ネータースキーム

Concept in algebraic geometry

代数幾何学において、ネータースキームとは、ネーター環である開アフィン部分集合による有限被覆を許容するスキームである。より一般的には、スキームが局所ネーターであるとは、ネーター環のスペクトルによって被覆されることを意味する。したがって、スキームがネーターであるための必要十分条件は、それが局所ネーターかつコンパクトであることである。ネーター環と同様に、この概念はエミー・ネーターにちなんで名付けられている。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

局所ネータースキームにおいて、が開アフィン部分集合であるとき、Aはネーター環であることが示される  。特に、 がネータースキームとなるのは、 A がネーター環である場合と同値である。局所ネータースキームXに対して、局所環もネーター環となる。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

ネータースキームはネーター位相空間である。しかし、その逆は一般には成り立たない。例えば、非ネーター付値環のスペクトルを考えてみよう。

定義は正式なスキームにまで拡張されます。

特性とネーター仮説

一般に、スキームに関するステートメントに対して (局所的に) ネーター仮説を持つと、そのプロパティの多くを十分に厳格化するため、多くの問題がアクセスしやすくなります。

いかなるノイザンスキームも有限個の既約成分しか持つことができない。^[1]

ネータースキームからのすべての射は準コンパクトである。^[2] ${\displaystyle X\to S}$

デヴィサージュ

ノイザン環とノイザンスキームに関する最も重要な構造定理の一つは、デヴィサージュ定理である。これにより、連接層に関する議論を帰納的議論に分解することが可能になる。連接層の短い完全列が与えられたとき、

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,}$

層の1つが何らかの性質を持つことを証明することは、他の2つが の性質を持つことを証明することと等価です。特に、固定された連接層と部分連接層が与えられた場合、 が何らかの性質を持つことを示すことは、とを見ることに帰着します。このプロセスは有限回しか非自明に適用できないため、多くの帰納的議論が可能になります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}'}$

ホモロジー特性

ネータースキームには多くの優れたホモロジー特性がある。^[3]

チェフと層コホモロジー

チェフ・コホモロジーと層コホモロジーはアフィン開被覆上で一致する。これにより、標準的な開被覆に対してチェフ・コホモロジーを用いて層コホモロジーを計算することが可能となる。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$

余極限とコホモロジーの両立性

ノイザンスキーム上のアーベル群の層の直接的な系 が与えられたとき、標準同型が存在する。 ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{\alpha },\phi _{\alpha \beta }\}_{\alpha \in \Lambda }}$

${\displaystyle \varinjlim H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{\alpha })\to H^{i}(X,\varinjlim {\mathcal {F}}_{\alpha })}$

関数の意味

${\displaystyle H^{i}(X,-):{\text{Ab}}(X)\to {\text{Ab}}}$

直接的な極限と余積を保存します。

派生した直接像

ノイザンスキームへの局所有限型射と、層が上で適切なサポートを持つような有界コヒーレントコホモロジーを持つ層の複合体が与えられた場合、導出されたプッシュフォワードは 上で有界コヒーレントコホモロジーを持ち、つまり 内のオブジェクトである。^[4] ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }\in D_{Coh}^{b}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {R} f_{*}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D_{Coh}^{b}(S)}$

例

興味深いスキームのほとんどは、ネーター スキームです。

ネーター基底上の局所的に有限型

ネータースキームの別の例として^[5]、基底がネーターであり、上有限型であるスキームの族が挙げられる。これには、ヒルベルトスキームの連結成分、すなわち固定されたヒルベルト多項式を持つものなど、多くの例が含まれる。これは、代数曲線のモジュライや安定ベクトル束のモジュライなど、実社会でよく見られる多くのモジュライ空間がネーターであることを意味するため重要である。また、この性質は、代数幾何学で考察される多くのスキームが実際にはネーターであることを示すためにも用いられる。 ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

準射影多様体

特に、準射影多様体はネータースキームです。このクラスには、代数曲線、楕円曲線、アーベル多様体、カラビ・ヤウスキーム、志村多様体、K3曲面、3次曲面が含まれます。基本的に、古典代数幾何学におけるすべての対象は、この例のクラスに当てはまります。

ネータースキームの微小変形

特に、ネータースキームの微小変形は再びネーター的である。例えば、曲線 が与えられた場合、任意の変形もまたネータースキームとなる。このような変形の塔を用いることで、形式的なネータースキームを構築することができる。 ${\displaystyle C/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{n}))}$

非例

アデリック基地をめぐる計画

非ノイザン環の一つとして、代数体のアデール環 が挙げられる。このような環を扱うために位相が考慮され、位相環が与えられる。このような環上の代数幾何学の概念は、アンドレ・ヴェイユとアレクサンダー・グロタンディークによって発展された。^[6] ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle K}$

無限拡大上の整数環

（すべての単位根を接することによって）のような無限ガロア体拡大が与えられると、 整数環は次元 の非ノイザン環となる。これは、有限次元スキームは必然的にノイザンであるという直感を覆す。また、この例は、非ノイザン基底、つまりスキーム 上のスキームを研究することが、なぜ興味深く実りある研究対象となり得るかという動機付けとなる。 ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{\infty })/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{E})}$

このような拡張の特別なケースの一つとして^{[7] 93ページは}、最大非分岐拡張をとり、整数環を考えることである。誘導射は ${\displaystyle K^{ur}/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K^{ur}}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K^{ur}})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

の普遍的な覆いを形成します。 ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

無限の数の生成元を持つ多項式環

非ノイザン有限次元スキーム (実際には 0 次元) の別の例は、無限の数の生成元を持つ多項式環の次の商によって与えられます。

${\displaystyle {\frac {\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},\ldots )}}}$

参照

• 優れた環- ネーター環よりもわずかに剛性が高いが、より優れた特性を持つ
• 構築可能な集合に関するシュバレーの定理
• ザリスキの主定理
• 二重化複合体
• 永田のコンパクト化定理

参考文献

1. “Lemma 28.5.7 (0BA8)—The Stacks project”. stacks.math.columbia.edu . 2020年7月24日閲覧。
2. “Lemma 28.5.8 (01P0)—The Stacks project”. stacks.math.columbia.edu . 2020年7月24日閲覧。
3. 「層のコホモロジー」（PDF） .
4. “Lemma 36.10.3 (08E2)—The Stacks project”. stacks.math.columbia.edu . 2020年7月24日閲覧。
5. “Lemma 29.15.6 (01T6)—The Stacks project”. stacks.math.columbia.edu . 2020年7月24日閲覧。
6. Conrad, Brian. 「Weil and Grothendieck Approaches to Adelic Points」（PDF） . 2018年7月21日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。
7. ノイキルヒ、ユルゲン (1999). 「1.13」。代数的整数論。ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー ベルリン ハイデルベルク。ISBN 978-3-662-03983-0. OCLC  851391469。

• ハーツホーン、ロビン(1977).代数幾何学. 大学院数学テキスト. 第52巻. ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-90244-9. MR  0463157. Zbl  0367.14001.
• ハーダー、ギュンター. 「算術群のコホモロジー」（PDF） . 2020年7月24日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
• ダニロフ、VI (2001) [1994]、「ノイザン図式」、数学百科事典、EMSプレス

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