ネット（数学）

Generalization of a sequence of points

数学、より具体的には一般位相幾何学および関連分野において、ネットまたはムーア・スミス列は、定義域が有向集合である関数である。この関数の余領域は通常、何らかの位相空間である。ネットは、距離空間における列の概念を直接一般化する。ネットは主に解析学と位相幾何学の分野で使用され、そこでは、（一般に）列では特徴付けることができない多くの重要な位相特性を特徴付けるために使用される（列のこの欠点が、シーケンシャル空間およびフレシェ・ウリゾーン空間の研究の動機となった）。ネットはフィルターと1対1で対応している。

歴史

ネットの概念は、1922年にEHムーアとハーマン・L・スミスによって初めて導入されました。 ^[1]「ネット」という用語はジョン・L・ケリーによって造られました。^{[2] [3]}

フィルターの関連概念は、 1937 年にアンリ・カルタンによって開発されました。

定義

有向集合は、前順序を伴う空でない集合であり、通常は（特に断りのない限り）によって表されると自動的に想定され、（上向き）有向でもあるという特性を持ちます。つまり、任意の に対して、かつ となるようなものが存在するということです。 言葉を換えれば、この特性は、（ の）任意の 2 つの要素が与えられたとき、常にその両方の「上にある」（それぞれより大きいか等しい）何らかの要素が存在することを意味します。このように、有向集合は「方向」の概念を数学的に厳密な方法で一般化します。ただし重要なのは、有向集合は全順序や部分順序である必要がないということです。有向集合は最大要素を持つ場合があります。この場合、条件および は、厳密な不等式およびで置き換えることはできません。これは、 aまたはb が最大要素である場合、厳密な不等式が満たされないからです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c}$ ${\displaystyle a<c}$ ${\displaystyle b<c}$

で表される内のネットは 、という形式の関数であり、その定義域は何らかの有向集合であり、その値は である。ネットの定義域の要素は、そのインデックスと呼ばれる。文脈から集合が明らかな場合は、単にネットと呼ばれ、は前順序を持つ有向集合であると仮定する。ネットの表記法は様々であり、例えば山括弧 が用いられる。代数的位相記法で一般的であるように、塗りつぶされた円または「箇条書き」は、入力変数またはインデックス の代わりに使用される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }(a)=x_{a}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq .}$ ${\displaystyle \left\langle x_{a}\right\rangle _{a\in A}}$ ${\displaystyle a\in A}$

ネットの限界

ネットが集合に最終的にまたは残余に含まれるとは、任意の点Aに対して、点Aが存在する場合を言う。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b\geq a,}$ ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ ${\displaystyle x\in X}$限界点またはいつでもネットの制限: ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$

ネット上のすべてのオープン近傍 は最終的には となるため、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle U}$

次のように表現される：ネットは に収束する ${\displaystyle x}$か を極限として持ち ${\displaystyle x}$、 と様々に表記されます。場合は、表記から省略できます。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X.\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle X}$

かつこの極限が一意（すなわち のみ ）である場合、矢印の代わりに等号を使用して次のように書きます。^[4]ハウスドルフ空間では、すべてのネットは最大で 1 つの極限を持ち、収束ネットの極限は常に一意です。^[4]と の表記を区別しない著者もいますが、周囲空間がハウスドルフでない場合は、このことで曖昧さが生じる可能性があります。 ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to y}$ ${\displaystyle x=y}$ $${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x}$$ ${\displaystyle \to .}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$

ネットのクラスターポイント

ネットは ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$頻繁にまたは最後に、 任意の点に対して、ある点が存在し、かつ^[5]点が ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ ${\displaystyle x\in X}$ネットの集積点またはクラスタ点、ネットの^[5]実際、がクラスタ点である場合、かつその場合のみ、 に収束するサブネットがあります^[6]におけるのすべてのクラスタ点の集合はのそれぞれに対してに等しくなりますここで です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$

サブネット

ネットにおける「部分列」に相当する概念は「サブネット」である。「サブネット」にはいくつかの異なる非等価な定義があり、本稿では1970年にStephen Willard ^[7]によって導入された定義を用いる。その定義は以下の通りである：と がネットである場合、はサブネットまたは ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ウィラードサブネット^[7]の共終部分となるような順序保存写像が存在するとき、 写像は順序保存写像と呼ばれ、次式が成り立つ 。集合がでは、任意のに対して、次式が成り立つようなものが存在することを意味する。 ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ for all }}i\in I.}$$ ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle h(i)\leq h(j).}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in h(I)}$ ${\displaystyle b\geq a.}$

がサブネットのクラスタポイントである場合、 も^[6]のクラスタポイントである。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

ウルトラネット

ネットインセットは ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ユニバーサルネットまたはウルトラネットとは、すべての部分集合が最終的に補集合に含まれるか、最終的に補集合に含まれる場合^[5] ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$

全ての定数ネットは（自明な）ウルトラネットである。ウルトラネットの全てのサブネットはウルトラネットである。^[8]選択公理を仮定すると、全てのネットにはウルトラネットであるサブネットが存在するが、自明でないウルトラネットが明示的に構築されたことはない。^[5]がウルトラネットであり、が関数である ならば、はウルトラネットである。^[5] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle Y.}$

ウルトラネットが^[5]に収束する場合に限り、 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

コーシーネット

コーシーネットはコーシー列の概念を一様空間上に定義されたネットに一般化したものである。^[9]

ネットとは ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$コーシーネットとは、あらゆる側近 が存在し、すべてに対してが の要素^{[9][10] 。}コーシー空間において、ネットがコーシーであるとは、ネットによって生成されるフィルタがコーシーフィルタ。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$

位相ベクトル空間(TVS) は、すべてのコーシーネットが何らかの点に収束する場合、完全空間と呼ばれます。位相ベクトル空間の特殊な型であるノルム空間が完全TVS (バナッハ空間と同義) となるには、すべてのコーシー列が何らかの点に収束する必要があります (この性質は逐次完全性と呼ばれます)。コーシーネットはノルム空間の完全性を記述するためには不要ですが、より一般的な (場合によってはノルム可能でない) 位相ベクトル空間の完全性を記述するためには必要です。

位相的性質の特徴づけ

位相幾何学のほぼすべての概念は、ネットと極限という言語で言い換えることができます。ネットの極限の概念は数列の極限の概念と非常に似ているため、これは直感を導くのに役立つかもしれません。以下の定理と補題は、この類似性を強めるのに役立ちます。

閉集合と閉包

部分集合がで閉じている場合、かつ のネットの のすべての極限点が に必ず含まれる場合に限ります。明示的には、が のネットであり、 がすべての に対してである場合、 が である場合、 がである場合、 ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{a}\in S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in S.}$

より一般的には、が任意の部分集合である場合、の閉包は内の何らかのネットに対してとなる点の集合である。^[6] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \lim _{a\in A}s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$

開集合と位相の特徴づけ

部分集合が開集合であるための必要十分条件は、 のどのネットも の点に収束しないことである^。[11]また、部分集合が開集合であるための必要十分条件は、 の元に収束するすべてのネットが最終的に に含まれること である。これらの「開部分集合」の特徴づけにより、ネットは位相を特徴づけることができる。集合が開集合であるための必要十分条件は、その補集合が閉集合であるため、位相は閉部分集合によっても特徴づけることができる。したがって、ネットに関する 「閉集合」の特徴づけは、位相を特徴づけるためにも用いることができる。 ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

連続

位相空間間の関数が点で連続である場合、かつその場合のみ、定義域内の任意のネットに対して、がを意味する。 ^[6]簡単に言うと 、関数が連続である場合、かつその場合のみ、 が を意味する。一般 に、この記述は、「ネット」という単語を「シーケンス」に置き換えると正しくない。つまり、 が第 1 可算空間でない場合(またはシーケンス空間でない場合)、自然数以外の有向集合を考慮に入れる必要がある。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$

証拠

( ) が点で連続し、が となるネットであるとする。すると、の逆像の任意の開近傍に対して、 は の近傍となる（におけるの連続性により）。したがって、の内部が で示される はの開近傍であり、したがって は最終的に に含まれる。したがって、 は最終的に に含まれるので、 も最終的に に含まれる。は の部分集合である。したがって、この方向は証明されている。 ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle V:=f^{-1}(U),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} V,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {int} V.}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle f(\operatorname {int} V)}$ ${\displaystyle f(V)}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x),}$ ( )となる点を、 となるすべてのネットに対してとします。ここで、 が で連続していないと仮定します。すると、の近傍が存在し、その下の原像はの近傍ではありません。なぜなら、 が必然的に となるからです。ここで、 の包含順を持つ開近傍の集合は有向集合です(このような 2 つの近傍の交差もすべて の開近傍であるため)。 ${\displaystyle \Longleftarrow }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x,}$ ${\displaystyle \lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f(x)\in U,}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ の任意の開近傍（そのインデックスが ）に対して、はこの近傍に含まれない点となるようなネットを構築する。常にそのような点が存在するということは、 の開近傍がに含まれないという事実から明らかである（仮定により はの近傍ではないため）。したがって、 はに含まれない。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f\left(x_{a}\right)}$ ${\displaystyle U.}$ ここで、この近傍のすべての開近傍 に対して は、インデックスが と表記される有向集合のメンバーです。 任意のに対して、インデックスが である有向集合のメンバーはに含まれます。したがって、したがって、仮定により となりますが、の開近傍であるため、最終的には となり、したがって にも となります。これは、すべての に対してではないことと矛盾しています。これは矛盾であるため、 は で連続している必要があります。これで証明は完了です。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle a_{0}.}$ ${\displaystyle b\geq a_{0},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x_{b}\in W.}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x.}$ ${\displaystyle \lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x).}$ ${\displaystyle \operatorname {int} U}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f\left(x_{a}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {int} U}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f\left(x_{a}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

コンパクトさ

空間がコンパクトであるためには、内のすべてのネットに の極限を持つサブネットが必要です。これは、ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理とハイネ–ボレルの定理の一般化と見ることができます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

証拠

( ) まず、 がコンパクトであると仮定する。次の観察が必要となる（有限交差性 を参照）。を任意の空でない集合とし、 を の閉部分集合の集合とし、各有限 に対して となるものとすれば、も同様である。そうでなければ、は のコンパクト性に反して、有限部分被覆を持たない の開被覆となる。 ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{C_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}C_{i}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle J\subseteq I.}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}C_{i}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \left\{C_{i}^{c}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ を で有向なネットとします。任意の に対して、が定義される集合は、すべての有限部分集合が空でない交差を持つという性質を持ちます。したがって、上記の注釈により、 が成り立ち、これはまさに のクラスター点の集合です。次のセクションで示す証明により、これは の収束サブネットの極限の集合に等しいです。したがって、は収束サブネットを持ちます。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle a\in A}$ $${\displaystyle E_{a}\triangleq \left\{x_{b}:b\geq a\right\}.}$$ ${\displaystyle \{\operatorname {cl} \left(E_{a}\right):a\in A\}}$ $${\displaystyle \bigcap _{a\in A}\operatorname {cl} E_{a}\neq \varnothing }$$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ( ) 逆に、 のすべてのネットが収束サブネットを持つと仮定します。矛盾を避けるために、 を有限部分被覆を持たないの開被覆とします。 を考えます。が包含有向集合であり、それぞれに対して、すべてに対してとなるような が存在することに留意します。ネットを考えます。このネットは収束サブネットを持つことはできません。なぜなら、それぞれに対してとなるような の近傍が存在するからです。しかし、すべてに対して となります。これは矛盾ですが、これで証明が完了します。 ${\displaystyle \Longleftarrow }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D\triangleq \{J\subset I:|J|<\infty \}.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C\in D,}$ ${\displaystyle x_{C}\in X}$ ${\displaystyle x_{C}\notin U_{a}}$ ${\displaystyle a\in C.}$ ${\displaystyle \left(x_{C}\right)_{C\in D}.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle c\in I}$ ${\displaystyle U_{c}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B\supseteq \{c\},}$ ${\displaystyle x_{B}\notin U_{c}.}$

クラスターと限界点

ネットのクラスターポイントの集合は、その収束サブネットの限界の集合に等しい。

証拠

を位相空間のネット（ここではいつものように自動的に有向集合と仮定）とし、またをサブネットの極限とすると、をクラスタ点とする。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y\in X.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$ 逆に、が のクラスター点であると仮定する。がの開近傍であり、 がとなるような対の集合を とする。への写像は共終的である。さらに、積に順序を与える（ の近傍は包含関係で順序付けられる）と、 は有向集合となり、によって定義されるネットは に収束する。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (U,a)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle x_{a}\in U.}$ ${\displaystyle h:B\to A}$ ${\displaystyle (U,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \left(y_{b}\right)_{b\in B}}$ ${\displaystyle y_{b}=x_{h(b)}}$ ${\displaystyle y.}$

ネットに限界が存在するのは、そのすべてのサブネットに限界が存在する場合のみです。その場合、ネットのすべての限界は、すべてのサブネットの限界でもあります。

その他の特性

一般に、空間 内のネットは複数の極限を持つことができるが、 がハウスドルフ空間である場合、ネットの極限は、存在するならば一意である。逆に、 がハウスドルフ空間 でない場合、 上に2つの異なる極限を持つネットが存在する。したがって、極限の一意性は、空間 上のハウスドルフ条件と等価であり、実際、これを定義としてとらえることができる。この結果は有向性条件に依存する。つまり、一般前順序または半順序でインデックス付けされた集合は、ハウスドルフ空間内であっても異なる極限点を持つ可能性がある。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

フィルターとの関係

フィルタは位相空間における収束の一般的な定義を可能にする、位相幾何学における関連した概念である。この 2 つの概念は、同じ収束の概念を与えるという意味で等価である。^[12]より具体的には、すべてのフィルタ基底は、フィルタの尖端集合を使用して関連するネットを誘導し、フィルタ基底が収束すれば、関連するネットも収束する。同様に、 の任意のネットは、裾のフィルタ基底を誘導し、このフィルタ基底によって生成される のフィルタは、ネットのイベントチュアリティフィルタと呼ばれる。ネットが収束すれば、イベントチュアリティフィルタも収束する。^[13]この対応により、一方の概念で証明できる定理は、もう一方の概念でも証明できる。^[13]たとえば、ある位相空間から別の位相空間への関数の連続性は、定義域でのネットの収束が余域での対応するネットの収束を意味するか、フィルタ基底についての同じ記述によって特徴付けることができる。 ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{\left\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\right\}:a_{0}\in A\right\}}$ ${\displaystyle X}$

ロバート・G・バートルは、両者は同等であるにもかかわらず、両方の概念を持つことは有用であると主張している。^{[13]彼は、ネットはシーケンスに十分類似しており、シーケンス、特に}解析学でよく見られるような連続要素を用いたシーケンスとの類推によって自然な証明や定義を行うことができると主張している。一方、フィルターは代数的位相幾何学において最も有用である。いずれにせよ、彼はこれら2つを組み合わせて、一般位相幾何学における様々な定理を証明する方法を示している。

ネットの使用に関する学習曲線は、一般的にフィルタよりもはるかに緩やかです。そのため、多くの数学者、特に解析学者は、フィルタよりもネットを好みます。しかし、フィルタ、特にウルトラフィルタには、ネットに比べて重要な技術的利点がいくつかあり、解析学や位相幾何学の分野以外では、ネットはフィルタよりもはるかに少ない頻度で使用されています。

シーケンスの一般化として

すべての空でない全順序集合は有向である。したがって、そのような集合上のすべての関数はネットである。特に、自然数は通常の 整数比較の事前順序とともに有向集合の典型的な例を形成する。シーケンスは自然数上の関数であるため、位相空間内のすべてのシーケンスは上で定義されたのネットと見なすことができます。逆に、定義により のシーケンスはからへの単なる関数であるため、自然数をドメインとするネットはシーケンスです。このように、ネットはシーケンスの一般化です。つまり、可算な線形順序集合 ( )上で定義されるのではなく、ネットは任意の有向集合上で定義されます。ネットは、シーケンスで使用される表記法に似た (およびシーケンスに影響を受けた) 表記法を使用して表示されることがよくあります。たとえば、添え字表記はシーケンスから採用されています。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{a}}$

同様に、数列の極限と関数の極限は、ネットの極限として解釈できます。具体的には、任意の整数に対して点が属するが存在する場合、ネットは最終的にの部分集合になります。したがって、ネットのすべての近傍に対して が最終的に に属する場合と同値です。ネットが の部分集合に属する場合と同値です。任意の に対して が存在する場合と同値です。つまり、数列の無限個の要素がに属する場合と同値です。したがって、点がネットのクラスター点となる場合と同値です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \lim {}_{n}a_{n}\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}\in S,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$

位相幾何学の文脈において、列は位相空間間の写像に関するすべての情報を完全には符号化しない。特に、位相空間と間の写像に関して、以下の2つの条件は一般に同値ではない。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. この写像は位相的な意味で連続的である。 ${\displaystyle f}$
2. の任意の点と の合成に収束するの任意のシーケンスが与えられると、このシーケンスは に収束します(シーケンスの意味で連続)。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

条件 1 は常に条件 2 を保証しますが、その逆は必ずしも真ではありません。2 つの条件が同値となる空間は、シーケンシャル空間と呼ばれます。距離空間を含むすべての第一可算空間はシーケンシャル空間ですが、すべての位相空間がシーケンシャルであるとは限りません。ネットはシーケンスの概念を一般化するため、条件 2 は次のように解釈されます。

2. の任意の点と の任意のネットが の合成に収束すると、このネットは に収束します(ネットの意味で連続)。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

この変更により、条件は位相空間のすべての写像に対して同値となり、点の周りに必ずしも可算な近傍基底や線型順序近傍基底を持たない位相空間も含まれる。したがって、列は位相空間間の関数に関する十分な情報を符号化しないが、ネットは十分な情報を符号化する。なぜなら、位相空間における開集合の集合は、その振る舞いにおいて有向集合とよく似ているからである。

シーケンスでは不十分な例として、プロトタイプを持つすべての関数の集合を直積として解釈し（関数を組と同一視し、その逆も行う）、それに積位相を付与します。 上のこの（積）位相は、点ごとの収束 の位相と同一です。は、最大で有限個の点（つまり、集合 が有限である）を除いてどこでも に等しいすべての関数の集合を表します。すると、定数関数は の閉包に属し、次の式が成り立ちます。 ^[8]これは、 に収束する のネットを構築することで証明されます。ただし、に収束する のシーケンスは存在しません^[14]。これは、シーケンスだけでは目的の結論に到達できないため、（非シーケンス）ネットを使用する必要がある 1 つの例となります。の要素を通常の方法で点ごとに比較し、すべての に対してが成り立つ場合、かつ が成り立つと宣言する。この点ごとの比較は、任意の に対しての点ごとの最小値が に属し、とを満たすため、有向集合 を作成する半順序である。この半順序は、恒等写像（ によって定義される）を値ネットに変換する。このネットはにおいてに点ごとに収束し、が の閉包に属することを意味する。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{x\in \mathbb {R} }}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f(x))_{x\in \mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \{0,1\}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{x:f(x)=0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbf {0} :\mathbb {R} \to \{0\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} };}$ ${\displaystyle \mathbf {0} \in \operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f\geq g}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (E,\geq )}$ ${\displaystyle f,g\in E,}$ ${\displaystyle m:=\min\{f,g\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\geq m}$ ${\displaystyle g\geq m.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :(E,\geq )\to E}$ ${\displaystyle f\mapsto f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }.}$

より一般的には、シーケンスのサブネットは必ずしもシーケンスではない。 ^{[5] [a]}さらに、シーケンスのサブネットはシーケンスである可能性はあっても、部分シーケンスではない。^[b]しかし、シーケンス空間という特定のケースでは、すべてのネットは対応するシーケンスを誘導し、この関係はサブネットを部分シーケンスにマッピングする。具体的には、第一可算空間の場合、ネットはシーケンスを誘導する。ここで、はにおける最小値として定義される 。つまり、すべての整数 に対してと となる。 ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h_{1}:=\inf A}$ ${\displaystyle h_{n}:=\inf\{a\in A:a>h_{n-1}\}}$ ${\displaystyle n>1}$

例

部分空間トポロジー

集合がによってその上に誘導される部分空間位相を備えている場合、がである場合、かつ が である場合に限ります。このように、ネットが与えられた点に収束するかどうかの問題は、から構成されるこの位相的部分空間と、ネットの（つまり、ネットの点の）像のみに依存します。 ${\displaystyle S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

近隣システム

直感的に言えば、ネットの収束とは、十分に大きいに対して、値が望みどおりに近づいてその状態にとどまることを意味します。位相空間内の点が与えられたとして、を含むすべての近傍の集合をとします。すると は有向集合であり、方向は逆包含によって与えられるため、 がに含まれる場合のみ となります。に対してを 内の点とすると、はネットです。が に関して増加すると、ネット内の点はの減少する近傍にあるように制約されます。したがって、点 のこの近傍システムでは、ネット収束の定義に従って、は確かに に収束します。 ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle S\geq T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle S\in N_{x},}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\geq ,}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle x}$

上の位相の部分基底 が与えられ（位相のすべての基底は部分基底でもあることに注意）、のネットが収束する点が与えられたとき、その点が のすべての近傍に収束する場合に限ります。この特徴付けは、与えられた点の近傍部分基底（したがって近傍基底も）に拡張されます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x.}$

直積における極限

積空間内のネットには、各投影に限界がある場合に限り限界があります。

明示的に、位相空間とし、その直積に位相を付与し、任意の添字に対して、への標準射影を ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$ ${\displaystyle l\in I,}$ ${\displaystyle X_{l}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}}$$

を で方向付けられたネットとし、すべての添え字に対してを「に差し込む」結果とすると、ネット が得 られる。この定義を関数合成 の観点から考えると便利な場合がある。ネット は、ネットと射影の合成に等しい。つまり、 ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

任意の与えられた点に対して、ネットが積空間でに収束する場合、かつその場合のみ、 のすべてのインデックスに対して がに収束します^[15] また、ネットがでクラスタリングされている場合はいつでも、すべてのインデックスに対してが にクラスタリングされます^[8]しかし、逆は一般には成り立ちません^[8]例えば、とが交互に現れるシーケンスを表すとします。と は、との両方のクラスタ点ですが、を中心とする半径 の開球には1 つの点も含まれていないため、 のクラスタ点ではありません。 ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle X_{1}=X_{2}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots }$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (0,0).}$ ${\displaystyle L_{1}:=0}$ ${\displaystyle L_{2}:=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$

ティコノフの定理と選択公理との関係

が与えられていないが、任意の に対してとなるようなものが存在する場合、 によって定義される組はにおけるの極限になります。 しかし、この組が存在すると結論付けるためには選択公理を仮定する必要がある場合があります。選択公理は、が有限である場合や、任意のがネット の一意の極限である場合（その場合、選択するものがないため）などの状況では必要ありません。これは、たとえば、任意の がハウスドルフ空間である場合に発生します。が無限でが空でない場合、射影が全射写像であると結論付けるには、（一般に）選択公理が必要になります。 ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}}$

選択公理は、任意のコンパクト位相空間の集合の積はコンパクトであるというティコノフの定理と同等です。しかし、すべてのコンパクト空間がハウスドルフでもある場合、いわゆる「コンパクトハウスドルフ空間に対するティコノフの定理」を代わりに使用できます。これは超フィルタ補題と同等であり、選択公理よりも厳密に弱いです。ネットは、上記で示したネット収束の特徴付けと、すべてのネットが収束するサブネットを持つ場合のみ空間がコンパクトであるという事実を用いることで、ティコノフの定理の両方のバージョンの簡潔な証明を与えるために使用できます。

優劣を制限する

実数ネットの上限と下限は、数列の場合と同様の方法で定義できます。 ^{[16] [17] [18]}一部の著者は、実数直線よりも一般的な構造、例えば完全格子などを扱っています。^[19]

ネットプット の場合 ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$ $${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$$

実数ネットの極限は、数列の場合と類似した多くの性質を持つ。例えば、ネットの1つが収束する場合、必ず等式が成立する。 $${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$$

リーマン積分

リーマン積分の値の定義は、リーマン和のネットの極限として解釈することができ、ネットの有向集合は、包含によって部分的に順序付けられた積分区間のすべてのパーティションの集合です。

計量空間

が計量空間（または擬計量空間）であり、計量位相が与えられているとする。が点であり、がネットであるとき、においてが実数ネットであるとき、かつその場合に限られる。平易な言葉で言えば、この特徴付けは、ネットが計量空間内の点に収束する場合、かつその場合に限られる、つまりネットと点の間の距離がゼロに収束することを意味する。がノルム空間（または半ノルム空間）であるとき、において が が収束する場合、かつその場合に限られる、ここで ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right):=\left(d\left(m,m_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ ${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|m-m_{a}\right\|\right)_{a\in A}.}$

が少なくとも2点を持つ場合、点を固定し（例えば、原点をユークリッド計量とするなど）、が からの距離に応じて を逆に方向付けることができます。これは、が であるとき、かつ であるときのみであると宣言することによって行われます。言い換えれば、関係は「 が から までの距離が と少なくとも同じである」ということであり、この関係に関して「十分に大きい」とは「 に十分近い」ことを意味します。定義域を持つ任意の関数に対して、 への制限は、によって方向付けられたネットとして標準的に解釈できます^[8]。 ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle c:=0}$ ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle d(j,c)\leq d(i,c).}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle (I,\leq ).}$

ネットが位相空間の部分集合に含まれる場合と、そのネットが存在し、を満たす任意の に対して点が に含まれる場合とで同値である。 そのようなネットが与えられた点に に収束する場合と、通常の意味で収束する場合（つまり の任意の近傍に対してが最終的に に含まれる場合）とで同値である。^[8] ${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c),}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle \lim _{m\to c}f(m)\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$

ネットが頻繁にのサブセットに含まれる場合、かつその場合に限り、任意のに対してが存在する。したがって、点がネットのクラスタ点である場合、かつその場合に限り、ネットのすべての近傍に対してが頻繁に含まれる。 ${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c)}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle V.}$

整列集合から位相空間への関数

極限点を持つ整列集合 と位相空間への関数を考える。この関数は ${\displaystyle [0,c]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,t)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle [0,t).}$

最終的に、任意の点が ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in [0,t)}$ ${\displaystyle s\in [r,t)}$ ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle V.}$

したがって、すべての近傍が最終的に ${\displaystyle \lim _{x\to t}f(x)\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V.}$

ネットは、任意のに対して、次のようなものが存在する場合のみ、その部分集合に含まれる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in [0,t)}$ ${\displaystyle s\in [r,t)}$ ${\displaystyle f(s)\in V.}$

点がネットのクラスタ点となるのは、ネットのあらゆる近傍が頻繁に ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle V.}$

最初の例は、 ${\displaystyle c=\omega .}$

序数インデックスシーケンスも参照してください。

参照

• 位相空間のカテゴリの特徴付け – 位相空間を定義する複数の同値な方法Pages displaying short descriptions of redirect targets
• セットのフィルター - 「大きな」セットを表すサブセットのファミリー
• 位相幾何学におけるフィルタ – 位相幾何学におけるすべての基本的な概念と結果を記述し特徴付けるためにフィルタを使用する
• 先行順序 – 反射的および推移的な二項関係
• シーケンシャル空間 – シーケンスによって特徴付けられる位相空間
• セット上のウルトラフィルター – 最大適正フィルター

注記

1. 例えば、 とを任意のについて とすると、は定数零列となります。 を通常の順序で向き付け、をそれぞれについて とすると、の天井を とすることで 定義します 。写像は、その像がその余領域において共終的であり、任意の について成り立つ順序射です。これは、 が列 のサブネットであることを示しています（ただし、このサブネットは の部分列ではありません。なぜなら、その定義域は非可算集合であるため、列ですらないからです）。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=(0)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle s_{r}=0}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \varphi (r)=\lceil r\rceil }$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(x_{\bullet }\circ \varphi \right)(r)=x_{\varphi (r)}=0=s_{r}}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in R}=x_{\bullet }\circ \varphi }$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$
2. シーケンスは のサブシーケンスではありませんが、サブネットです。なぜなら、によって定義される写像は順序保存写像であり、その像は であり、すべての に対してを満たすからです。実際、これはであり、すべての に対して であるためです。言い換えると、シーケンス上の関数として考えると、 は上の恒等写像であり、 ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,1,2,2,3,3,\ldots )}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,2,3,\ldots )}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(i):=\left\lfloor {\tfrac {i+1}{2}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle h(\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle s_{i}=h(i)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{\bullet }=h.}$

引用

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5. Willard 2004、73–77 ページ。
6. ウィラード2004、p.75。
7. シェクター、1996 年、157–168 ページ。
8. ウィラード2004、77ページ。
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10. Joshi, KD (1983)、一般位相幾何学入門、ニューエイジインターナショナル、p. 356、ISBN 9780852264447。
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12. 「アーカイブコピー」（PDF） 。 2015年4月24日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2013年1月15日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
13. RG Bartle、「トポロジーにおけるネットとフィルタ」、アメリカ数学月刊誌、第62巻、第8号（1955年）、551–557頁。
14. ウィラード2004年、71～72頁。
15. ウィラード 2004、76ページ。
16. アリプランティス・ボーダー、32ページ
17. メギンソン、217ページ、221ページ、演習2.53～2.55
18. ビール、2ページ
19. シェクター、セクション7.43–7.47

参考文献

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• ビア、ジェラルド (1993).閉集合および閉凸集合上の位相. 数学とその応用 268. ドルドレヒト: クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ・グループ. pp. xii, 340. ISBN 0-7923-2531-1. MR  1269778。
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• ケリー、ジョン・L. (1991).一般位相幾何学. シュプリンガー. ISBN 3-540-90125-6。
• メギンソン, ロバート E. (1998).バナッハ空間理論入門.大学院数学テキスト. 第193巻. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-98431-3。
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• シェクター、エリック（1996年）『分析とその基礎ハンドブック』サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]. 一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。

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