超立方ハニカム

幾何学において、超立方ハニカムは、シュレーフリ記号 ${4,3...3,4}を持つ$ $n$ 次元空間内の正規ハニカム(モザイク状配列)の族であり、 $n$ $\geq 3に対して$ コクセター群 $R$ $n$ (または $B$ $~$ $n$ $-1$ )の対称性を含みます。

タイル分割は、稜線ごとに4つの $n$ 超立方体から構成されます。頂点図形は交差多面体 ${3...3,4}$ です。

超立方ハニカムは自己双対です。

コクセターはこのファミリーを $n$ 次元ハニカムの $δ n+1$ と名付けました。

寸法によるWythoff構造クラス

ウィトフ構築は、均一な多面体または平面タイリングを構築する方法です。

超立方体ハニカムの 2 つの一般的な形式は、同一の超立方体ファセットを持つ正規形式と、チェッカーボードのような交互の超立方体ファセットを持つ半正規形式です。

3つ目の形状は、通常の形状に拡張操作を適用することで生成され、すべての低次元要素の代わりに面を作成します。例えば、拡張された立方体ハニカムは、元の立方体、元の面、元の辺、元の頂点を中心とする立方体のセルを持ち、頂点の周囲に1:3:3:1の比率で4色のセルを生成します。

直交ハニカムは、立方ハニカムと位相的に等価なグループですが、対称性が低く、3つの軸方向のそれぞれの辺の長さが異なる場合があります。面は超長方形であり、直交面とも呼ばれます。2次元と3次元では、直交面はそれぞれ長方形と直方体です。

$δ n$	名前	シュレーフリ記号	コクセター・ディンキン図
$δ n$	名前	シュレーフリ記号	正所性 ${\infty} (n) (2 m$ 色, $m < n)$	通常（拡張） ${4,3 n -1,4}$ （1色、 $n$ 色）	チェッカーボード ${4,3 n -4,3 1,1}$ (2色)
$δ 2$	アペイロゴン	${\infty}$
$δ 3$	正方形のタイル	${\infty} (2) {4,4}$
$δ 4$	立方ハニカム	${\infty} (3) {4,3,4} {4,3 1,1}$
$δ 5$	4キューブハニカム	${\infty} (4) {4,3 2,4} {4,3,3 1,1}$
$δ 6$	5キューブハニカム	${\infty} (5) {4,3 3,4} {4,3 2,3 1,1}$
$δ 7$	6キューブハニカム	${\infty} (6) {4,3 4,4} {4,3 3,3 1,1}$
$δ 8$	7キューブハニカム	${\infty} (7) {4,3 5,4} {4,3 4,3 1,1}$
$δ 9$	8キューブハニカム	${\infty} (8) {4,3 6,4} {4,3 5,3 1,1}$
$δ n$	$n$ -超立方ハニカム	${\infty} (n) {4,3 n-3,4} {4,3 n-4,3 1,1}$	...

コクセター『HSM 正多面体』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8
1. pp. 122–123. （超立方格子 γ _nは立方ハニカム格子δ _n+1を形成する）
2. pp. 154–156: 部分的な切り捨てまたは交替。接頭辞hで表されます: h{4,4}={4,4}; h{4,3,4}={3 ^1,1 ,4}, h{4,3,3,4}={3,3,4,3}
3. p. 296、表II：規則的なハニカム、δ _n+1