
2. アイレンバーグ, サミュエル;マクレーン, サンダース(1942). 「群の拡大とホモロジー」Annals of Mathematics . 43 (4): 757– 931. doi :10.2307/1968966. JSTOR  1968966. MR  0007108.
3. カルタン、アンリ;サミュエル・アイレンバーグ (1999) [1956]。ホモロジー代数。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-04991-2. MR  0575792。
4. Weibel（1994）、セクション2.4と2.5および定理2.7.6。
5. Weibel（1994）、第2章および第3章。
6. Weibeil (1994)、補題 3.3.1。
7. Weibel（1994）、セクション4.5。
8. Weibel (1994)、定義 2.1.1。
9. Weibel (1994)、命題 3.3.4。
10. Weibel (1994)、命題 3.3.10。
11. Weibel (1994)、定理 3.4.3。
12. Weibel（1994）、系3.4.5。
13. Weibel (1994), Vists 3.4.6. いくつかの軽微な訂正が正誤表に記載されています。
14. Weibel（1994）、セクション10.4および10.7；Gelfand＆Manin（2003）、第3章。
15. ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、§III.6
16. ショーディン (1980)、表記 14.
17. アブラモフ (2010)、セクション 10.2。

参考文献

• アヴラモフ、ルシェザール（2010）「無限自由解像度」、可換代数の6つの講義、ビルクハウザー、pp.  1-108、doi :10.1007/978-3-0346-0329-4_1、ISBN 978-3-7643-5951-5、MR  2641236
• Baer、Reinhold (1934)、「Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen」、Mathematische Zeitschrift、38 (1): 375–416、doi :10.1007/BF01170643、Zbl  0009.01101
• カルタン、アンリ;アイレンバーグ、サミュエル(1999) [1956],ホモロジー代数, プリンストン:プリンストン大学出版局, ISBN 0-691-04991-2、MR  0077480
• アイレンバーグ、サミュエル；マクレーン、サンダース（1942）、「群の拡張とホモロジー」、Annals of Mathematics、43（4）：757–931、doi：10.2307/1968966、JSTOR  1968966、MR  0007108
• ゲルファント、セルゲイ I. Manin、Yuri Ivanovich (2003)、ホモロジー代数の方法、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-662-12492-5、ISBN 978-3-540-43583-9、MR  1950475
• Sjödin, Gunnar (1980)、「ホップ代数と導出」、Journal of Algebra、64 : 218–229、doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X、MR  0575792
• ワイベル、チャールズ・A. (1994).ホモロジー代数入門. ケンブリッジ高等数学研究第38巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-55987-4MR  1269324. OCLC 36131259  .
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