スペクトル漏れ

時間の関数 s(t) のフーリエ変換は、周波数の複素関数 S(f) であり、周波数スペクトルと呼ばれることがよくあります。 s(t) に対する線形時間不変演算は、H(f)•S(f) の形式の新しいスペクトルを生成し、S(f) の非ゼロ値の相対的な大きさや角度 (位相) を変更します。 その他の種類の演算は、最も広い意味で スペクトル漏れと呼ばれる新しい周波数成分を生成します。たとえば、サンプリングは漏れを生成しますが、これを元のスペクトル成分のエイリアスと呼びます。フーリエ変換の目的では、サンプリングはs(t) とディラックのくし形関数の積としてモデル化されます。 積のスペクトルは、 S(f) と別の関数の畳み込みであり、必然的に新しい周波数成分を生成します。 しかし、「漏れ」という用語は通常、ウィンドウ処理の効果を指し、これは s(t) と異なる種類の関数 (ウィンドウ関数) の積です。ウィンドウ関数は有限の持続時間を持ちますが、リークを発生させるためには必ずしもそれが必要ではありません。時間変化関数による乗算で十分です。

スペクトル分析

関数cos( ωt )のフーリエ変換は、周波数 ± ωを除いてゼロです。しかし、他の多くの関数や波形には、便利な閉形式の変換がありません。あるいは、特定の期間におけるスペクトル内容のみに関心がある場合もあります。いずれの場合も、フーリエ変換（または類似の変換）は、波形の1つまたは複数の有限区間に適用できます。一般に、この変換は波形と窓関数の積に適用されます。任意の窓関数（矩形窓関数を含む）は、この方法で計算されるスペクトル推定値に影響を与えます。

これらの効果は、正弦波関数s(t)への影響によって最も簡単に特徴付けられます。この関数の窓関数なしのフーリエ変換は、1つの周波数を除いてすべて0となります。窓関数ありのフーリエ変換は、窓関数自体のフーリエ変換に過ぎないため、通常選択される周波数は0 Hzです（「窓関数の例」を参照）。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w(t)\cdot \underbrace {\cos(2\pi 0t)} _{1}\}={\mathcal {F}}\{w(t)\}.}$

サンプリングとウィンドウ処理の両方を s(t) に適用した場合、どちらの順序であっても、ウィンドウ処理によって生じる漏れは周波数成分の比較的局所的な拡散であり、多くの場合ぼやけた効果を伴いますが、サンプリングによって生じるエイリアシングはぼやけたスペクトル全体の周期的な繰り返しです。

図1：加法性ノイズを含む等強度正弦波に対する2つの窓関数の効果の比較。ビン-20の正弦波はスカロップ現象を示さず、ビン+20.5の正弦波は最悪のスカロップ現象を示している。矩形窓は最もスカロップ現象が顕著であるが、ピーク幅は狭く、ノイズフロアも低い。振幅-16 dBの3つ目の正弦波は、上側のスペクトルでは目に見えるが、下側のスペクトルでは目立たない。

図 2: 正弦波にウィンドウ処理を施すと、矩形ウィンドウ内に整数個のサイクルがあってもスペクトル漏れが発生します。漏れは 2 行目の青いトレースで明らかです。これは赤いトレースと同じ量で、赤いトレースは整数個のサイクルを持たないわずかに高い周波数を表しています。正弦波をサンプリングしてウィンドウ処理すると、その離散時間フーリエ変換でも同じ漏れパターンが見られます (3 行目と 4 行目)。ただし、DTFT が特定の間隔でまばらにサンプリングされる場合は、(視点によって異なりますが) (1) 漏れを回避する、または (2) 漏れがないという錯覚を作り出すことができます。青い正弦波 DTFT (プロットの 3 行目、右側) の場合、それらのサンプルは離散フーリエ変換 (DFT) の出力です。赤い正弦波 DTFT (4 行目) にはゼロ交差の間隔は同じですが、DFT サンプルがそれらの間にあるため、漏れが明らかになります。

ウィンドウ関数の選択

cos( ωt )のような単純な波形に窓関数を適用すると、そのフーリエ変換においてω以外の周波数で非ゼロ値（一般にスペクトル漏れと呼ばれる）が発生します。この漏れはω付近で最悪（最大）となり、 ωから最も遠い周波数で最小となる 傾向があります。

解析対象の波形が異なる周波数の 2 つの正弦波で構成されている場合、漏れによってスペクトル的にこれらの正弦波を区別する能力が損なわれる可能性があります。起こり得る干渉の種類は、多くの場合、次のように 2 つの対立するクラスに分類されます。成分の周波数が異なり、一方の成分が弱い場合、強い成分からの漏れによって弱い成分の存在が覆い隠される可能性があります。しかし、周波数が近すぎる場合は、漏れによって正弦波の強度が同じであっても分離できなくなる可能性があります。最初の種類の干渉、つまり成分の周波数と振幅が異なる場合に有効なウィンドウは、高ダイナミック レンジと呼ばれます。逆に、周波数と振幅が類似している成分を区別できるウィンドウは、高解像度と呼ばれます。

長方形ウィンドウは、高解像度だがダイナミックレンジが低いウィンドウの例です。つまり、周波数が近い場合でも振幅が近い成分を区別するのには優れていますが、周波数が離れていても振幅の異なる成分を区別するのは苦手です。長方形ウィンドウのような高解像度でダイナミックレンジが低いウィンドウは、感度が高いという特性も持ちます。感度が高いとは、加法性ランダムノイズが存在する場合でも、比較的弱い正弦波を検出することができるということです。これは、ノイズが高解像度ウィンドウよりも高ダイナミックレンジウィンドウで強い反応を示すためです。

ウィンドウの種類の中で、もう一方の極端な例として、高ダイナミックレンジだが解像度と感度が低いウィンドウがあります。高ダイナミックレンジウィンドウは、分析対象のスペクトルに様々な振幅の異なる成分が多数含まれることが予想される広帯域アプリケーションで最もよく使用されます。

両極端の中間には、ハン窓やハミング窓といった中程度の窓があります。これらは、電話回線のスペクトルなど、 狭帯域アプリケーションでよく使用されます。

要約すると、スペクトル解析は、類似した周波数で同程度の強度成分を分離すること（高分解能／高感度）と、異なる周波数で異なる強度成分を分離すること（高ダイナミックレンジ）との間のトレードオフを伴う。このトレードオフは、窓関数の選択時に発生する。^{[ 1 ] : p.90}

離散時間信号

入力波形が連続波形ではなく時間サンプリングされている場合、通常は窓関数を適用し、次に離散フーリエ変換（DFT）を適用することで解析が行われます。しかし、DFTは実際の離散時間フーリエ変換（DTFT）スペクトルのスパースサンプリングしか提供しません。図2の3行目は、矩形窓関数を適用した正弦波のDTFTを示しています。正弦波の実際の周波数は、横軸に「13」として示されています。それ以外の値はすべてリーケージであり、対数表示によって誇張されています。周波数の単位は「DFTビン」です。つまり、周波数軸上の整数値はDFTによってサンプリングされた周波数に対応します。^{[ 2 ] : p.56 式(16)} したがって、この図は、正弦波の実際の周波数がDFTサンプルと一致し、スペクトルの最大値がそのサンプルによって正確に測定される場合を示しています。 4行目では、最大値から1 ⁄ 2ビン分ずれており、その結果生じる測定誤差はスカロッピング損失（ピークの形状に由来）と呼ばれます。音符や正弦波テスト信号などの既知の周波数の場合、サンプリングレートとウィンドウ長（ウィンドウ内のサイクル数が整数となるように選択）を選択することで、周波数をDFTビンに一致させることを事前に設定できます。

図 3: この図は、最小および最大のスカロップ損失を持つ正弦波入力に対する 3 つのウィンドウ関数の処理損失を比較しています。

ノイズ帯域幅

解像度とダイナミック レンジの概念は、ユーザーが実際に何をしようとしているかによっていくぶん主観的になる傾向があります。 しかし、これらはまた、定量化可能な総リークと高度に相関する傾向があります。 これは通常、等価帯域幅 B として表現されます。 DTFT を、高さがスペクトル最大値に等しく、幅が B の長方形に再配分するものと考えることができます。^{[ A ] [ 3 ]} リークが大きいほど、帯域幅は大きくなります。 これは、入力信号にランダム ノイズ成分が含まれている (または単なるランダム ノイズである)場合に各 DFT ビンによって記録される平均パワーに比例するため、ノイズ等価帯域幅または等価ノイズ帯域幅と呼ばれることもあります。 時間で平均されたパワー スペクトルのグラフは、通常、この効果によって生じた平坦なノイズ フロアを明らかにします。ノイズ フロアの高さは B に比例します。 そのため、図 1 と図 3 に示すように、2 つの異なるウィンドウ関数で異なるノイズ フロアが生成されることがあります。

損益処理

信号処理では、信号とそれを劣化させる影響との差を利用して信号の品質のある側面を改善する操作が選択されます。信号が加法性ランダム ノイズによって劣化した正弦波である場合、スペクトル解析によって信号とノイズの成分が異なって分布するため、多くの場合、信号の存在を検出したり、振幅や周波数などの特定の特性を計測したりすることが容易になります。実際、信号対ノイズ比(SNR) は、ノイズを均一に分布させ、正弦波のエネルギーのほとんどを 1 つの周波数の周りに集中させることによって向上します。 処理ゲインは、 SNR の改善を説明するためによく使用される用語です。スペクトル解析の処理ゲインは、ウィンドウ関数、つまりそのノイズ帯域幅 (B) と潜在的なスカロップ損失の両方に依存します。これらの効果は部分的に相殺されます。なぜなら、スカロップが最も少ないウィンドウは、当然ながらリークが最も大きくなるからです。

図3は、加法性ノイズを含む2つの等強度正弦波からなる同一データセットに対する3つの異なるウィンドウ関数の効果を示しています。正弦波の周波数は、一方がスカロッピングを起こさず、もう一方がスカロッピングを最大に起こすように選択されています。どちらの正弦波も、ブラックマン・ハリスウィンドウよりもハンウィンドウを用いた方がSNRの低下が少なくなります。一般的に（前述のように）、これは低ダイナミックレンジのアプリケーションで高ダイナミックレンジウィンドウを使用することを阻む要因となります。

図4: スペクトル解析アプリケーション向けに8点ガウスウィンドウシーケンス（σ = 0.4）を生成する2つの異なる方法。MATLABではこれらを「対称」および「周期的」と呼びます。後者は歴史的にはDFT-even とも呼ばれています。

図5: 図4の関数のスペクトル漏れ特性

対称

§ 窓関数の例に示されている式は、連続窓関数が「サンプリング」されたかのように、離散的なシーケンスを生成します。（カイザー窓の例を参照してください。）スペクトル解析用の窓シーケンスは、対称シーケンスまたは対称シーケンスより1サンプル短いシーケンス（周期シーケンス、^{[ 4 ] [ 5 ]} DFT-偶数シーケンス、またはDFT-対称シーケンス^{[ 2 ] : p.52 と呼ばれる} ）のいずれかです。例えば、最大値が単一の中心点にある真の対称シーケンスは、MATLAB関数によって生成されますhann(9,'symmetric')。最後のサンプルを削除すると、 と同一のシーケンスが生成されますhann(8,'periodic')。同様に、シーケンスにhann(8,'symmetric')は2つの等しい中心点があります。^{[ 6 ]}

一部の関数には1つまたは2つのゼロ値のエンドポイントがありますが、これらはほとんどのアプリケーションでは不要です。ゼロ値のエンドポイントを削除しても、DTFT（スペクトルリーク）には影響しません。しかし、N  + 1またはN  + 2サンプル用に設計された関数は、片方または両方のエンドポイントを削除することを想定して、通常、メインローブがわずかに狭く、サイドローブがわずかに高く、ノイズ帯域幅がわずかに狭くなります。^{[ 7 ]}

DFT対称性

DFTの前身は有限フーリエ変換であり、窓関数は「常に奇数点を持ち、原点を中心に偶対称性を示す」ものでした。^{[ 2 ] : p.52} この場合、DTFTは完全に実数値です。同じシーケンスをDFTデータウィンドウにシフトすると、DTFTは、一定間隔の周波数を除いて複素数値になります。 ^{[ a ]}長さシーケンスのDFTは、間隔でDTFTをサンプリングします。 したがって、一般的に行われるのは、シーケンスを単純に切り捨て（実質的に）、長さDFTを計算することです。^{[ 2 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ b ]}切り捨てられたシーケンスは、間隔で繰り返されるときに 偶対称かつ周期的であるため、 DFT-evenまたは周期的と呼ばれることがあります。 ${\displaystyle [0\leq n\leq N],}$ ${\displaystyle 1/N.}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle 1/(N+1).}$ ${\displaystyle w[N]=0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle N.}$

言うまでもなく、切り捨てられたシーケンスと対称シーケンスのDTFTは完全には等価ではありません。^{[ 13 ] [ B ]} DTFT § L=N+1で説明されている正確な解法は、長さシーケンスの周期的な和の1サイクルに対して長さDFTを実行することです。これは単に を加算することになります。 シーケンス はDFT偶数のままであり、サンプルは依然として実数値です。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle w[N]}$ ${\displaystyle w[0].}$

§ ウィンドウ関数の例 のようなスペクトル プロットは、 よりもはるかに小さい間隔で DTFT をサンプリングし、複素数の振幅成分のみを表示することによって生成されることに注意してください。 ${\displaystyle 1/N}$

畳み込み

DFT対称ウィンドウの魅力は、DFTの実装に高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムが広く利用されていることで説明される。これは、奇数長のシーケンスを切り捨てると偶数長のシーケンスになるからである。実数値のDFT係数は、DFT係数とデータのウィンドウなしDFTとの畳み込みによってウィンドウ処理を実現する特定の難解なアプリケーション^{[ C ]でも有利である。 [ 14 ] [ 2 ] : p.62 [ 1 ] : p.85} これらのアプリケーションでは、コサイン和ファミリのDFT対称ウィンドウ（偶数長または奇数長）が好まれる。これは、そのDFT係数のほとんどがゼロ値であるため、畳み込みが非常に効率的だからである。^{[ D ] [ 1 ] : p.85}

いくつかのウィンドウメトリック

いくつかのウィンドウ関数のスペクトル漏れの比較

アプリケーションに適切な窓関数を選択する際に、この比較グラフが役立つ場合があります。周波数軸は、長さNの窓関数をデータに適用し、長さNの変換を計算した際のFFT「ビン」の単位を示しています。例えば、周波数⁠における値は1/2⁠ 「ビン」とは、周波数k  +  の正弦波信号に対してビンkとk + 1で測定される応答です。1/2⁠。これは、信号周波数が整数ビンのときに発生する最大応答に対する相対値です。周波数における値は、⁠1/2⁠は窓の最大スカロップ損失と呼ばれ、窓を比較する際に使用される指標の一つです。この指標において、長方形の窓は他の窓よりも著しく劣っています。

他に確認できる指標としては、メインローブの幅とサイドローブのピークレベルがあります。これらはそれぞれ、同程度の強度の信号と異なる強度の信号を分離する能力を決定します。例えば、長方形ウィンドウは前者には最適ですが、後者には最悪です。グラフからは分かりませんが、長方形ウィンドウはノイズ帯域幅が最も広く、ホワイトノイズ環境における低レベルの正弦波の検出に適しています。ゼロパディングや周波数シフトなどの補間技術は、潜在的なスカロッピング損失を軽減するために利用できます。

参照

• § DTFTのサンプリング
• ナイフエッジ効果、切り捨ての空間的類似物
• ギブス現象

注記

1. 数学的には、伝達関数Hの雑音等価帯域幅は、 Hと同じピークゲインを持ち、白色雑音入力に対して同じ電力を通過させる理想的な矩形フィルタの帯域幅である。周波数f（例えばヘルツ）を単位として、次のように表される。

   ${\displaystyle B_{\text{noise}}={\frac {1}{|H(f)|_{\max }^{2}}}\int _{0}^{\infty }|H(f)|^{2}df.}$

2. スペクトル漏れに対する切り捨ての影響の例は、図「ガウスウィンドウ」に示されています。 「DTFT periodic8」とラベル付けされたグラフは、 「periodic DFT-even」 （両方とも青）とラベル付けされた切り捨てウィンドウのDTFTです。 「DTFT symmetric9」とラベル付けされた緑のグラフは、同じウィンドウの対称性が復元されたものです。 「DFT8 periodic summation」とラベル付けされたDTFTサンプルは、青のグラフと同じ周波数で周期的加算を用いてサンプリングした例です。
3. ウィンドウ付き DFT とウィンドウなし (長方形ウィンドウ付き) DFT の両方が必要になる場合があります。
4. 例えば、図「DFT-偶数ハン窓」と「奇数長、DFT-偶数ハン窓」を参照してください。これらの図は、 hann( ,'periodic') によって生成されたシーケンスの 長 DFTには、非ゼロ値が3つしかないことを示しています。その他のサンプルはすべて、DTFT のゼロ交差と一致しています。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

ページ引用

1. ハリス1978、p.52、 ${\displaystyle \Delta \omega \triangleq 2\pi \Delta f.}$
2. ナットール 1981、p.85 (15a)。

参考文献

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