七角形

7つの辺を持つ図形

正七角形
正七角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	7
シュレーフリ記号	{7}
コクセター・ディンキン図
対称群	二面角（D 7）、位数2×7
内角（度）	≈128.571°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学では、七角形は 7 つの辺を持つ多角形または 7 角形です。

七角形は、ラテン語由来の数字接頭辞 septa- ( septua-の省略形) と、ギリシャ語由来の数字接頭辞hepta- (両方とも同源)に角度を意味する接尾辞-gon (ギリシャ語: γωνἰα、ローマ字表記:  gonía ) を付けて、七角形と呼ばれることもあります。

正七角形

正七角形は、すべての辺とすべての角度が等しく、その内角は⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}\pi }$ ラジアン（⁠ ⁠ ${\displaystyle 128\,{\tfrac {4}{7}}}$ 度）です。シュレーフリ記号は {7} です。

エリア

辺の長さがaの正七角形の面積（A ）は次のように表されます。

${\displaystyle A={\tfrac {7}{4}}a^{2}\cot {\tfrac {1}{7}}\pi \simeq 3.634a^{2}.}$

これは、1辺が7角形であるものを、中心と7角形の頂点を頂点とする7つの三角形の「パイスライス」に分割し、それぞれの三角形を、外接線を共通辺として半分に割ることで確認できます。外接線は⁠ ⁠のコタンジェントの半分であり、14個の小さな三角形の面積はそれぞれ外接線の4分の1です。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\pi }$

半径Rの円に内接する正七角形の面積は 、円自体の面積は、したがって、正七角形は外接円の約 0.8710 を占めます。 ${\displaystyle {\tfrac {7}{2}}R^{2}\sin {\tfrac {2}{7}}\pi ,}$ ${\displaystyle \pi R^{2};}$

工事

7 はピアポント素数ですがフェルマー素数ではないため、正七角形はコンパスと定規では作図できませんが、目盛りの付いた定規とコンパスでは作図できます。これは、この性質を持つ最小の正多角形です。このタイプの作図は、ニューシス作図と呼ばれます。また、コンパス、定規、および角の三等分線でも作図できます。定規とコンパスによる作図が不可能なことは、既約三次多項式x ³ + x ² − 2 x − 1の零点であることが観察されることからわかります。したがって、この多項式は⁠ ⁠の最小多項式ですが、作図可能な数の最小多項式の次数は2 の累乗でなければなりません。 ${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2}{7}}\pi \approx 1.247}$ ${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2}{7}}\pi }$

正七角形の内角のニューシス作図。

アンドリュー・M・グリーソン[1]による、トマホークによる角の三等分に基づく、半径 の外接円 のニューシス作図のアニメーション。この作図は、 ${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$ ${\displaystyle \cos \left({\tfrac {2\pi }{7}}\right)={\tfrac {1}{6}}\left(2{\sqrt {7}}\cos \left({\tfrac {1}{3}}\arctan 3{\sqrt {3}}~\right)-1\right).}$

辺の長さが与えられた七角形: David Johnson Leisk ( Crockett Johnson )による、マークされた定規を使用したニューシス作図
のアニメーション。

近似

実用上、誤差が約0.2%の近似値は、正七角形の辺の長さとして、同じ円に内接する正三角形の辺の半分を用いることです。この近似値を最初に発見したのは誰かは不明ですが、 1世紀にアレクサンドリアのヘロンの『計量論』で言及されており、中世イスラムの数学者にも広く知られており、アルブレヒト・デューラーの著作にも見られます。^{[2] [3]} Aを外接円の円周上に置きます。弧BOCを描きます。すると、七角形の辺の近似値が得られます。 ${\displaystyle \textstyle {BD={\tfrac {1}{2}}BC}}$

この近似では、単位円に内接する七角形の辺に を使用しますが、正確な値は です。 ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\approx 0.86603}$ ${\displaystyle \textstyle 2\sin {\tfrac {1}{7}}\pi \approx 0.86777}$

誤差を示す例: 外接円の半径r = 1 mの場合、最初の辺の絶対誤差は約-1.7 mmになります。

その他の近似値

コンパスと定規を使って七角形を近似的に描く方法もありますが、描くのに時間がかかります。 ^[4]

対称

正七角形の対称性。頂点は対称位置によって色分けされている。青い鏡線は頂点と辺を通るように描かれている。回転順序は中央に示されている。^[5]

正七角形はD _7h 点群（シェーンフライス記法）に属し、位数は28である。対称要素は、7回真回転軸C ₇、7回真回転軸S ₇、7つの垂直鏡面σ _v、7つの2回回転軸C ₂（七角形平面内）、および水平鏡面σ _h（同じく七角形平面内）である。^[6]

対角線と七角形

a =赤、b =青、c =緑の線

正七角形の辺a、短い対角線 b、長い対角線cは、a < b < cを満たす^{[7] ：補題1}

${\displaystyle a^{2}=c(c-b),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ （光学方程式）

そしてそれゆえ

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

そして^{[7] ：コロ2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}$

したがって、b / c、c / a、およびa / b はすべて3 次方程式 を満たします。ただし、これはcasus irreducilisの例であるため、この方程式の解には純粋な実数項を含む代数式は存在しません。 ${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$

正七角形の辺に対する対角線のおおよその長さは次のように与えられる。

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

また、^[8]

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

そして

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

七角形三角形は、正七角形の最初の頂点、2番目の頂点、4番目の頂点（任意の始点から）と一致する頂点を持ち、角度は⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\pi }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}\pi }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {4}{7}}\pi }$である。したがって、その辺は正七角形の1辺と2つの特定の対角線と一致する。 ^[7]

多面体では

七角柱と七角形反角柱を除き、完全に正多角形から構成される凸多面体には、面として七角形が含まれることはありません。

星型七角形

正七角形から、シュレーフリ記号{7/2}、{7/3}で表される2 種類の星型七角形 (ヘプタグラム) を構築できます。この場合、約数は接続区間になります。

赤い七角形の中に、青、{7/2}、緑の{7/3}の星型七角形があります。

タイル張りと梱包

正三角形、七角形、42角形は、平面の頂点を完全に埋めることができます。しかし、これらの多角形だけで平面を敷き詰めることはできません。なぜなら、これらの多角形のいずれかを、隙間を残さず、あるいは重なりを生じさせずに三角形の3番目の辺に当てはめる方法がないためです。双曲平面では、正七角形による敷き詰めが可能です。ユークリッド平面では、凹七角形による敷き詰めも可能です。^[9]

ユークリッド平面の最も稠密な二重格子を正七角形に詰めたもので、凸集合の中で最も低い最大充填密度を持つと推測される。

正七角形はユークリッド平面の二重格子充填密度が約0.89269である。これは、あらゆる凸集合の最適二重格子充填密度、そしてより一般的にはあらゆる凸集合の最適充填密度として考えられ得る最低の密度であると推測されている。^[10]

実証例

ザンビアの1000クワチャ硬貨の一部は七角形として鋳造されている。

多くの州では、一部の硬貨にルーローの七角形（一定幅の曲線）を採用しています。側面が外側に湾曲しているため、自動販売機に硬貨を挿入した際にスムーズに転がります。これには以下の州が含まれます。

• イギリスの50ペンスと20ペンス（ジャージー島、ガーンジー島、マン島、ジブラルタル、フォークランド諸島、セントヘレナの対応する硬貨）
• バルバドスドル
• ボツワナ プラ(2 プラ、1 プラ、50 テーベ、5 テーベ)
• モーリシャス
• アラブ首長国連邦
• タンザニア
• サモア
• パプアニューギニア
• サントメ・プリンシペ
• ハイチ
• ジャマイカ
• リベリア
• ガーナ
• ガンビア
• ヨルダン
• ガイアナ
• ソロモン諸島

ブラジルの25セント硬貨の円盤には七角形が刻まれています。ジョージアの国章の古いバージョン（ソビエト時代を含む）には、{7/2}の七角形が要素として使われていました。

20 ユーロ セント硬貨を含む多くの硬貨は、ス​​ペインの花と呼ばれる形で七角形の対称性を持っています。

建築において、七角形の建物の例としては、ドイツのシュタットハーゲンにあるエルンスト王子の霊廟、クリーブランドのマルツ舞台芸術センター（旧ティフェレス・イスラエル寺院）^[11]、メリーランド州カレッジパークのウォレス長老派教会^[12]などがある。

参照

• 七芒星
• ポリゴン

参考文献

1. Gleason, Andrew Mattei (1988年3月). 「角の三等分、七角形、そして三等十二角形 p. 186 (図1) –187」(PDF) . The American Mathematical Monthly . 95 (3): 185– 194. doi :10.2307/2323624. JSTOR  2323624. 2015年12月19日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
2. Hogendijk, Jan P. (1987). 「正七角形に関するアル＝ビールーニーの質問に対するアブール＝ジュードの回答」(PDF) .ニューヨーク科学アカデミー紀要. 500 (1): 175– 183. doi :10.1111/j.1749-6632.1987.tb37202.x.
3. GHヒューズ、「アルブレヒト・デューラーの多角形-1525、正七角形」、図11、七角形の側面（7）図15、左側の画像、2015年12月4日取得
4. ラウマンキドワイ。 「ヘプタゴン」チャート。ジオゲブラ。 2024 年 1 月 20 日にアクセス。https://www.geogebra.org/classic/CvsudDWr。
5. ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、（2008）『ものの対称性』、 ISBN 978-1-56881-220-5（第20章、一般化されたシェフリ記号、多角形の対称性の種類、pp. 275-278）
6. Salthouse, JA; Ware, MJ (1972). 点群特性表と関連データ. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-08139-4。
7. Abdilkadir Altintas、「七角形三角形におけるいくつかの共線性」、Forum Geometricorum 16、2016年、249–256。http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
8. レオン・バンクオフとジャック・ガーファンクル、「七角形三角形」、数学雑誌46(1)、1973年1月、7-19ページ。
9. Sycamore916編「Heptagon」。Polytope Wiki。最終更新日：2023年11月。アクセス日：2024年1月20日。https://polytope.miraheze.org/wiki/Heptagon。
10. Kallus, Yoav (2015). 「ペシマルパッキング形状」. Geometry & Topology . 19 (1): 343– 363. arXiv : 1305.0289 . doi :10.2140/gt.2015.19.343. MR  3318753.
11. スタンウッド、リチャード・R. (1925年11月). 「Temple Tifereth Israel, Cleveland」(PDF) . The Architectural Forum . 2025年10月23日閲覧。
12. ヒル、デイビッド（2009年7月2日）「6年後、ウォレス長老派教会の会員がついに帰還」サザン・メリーランド・ニュース。 2025年10月22日閲覧。

外部リンク

• インタラクティブアニメーションによる七角形の定義と特性
• ジョンソンによる七角形
• 別の近似構築方法
• 多角形 – 七角形
• 正七角形の構築に関して最近発見された、非常に正確な近似値。
• アニメーションによる近似構造である七角形
• 与えられた辺を持つ七角形、アニメーションによる近似構築

七角形

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