単位球

いくつかの1次元球面: ‖ x ‖ ₂はユークリッド空間のノルムです。

数学において、単位球面とは単位半径の球面、すなわち三次元空間内のある中心点からユークリッド距離1にある点の集合です。より一般的には、単位-球面とは-次元ユークリッド空間内の単位半径の-球面です。単位円は特殊なケースであり、平面内の単位-球面です。（開）単位球面とは単位球面の内側の領域であり、中心からの距離が1未満の点の集合です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle 1}$

単位半径を持ち、中心が空間の原点にある球または球体は、単位球または単位球体と呼ばれます。任意の球体は、平行移動と拡大縮小の組み合わせによって単位球体に変換できるため、球体全般の研究は、単位球体の研究に還元されることがよくあります。

単位球は、断面曲率が1で一定であるため計算が簡素化され、球面幾何学のモデルとしてよく用いられます。三角法では、単位円上の円弧の長さはラジアンと呼ばれ、角度距離の測定に用いられます。球面三角法では、単位球上の表面積はステラジアンと呼ばれ、立体角の測定に用いられます。

より一般的な文脈では、単位球面は固定された中心点から距離1にある点の集合であり、ここではさまざまなノルムを「距離」の一般的な概念として使用でき、(開いた)単位球面はその内部の領域です。

ユークリッド空間における単位球と球

⁠ ⁠次元ユークリッド空間において、⁠ ⁠次元単位球面は、次の式を満たす すべての点の集合である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$$

開いた単位球は ${\displaystyle n}$不等式 を満たすすべての点の集合であり 、閉じた単位球は不等式を満たすすべての点の集合である。 $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$$

体積と面積

単位n球の体積（ V）と表面積（S ）のグラフ

単位球の古典的な方程式は、半径が 1 で、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ -、⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ -、⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ - 軸に変更がない楕円体の方程式です。 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$$

ユークリッド空間 ${\displaystyle n}$における単位球体の体積と単位球面の表面積は、多くの重要な解析公式に登場します。単位球体 ${\displaystyle n}$の体積は、ガンマ関数を用いて表すことができます。これは です。ここ では二重階乗です。 ${\displaystyle V_{n},}$ $${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}$$ ${\displaystyle n!!}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$次元単位球の超体積（つまり、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$次元単位球の境界の「面積」 ）は、次のように表すことができます。 たとえば、は単位球 の境界の「面積」で、これは単に2点を数えたものです。次に、は単位円板 の境界の「面積」で、これは単位円の円周です。は単位球 の境界の面積で、これは単位球 の表面積です。 ${\displaystyle A_{n-1},}$ $${\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{cases}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~odd.} \end{cases}}}$$ ${\displaystyle A_{0}=2}$ ${\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A_{1}=2\pi }$ ${\displaystyle A_{2}=4\pi }$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$のいくつかの値に対する表面積と体積は次のとおりです。

⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$	${\displaystyle A_{n-1}}$（表面積）		${\displaystyle V_{n}}$（音量）
0			${\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}}$	1
1	${\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2	${\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2
2	${\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi }$	6.283	${\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi }$	3.141
3	${\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi }$	12.57	${\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi }$	4.189
4	${\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}}$	19.74	${\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}}$	4.935
5	${\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}}$	26.32	${\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}}$	5.264
6	${\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}}$	31.01	${\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}}$	5.168
7	${\displaystyle 7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}}$	33.07	${\displaystyle (2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}}$	4.725
8	${\displaystyle 8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}}$	32.47	${\displaystyle (1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}}$	4.059
9	${\displaystyle 9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}}$	29.69	${\displaystyle (2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}}$	3.299
10	${\displaystyle 10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}}$	25.50	${\displaystyle (1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}}$	2.550

ここで、 の小数点展開値は、表示される精度に丸められます。 ${\displaystyle n\geq 2}$

再帰

値は再帰を満たします: for ⁠ ⁠。 ${\displaystyle A_{n}}$ $${\displaystyle A_{0}=2}$$ $${\displaystyle A_{1}=2\pi }$$ $${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}$$ ${\displaystyle n>1}$

値は再帰を満たします: for ⁠ ⁠。 ${\displaystyle V_{n}}$ $${\displaystyle V_{0}=1}$$ $${\displaystyle V_{1}=2}$$ $${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$$ ${\displaystyle n>1}$

非負の実数値次元

⁠ ⁠の非負実数値における値は、ハウスドルフ測度の正規化に使われることがあります。^{[ 1 ] [ 2 ]} ${\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}$ ${\displaystyle n}$

その他の半径

半径 ⁠ ⁠ の -球の ${\displaystyle (n-1)}$表面積は ${\displaystyle r}$であり、半径 ⁠ ⁠ の -球の体積はです。たとえば、半径 ⁠ ⁠ の三次元球の 2 次元表面の面積はです。半径⁠ ⁠ の三次元球の  体積はです。 ${\displaystyle A_{n-1}r^{n-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V_{n}r^{n}.}$ ${\displaystyle A_{2}=4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\displaystyle r}$

ノルムベクトル空間における単位球

ノルム付きベクトル空間⁠ ⁠の単位開球は、ノルムによって次のように与えられる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$$

これは、閉単位球の位相的内部である。 ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$ $${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$$

後者は前者とそれらの共通境界の分離した結合であり、単位球面である。 ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$ $${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$$

単位球の「形状」は、選択されたノルムに完全に依存します。単位球は「角」を持つ場合もあり、例えば、⁠ ⁠の最大ノルムの場合のように見えるかもしれません。通常のヒルベルト空間ノルムに属する単位球として、有限次元の場合のユークリッド距離に基づく、自然に丸い球が得られます。その境界は、通常、単位球によって意味されるものです。 ${\displaystyle [-1,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

通常の⁠ ⁠ -ノルムを次のように定義します 。 ${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$$

すると、通常のヒルベルト空間ノルム はハミングノルム、または⁠ ⁠ -ノルムと呼ばれます。この条件はノルムの定義において必須です。なぜなら、任意のノルム空間の単位球は三角不等式の結果として凸でなければならないからです。⁠ ⁠の最大ノルム、または⁠ ⁠ -ノルムを ⁠ ⁠ と表記します。 ${\displaystyle \|x\|_{2}}$ ${\displaystyle \|x\|_{1}}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ ${\displaystyle x}$

2 次元単位球の 1 次元円周については、次式が成り立つことに注意してください。は最小値です。 は最大値です。 ${\displaystyle C_{p}}$ $${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$$ $${\displaystyle C_{2}=2\pi }$$ $${\displaystyle C_{\infty }=8}$$

一般化

計量空間

上記の3つの定義はすべて、選択された原点に関して、計量空間に直接一般化できます。しかし、位相的な考察（内部、閉包、境界）は必ずしも同じように適用されるわけではありません（例えば、超計量空間では、これら3つすべてが同時に開集合かつ閉集合です）。また、一部の計量空間では単位球面が空になることもあります。

二次形式

⁠ ⁠が実 ${\displaystyle V}$二次形式 を持つ線型空間である場合、は単位球面^{[ 3 ] [ 4 ]}または単位準球面と呼ばれることがあります。例えば、二次形式⁠ ⁠を 1 に設定すると単位双曲線が生成され、これは分割複素数平面における「単位円」の役割を果たします。同様に、二次形式は双対数平面 における単位球面の直線のペアを生成します。 ${\displaystyle F:V\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{p\in V:F(p)=1\}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$

参照

• ボール
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -球体
• 球
• スーパー楕円
• 単位円
• ユニットディスク
• 単位接線束
• 単位正方形

注釈と参考文献

1. 香港中文大学、数学5011、第3章、ルベーグ測度とハウスドルフ測度
2. Manin, Yuri I. (2006). 「幾何学と代数における次元の概念」(PDF) .アメリカ数学会報. 43 (2): 139– 161. doi : 10.1090/S0273-0979-06-01081-0 . 2021年12月17日閲覧。
3. 小野隆 (1994)オイラーの主題による変奏曲: 二次形式、楕円曲線、ホップ写像、第5章: 二次球面写像、165ページ、プレナム・プレス、 ISBN 0-306-44789-4
4. F. Reese Harvey (1990) Spinors and Calibration、「一般化球面」、42ページ、 Academic Press、 ISBN 0-12-329650-1

• Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces、24 ページ、Springer-Verlag。
• デザ、Ｅ． Deza, M. (2006)、Dictionary of Distances、エルゼビア、ISBN 0-444-52087-2ヨーロッパ数学会ニュースレター64号（2007年6月） 、57ページに掲載。この本は、さまざまな種類の距離のリストとして構成されており、それぞれに簡単な説明が付いています。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W. 「ユニットスフィア」。マスワールド。

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