プロニック数

プロニック数とは、連続する2つの整数の積、つまりの形の数である。^[1]これらの数の研究はアリストテレスにまで遡る。これらは長楕円数、ヘテロメシック数^[2]、あるいは長方形数とも呼ばれる。^{[3]ただし、「長方形数」という用語は}合成数にも適用されている。^[4]^[5] $n(n+1)$

最初の 60 個のプロニック番号は次のとおりです。

0、2、6、12、20、30、42、56、72、90、110、132、156、182、210、240、272、306、342、380、420、462、506、552、600、650、702、756、812、870、930、992、1056、1122、1190、1260、1332、1406、1482、1560、1640、1722、1806、1892、1980、 2070、2162、2256、2352、2450、2550、2652、2756、2862、2970、3080、3192、3306、3422、3540、3660...（OEISのシーケンスA002378）。

プロニック数をとすると、となる。したがって、プロニック数について議論する際には、一般性を失うことなくと仮定することができる。これは、以下のセクションで採用されている慣例である。 $P_{n}$ $n(n+1)$ $P_{{-}n}=P_{n{-}1}$ $n\geq 0$

数字として

プロニック数は、アリストテレスの『形而上学』において、三角数や平方数と並んで比喩的数として研究されており^{[2] 、その発見ははるか以前に}ピタゴラス学派によるものとされている^[3]。比喩的数の一種であるプロニック数は、多角形数と次のように類似しているため、長楕円数と呼ばれることもある^{[2] 。}^[1]


1×2	2×3	3×4	4×5

n番目 $のプロニック数は最初の$ $n$ 個の偶数の合計であり、 $n$ 番目の三角数^[1]^{[2]の2倍であり、} $n$ 番目の平方数よりも $n$ 大きい。これはプロニック数の代替公式 $n$ $2$ $+$ $n$ で表される。したがって、 $n$ 番目のプロニック数と $n番目の平方数（$ 最初の $n$ 個の奇数の合計）は超特異比を形成する。

{\frac {n(n+1)}{n^{2}}}={\frac {n+1}{n}}

この比により、 $n$ 番目のプロニック数は真平方から半径 $n$ と $n$ + 1の距離にあり、 $n$ 番目の真平方はプロニック数から半径 $nの距離にあります。n$ $番目のプロニック数は、$ 奇数平方数 $(2 n + 1) 2$ と $(n + 1)$ 番目の中心六角数との差でもあります。

正方行列の非対角成分の数は三角数の2倍なので、プロニック数である。^[6]

プロニック数の合計

$最初のn$ 個の正のプロニック数の部分和は、 $n$ 番目の四面体数の 2 倍の値になります。

\sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}

。

正のプロニック数（0を除く）の逆数の和は1になる伸縮級数である： ^[7]

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1

。

この級数の最初の $n$ 項の部分和は^{[7]である。}

\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}

。

正のプロニック数（0を除く）の逆数の交代和は収束級数である。

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1

。

追加のプロパティ

プロニック数は偶数であり、2は唯一の素数であるプロニック数である。また、2はフィボナッチ数列における唯一のプロニック数であり、唯一のプロニック・ルーカス数でもある。^[8]^[9]

連続する2つのプロニック数の算術平均は平方数です。

{\frac {n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}}=(n+1)^{2}

つまり、連続する2つのプロニック数の間には平方が存在する。これは、

n^{2}\leq n(n+1)<(n+1)^{2}<(n+1)(n+2)<(n+2)^{2}.

この不等式の連鎖から得られるもう一つの帰結は、次の性質である。m $が$ プロニック数である場合、以下の式が成り立つ。

\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {m}}\rceil =m.

連続する整数が互いに素であり、プロニック数が連続する2つの整数の積であるという事実は、いくつかの性質を導きます。プロニック数の各異なる素因数は、因数 $n$ または $n + 1$ のいずれか一方にのみ存在します。したがって、プロニック数が平方根を持たない場合、かつその場合に限り、 $n$ と $n + 1も平方根を持たないことになります。プロニック数の異なる素因数の数は、$ $n$ と $n + 1$ の異なる素因数の数の和です。

25を任意のプロニック数の10進数表現に付加すると、結果は平方数、つまり5で終わる数の平方数になります。例えば、625 = 25 ^2、1225 = 35 ²です。これは、

100n(n+1)+25=100n^{2}+100n+25=(10n+5)^{2}

。

連続する2つの単位分数の差はプロニック数の逆数である。^[10]

{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}={\frac {(n+1)-n}{n(n+1)}}={\frac {1}{n(n+1)}}

参考文献

^ abc Conway, JH ; Guy, RK (1996) 『数の書』、ニューヨーク：コペルニクス、図2.15、p. 34。
^ abcd クノール、ウィルバー・リチャード（1975年）、ユークリッド要素の進化、マサチューセッツ州ドルドレヒト・ボストン：D.ライデル出版社、pp. 144– 150、ISBN 90-277-0509-7、MR 0472300。
^ ab Ben-Menahem, Ari (2009), Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volume 1, Springer reference, Springer-Verlag, p. 161, ISBN 9783540688310。
^ 「プルタルコス、イシデとオシリデ、セクション 42」、www.perseus.tufts.edu 、 2018 年4 月 16 日取得
^ ヒギンズ、ピーター・マイケル（2008年）、数の物語：数え方から暗号まで、コペルニクス・ブックス、9ページ、ISBN 9781848000018。
^ ルンメル、ルドルフ・J.（1988年）、応用因子分析、ノースウェスタン大学出版局、319ページ、ISBN 9780810108240。
^ ab Frantz, Marc (2010)、「The telescoping series in perspective」、Diefenderfer, Caren L. ; Nelsen, Roger B. (eds.)、The Calculus Collection: A Resource for AP and Beyond、Classroom Resource Materials、Mathematical Association of America、pp. 467– 468、ISBN 9780883857618。
^ McDaniel, Wayne L. (1998), "Pronic Lucas numbers" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 60– 62, doi :10.1080/00150517.1998.12428962, MR 1605345, 2017年7月5日にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2011年5月21日取得。
^マクダニエル、ウェイン・ L. (1998)、「プロニック・フィボナッチ数」(PDF)、フィボナッチ・クォータリー、36 (1): 56–59、doi :10.1080/00150517.1998.12428961、MR1605341 。
^ この恒等式は、より一般的な公式の特殊なケース ( ) です。参照: Meyer, David. 「役に立つ数学的トリック、テレスコープ級数、そして三角数の逆数の無限和」(PDF)。David Meyer の GitHub。p. 1 。 2024年11月26日閲覧。 $r=1$ $\sum _{k=0}^{r}(-1)^{k}{\binom {r}{k}}{\frac {1}{n+k}}={\frac {r!}{\prod _{j=0}^{r}(n+j)}}$

[bon-1] Conway, JH ; Guy, RK (1996) 『数の書』、ニューヨーク：コペルニクス、図2.15、p. 34。

[knorr-2] クノール、ウィルバー・リチャード（1975年）、ユークリッド要素の進化、マサチューセッツ州ドルドレヒト・ボストン：D.ライデル出版社、pp. 144– 150、ISBN 90-277-0509-7、MR 0472300。

[hist-3] Ben-Menahem, Ari (2009), Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volume 1, Springer reference, Springer-Verlag, p. 161, ISBN 9783540688310。

[4] 「プルタルコス、イシデとオシリデ、セクション 42」、www.perseus.tufts.edu 、 2018 年4 月 16 日取得

[5] ヒギンズ、ピーター・マイケル（2008年）、数の物語：数え方から暗号まで、コペルニクス・ブックス、9ページ、ISBN 9781848000018。

[6] ルンメル、ルドルフ・J.（1988年）、応用因子分析、ノースウェスタン大学出版局、319ページ、ISBN 9780810108240。

[telescope-7] Frantz, Marc (2010)、「The telescoping series in perspective」、Diefenderfer, Caren L. ; Nelsen, Roger B. (eds.)、The Calculus Collection: A Resource for AP and Beyond、Classroom Resource Materials、Mathematical Association of America、pp. 467– 468、ISBN 9780883857618。

[8] McDaniel, Wayne L. (1998), "Pronic Lucas numbers" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 36 (1): 60– 62, doi :10.1080/00150517.1998.12428962, MR 1605345, 2017年7月5日にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2011年5月21日取得。

[9] ^マクダニエル、ウェイン・ L. (1998)、「プロニック・フィボナッチ数」(PDF)、フィボナッチ・クォータリー、36 (1): 56–59、doi :10.1080/00150517.1998.12428961、MR1605341 。

[10] この恒等式は、より一般的な公式の特殊なケース ( ) です。参照: Meyer, David. 「役に立つ数学的トリック、テレスコープ級数、そして三角数の逆数の無限和」(PDF)。David Meyer の GitHub。p. 1 。 2024年11月26日閲覧。 $r=1$ $\sum _{k=0}^{r}(-1)^{k}{\binom {r}{k}}{\frac {1}{n+k}}={\frac {r!}{\prod _{j=0}^{r}(n+j)}}$

v t e 割り切れるかどうかに基づく整数の集合
概要	整数因数分解除数ユニタリ除数除数関数素因数算術の基本定理
因数分解形式	プライム複合セミプライムプロニックスフェニックスクエアフリー強力完璧なパワーアキレススムーズ通常粗い普通でない
制約付き除数和	完璧ほぼ完璧準完全完璧な掛け算半完全体超完璧超完璧ユニタリパーフェクト半完璧実用的デカルトエルデシュ・ニコラウス
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