特異ホモロジー

Concept in algebraic topology

代数的位相幾何学において、特異ホモロジーとは、位相空間の代数的不変量の特定の集合、いわゆるホモロジー群の研究を指します。 直感的に、特異ホモロジーは、各次元について、空間の -次元の穴の数を数えます。特異ホモロジーは、現在ではかなり広範な理論群にまで発展したホモロジー理論の特別な例です。様々な理論の中でも、特異ホモロジーは比較的具体的な構成に基づいているため、おそらく最も理解しやすい理論の一つです（関連理論である単体ホモロジーも参照）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{n}(X).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

簡単に言えば、特異ホモロジーは、標準的なn単体から位相空間への写像を取り、それらを特異鎖と呼ばれる形式的な和に合成することによって構築されます。境界操作、つまり各n 次元単体をそのn 次元境界に写像することで、特異鎖複体が誘導されます。そして、特異ホモロジーは鎖複体のホモロジーになります。結果として得られるホモロジー群は、すべてのホモトピー同値空間で同じであり、それが研究の理由です。これらの構成はすべての位相空間に適用できるため、特異ホモロジーは位相空間のカテゴリから次数付きアーベル群のカテゴリへの関手として表現できます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

特異単体

R ³の標準2単体 Δ ²

位相空間の特異n単体は、標準のn単体からへの連続関数(写像とも呼ばれる)で、 と書き表されます。この写像は に単射で ある必要はなく、 において同じ像を持つ非同値な特異単体が存在することもあります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\to X.}$ ${\displaystyle X}$

と表記されるの境界は、を標準 -単体の面に制限することによって表される特異 -単体の形式的な和として定義され、向きを考慮して符号が交互に入れ替わる。（形式的な和は単体上の自由アーベル群の元である。群の基底は、すべての可能な特異単体の無限集合である。群の演算は「加算」であり、単体と単体の和は通常単に と表記されるが、以下同様である。すべての単体は負の を持つ。）したがって、 をその頂点で表記すると ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle \partial _{n}\sigma ,}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a+a=2a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle [p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=[\sigma (e_{0}),\sigma (e_{1}),\ldots ,\sigma (e_{n})]}$

標準の-単体の頂点に対応する（もちろん、 によって生成される特異単体を完全に指定するものではない）、 ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{n}\sigma &=\partial _{n}[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{n}]\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma \mid _{[e_{0},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}]}\end{aligned}}}$

は、特定の方法で指定された単体像の面の形式的な和です。 ^[1] （つまり、特定の面は、頂点がリストされている順序に依存する面への の制限でなければなりません。）したがって、たとえば、 （から に向かう曲線）の境界は、形式的な和（または「形式的な差」） です。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma =[p_{0},p_{1}]}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle [p_{1}]-[p_{0}]}$

特異鎖複合体

特異な1鎖の例: 紫とオレンジ色の1鎖は2鎖の境界として実現できない

特異ホモロジーの通常の構成は、自由アーベル群の要素として理解できる単体の形式的な和を定義し、次に境界演算子を含む特定のグループ、位相空間のホモロジー グループを定義できることを示すことによって進められます。

まず、位相空間 上のすべての可能な特異-単体の集合を考えてみましょう。この集合は自由アーベル群の基底として用いることができ、各特異-単体は群の生成元となります。この生成元集合は、もちろん通常は無限で、多くの場合は非可算です。これは、単体を典型的な位相空間に写像する方法が多数あるためです。この基底によって生成される自由アーベル群は、一般的に と表記されます。 の元は特異n -連鎖と呼ばれ、整数係数を持つ特異単体の形式的な和です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$

境界は 特異鎖に作用するように容易に拡張できる。この拡張は境界演算子と呼ばれ、次のように書ける。 ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

は群の準同型である。境界演算子は、 と共に、アーベル群の連鎖複体を形成し、これを特異複体と呼ぶ。これはしばしば、あるいはより簡潔にと表記される。 ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$

境界演算子の核は であり、特異n -閉路群 と呼ばれる。境界演算子の像は であり、特異n -境界群と呼ばれる。 ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle B_{n}(X)=\operatorname {im} (\partial _{n+1})}$

であることも示され、 を意味する。の - 番目のホモロジー群は因子群として定義される。 ${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$ ${\displaystyle B_{n}(X)\subseteq Z_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).}$

の元はホモロジー類と呼ばれる。^[2] ${\displaystyle H_{n}(X)}$

ホモトピー不変性

XとYが同じホモトピー型（つまりホモトピー同値） を持つ2つの位相空間である場合、

${\displaystyle H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)\,}$

すべてのn≥0に対して。これはホモロジー群がホモトピー不変量であり、したがって位相不変量であることを意味します。

特に、X が連結な縮約空間である場合、 を除くすべてのホモロジー群は 0 です。より一般的には、は経路成分を数えます。 ${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H_{0}(X)}$

特異ホモロジー群のホモトピー不変性の証明は次のように概略できる。連続写像f : X → Yは準同型写像を誘導する 。

${\displaystyle f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y).}$

すぐに確認できることは

${\displaystyle \partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,}$

つまり、f _#はホモロジー上の準同型写像に至る連鎖写像である。

${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).}$

ここで、 fとgがホモトピー同値である場合、f _* = g _*であることを示します。このことから、fがホモトピー同値である場合、f _*は同型であることが分かります。

F  : X × [0, 1] → Yをfからgへ写すホモトピーとする。連鎖のレベルで、準同型写像を定義する。

${\displaystyle P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)}$

幾何学的に言えば、 C _n ( X )の基底元σ: Δ ⁿ → Xを「プリズム」P (σ): Δ ⁿ × I → Yにとる。P (σ)の境界は次のように表される。

${\displaystyle \partial P(\sigma )=f_{\sharp }(\sigma )-g_{\sharp }(\sigma )-P(\partial \sigma ).}$

したがって、C _n ( X )のαがnサイクルである場合、f _# ( α )とg _# ( α )は境界によって異なります。

${\displaystyle f_{\sharp }(\alpha )-g_{\sharp }(\alpha )=\partial P(\alpha ),}$

つまり、それらは相同である。これが主張を証明している。^[3]

上で観察された関係は、 P がf _#とg _#の間の連鎖ホモトピーである、あるいはf _#とg _#が連鎖ホモトピックである、と表現することができます。上記の証明の概要から、連鎖ホモトピック写像はホモロジー上に同様の準同型写像を誘導すると結論付けることができます。^[4] ${\displaystyle \partial P+P\partial =f_{\sharp }-g_{\sharp }}$

共通空間のホモロジー群

以下の表は、 n次元実射影空間RP ⁿ、複素射影空間CP ⁿ、点、球面S ⁿ ( )、整数係数の3次元トーラスT ³のk次ホモロジー群を示しています。 ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

空間	ホモトピー型
RP n [5]	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0 かつ k = n 奇数
	${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$	k 奇数、0 < k < n
	0	さもないと
CP n [6]	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0,2,4,...,2n
	0	さもないと
ポイント[7]	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0
	0	さもないと
S n	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0,n
	0	さもないと
T3 [ 8 ]	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0,3
	${\displaystyle \mathbf {Z} }$3	k = 1,2
	0	さもないと
属表面 ${\displaystyle g}$[9]	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	k = 0,2
	${\displaystyle \mathbf {Z} }$2グラム	k = 1
	0	さもないと

空間のホモロジーを計算する例として、点 のホモロジーを計算します。すべての に対して、 -単体から点への写像はすべて自明なので、を計算します。-連鎖に対して、 ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{n}(\star )=\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \partial _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma =[v_{0},\ldots ,v_{n}]}$

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum \limits _{i=0}^{n}(-1)^{i}[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}],}$

ここで、ハットは頂点の省略を表す。そして、が奇数なら0に、が偶数なら0に簡約される。ここで、は -連鎖である。つまり、 ${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{n-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{n-1}}$ ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle \partial _{n}={\begin{cases}0&\mathrm {if} \ n=0,n=2k-1,k\in \{1,2,3,\ldots \};\\\mathrm {id} &\mathrm {otherwise} .\end{cases}}}$

恒等写像の核と像はそれぞれ0とターゲットであり、0写像の核と像はそれぞれソースと像です。したがって、上の表の結果が得られますが、その根拠は次のとおりです。が奇数の場合、-境界写像の核と-境界写像の像は等しくなります。が偶数かつ正の場合、-境界写像の核は0です。 の場合、 -境界写像の核は であり、-境界の像は0です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle 1}$

関数性

上記の構成は任意の位相空間に対して定義でき、連続写像の作用によって保存される。この一般性は、特異ホモロジー理論を 圏論の言語で書き直せることを意味する。特に、ホモロジー群は位相空間Topの圏からアーベル群Abの圏への関手として理解できる。

まず、が位相空間から自由アーベル群への写像であることを考察する。これは、 Topの射への作用を理解できれば、 が関手として捉えられる可能性があることを示唆している。さて、 Topの射は連続関数なので、 が位相空間の連続写像であれば、群の準同型写像へと拡張できる。 ${\displaystyle X\mapsto C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f_{*}:C_{n}(X)\to C_{n}(Y)\,}$

定義することによって

${\displaystyle f_{*}\left(\sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}a_{i}(f\circ \sigma _{i})}$

ここで は特異単体であり、は特異n連鎖、つまり の元である。これはが関手である ことを示している。 ${\displaystyle \sigma _{i}:\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\,}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle C_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

位相空間のカテゴリーからアーベル群のカテゴリーへ。

境界作用素は連続写像と可換なので、 となる。これにより、連鎖複体全体を関手として扱うことができる。特に、これは写像が関手であることを示す。 ${\displaystyle \partial _{n}f_{*}=f_{*}\partial _{n}}$ ${\displaystyle X\mapsto H_{n}(X)}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

位相空間の圏からアーベル群の圏へ。ホモトピー公理により、ホモロジー関手と呼ばれる関数も成り立ち、商ホモトピー圏hTopに作用する。 ${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Ab} .}$

この点が、特異点ホモロジーを他のホモロジー理論と区別するものです。他のホモロジー理論では、 は依然として関数ではあるものの、Top全体にわたって定義されているとは限りません。ある意味では、特異点ホモロジーは「最大の」ホモロジー理論であり、 Topのサブカテゴリ上のすべてのホモロジー理論は、そのサブカテゴリ上の特異点ホモロジーと一致すると言えます。一方で、特異点ホモロジーは最も明確なカテゴリカル特性を持つわけではありません。こうした明確な特性は、細胞ホモロジーなどの他のホモロジー理論の発展を促しています。 ${\displaystyle H_{n}}$

より一般的には、ホモロジー関手は、アーベル圏上の関手として、あるいは鎖複体上の関手として公理的に定義され、短完全列を長完全列に変換する境界射を必要とする公理を満たす。特異ホモロジーの場合、ホモロジー関手は位相的部分と代数的部分の2つの部分に分解できる。位相的部分は次のように与えられる。

${\displaystyle C_{\bullet }:\mathbf {Top} \to \mathbf {Comp} }$

これは位相空間を に、連続関数をに写像する。ここで は特異連鎖関手であると理解され、位相空間を連鎖複体の圏Comp（またはKom）に写像する。連鎖複体の圏は、連鎖複体をその対象とし、連鎖写像をその射とする。 ${\displaystyle X\mapsto (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle f\mapsto f_{*}}$ ${\displaystyle C_{\bullet }}$

2番目の代数部分はホモロジー関数である

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Comp} \to \mathbf {Ab} }$

どの地図

${\displaystyle C_{\bullet }\mapsto H_{n}(C_{\bullet })=Z_{n}(C_{\bullet })/B_{n}(C_{\bullet })}$

そして、鎖写像をアーベル群の写像へと変換します。このホモロジー関手は公理的に定義できるため、鎖複体の圏上の関手として単独で機能します。

ホモトピー写像は、ホモトピー的に同値な鎖写像を定義することによって再び登場する。したがって、商圏 hCompまたはK、すなわち鎖複体のホモトピー圏を定義することができる。

係数R

任意の単位環 Rが与えられたとき、位相空間上のn単体の特異集合は自由R加群の生成元とみなすことができる。つまり、自由アーベル群を出発点として上記の構成を行うのではなく、代わりに自由R加群を用いる。すべての構成はほとんど、あるいは全く変更なく行われる。この結果は次のようになる。

${\displaystyle H_{n}(X;R)\ }$

これはR加群となる。もちろん、通常は自由加群ではない。通常のホモロジー群は、次の式によって得られる。

${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )=H_{n}(X)}$

環を整数環とみなす場合、H _n ( X ; R ) という表記は、相対ホモロジーを表すほぼ同一の表記H _n ( X , A ) と混同しないように注意する必要がある（下記参照）。

普遍係数定理は、R係数とのホモロジーを、通常の整数係数とのホモロジーの観点から、短い正確なシーケンスを使用して計算するメカニズムを提供します。

${\displaystyle 0\to H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R\to H_{n}(X;R)\to \mathrm {Tor} _{1}(H_{n-1}(X;\mathbb {Z} ),R)\to 0.}$

ここでTorはTor 関手である。^[10]この列は自然には分割しないが、整数ホモロジーを用いてを記述できる。注目すべきは、 Rが捩れのないとき、任意のGに対して となるので、上記の短完全列はと の間の同型に帰着する。 ${\displaystyle H_{n}(X;R)}$ ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}(G,R)=0}$ ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R}$ ${\displaystyle H_{n}(X;R).}$

相対的相同性

部分空間に対して、相対ホモロジーH _n ( X , A )は連鎖複体の商のホモロジーであると理解される。つまり、 ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle H_{n}(X,A)=H_{n}(C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A))}$

ここで、連鎖複素数の商は、短い正確な数列によって与えられる。

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0.}$^[11]

相同性の減少

と注釈される空間Xの縮小ホモロジーは、通常のホモロジーに対する小さな修正であり、いくつかの関係の表現を簡素化し、点のすべてのホモロジー群はゼロになるという直感を満たします。 ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)}$

鎖状複合体上で定義される通常のホモロジーの場合：

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

縮小ホモロジーを定義するために、鎖複合体に と0 の間のを追加します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C_{0}}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}$

ここで、空集合を「(-1)単体」と解釈することで、このことが正当化されます。つまり、 となります。 ${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$ ${\displaystyle C_{-1}\simeq \mathbb {Z} }$

縮小ホモロジー群は、正のnとに対して、によって定義される。[ 12 ^] ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}$

n > 0の場合は、n = 0の場合は、 ${\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} .}$

コホモロジー

ホモロジー連鎖複体を双対化（すなわち、関数 Hom(-, R ) を適用し、Rは任意の環）することで、共境界写像 を持つコチェーン複体が得られる。Xのコホモロジー群は、この複体のホモロジー群として定義される。皮肉なことに、「コホモロジーは、 co [双対複体] のホモロジーである」。 ${\displaystyle \delta }$

コホモロジー群はホモロジー群よりも豊かな、あるいは少なくともより馴染みのある代数構造を持っています。まず、コホモロジー群は次のような微分次数代数を形成します。

• 段階的なグループの集合は段階的なRモジュールを形成します。
• これには、カップ積を使用した次数付きR代数の構造を与えることができます。
• ボックスシュタイン準同型 βは微分を与える。

追加のコホモロジー演算があり、コホモロジー代数は mod p の加法構造を持ちます(前述のように、mod pコホモロジーは mod pコチェーン複体のコホモロジーであり、コホモロジーの mod p縮小ではありません)。特に、スティーンロッド代数構造です。

ベッティホモロジーとコホモロジー

ホモロジー理論の数が多くなってきているため（カテゴリ:ホモロジー理論を参照）、ベッティホモロジーやベッティコホモロジーという用語は、単体複体や閉多様体などの最もよく知られている空間のベッティ数を生じるものとして、特異理論に適用されることがある（特に代数幾何学を執筆する著者によって） 。

驚異的な相同性

ホモロジー理論を公理的に（アイレンベルク・スティーンロッド公理を介して）定義し、公理の一つ（次元公理）を緩和すると、一般化された理論が得られる。これは異常ホモロジー理論と呼ばれる。これらはもともと、異常コホモロジー理論、すなわちK理論とコボルディズム理論の形で現れた。この文脈では、特異ホモロジーは通常ホモロジーと呼ばれる。

参照

• 派生カテゴリ
• 除去定理
• ヒューレヴィッツの定理
• 単体ホモロジー
• 細胞相同性

参考文献

1. ハッチャー、105
2. ハッチャー、108
3. 定理2.10. ハッチャー, 111
4. 命題2.12. ハッチャー, 113
5. ハッチャー、144
6. ハッチャー、140
7. ハッチャー、110
8. ハッチャー、142-143
9. ハッチャー、168
10. ハッチャー、264
11. ハッチャー、115
12. ハッチャー、110

• アレン・ハッチャー『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79160-XおよびISBN 0-521-79540-0
• JPメイ『代数的位相幾何学の簡潔な講座』シカゴ大学出版局ISBN 0-226-51183-9
• ジョセフ・J・ロットマン『代数的位相幾何学入門』Springer-Verlag、ISBN 0-387-96678-1

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