ノーム（数学）

Special mathematical function

数学、特に楕円関数の理論において、ノームは非初等関数に属する特殊関数である。この関数は楕円関数の記述において非常に重要であり、特に高次方程式を解く際に用いられるヤコビ・シータ関数、エルミート楕円超越関数、ウェーバー・モジュラー関数のモジュラー恒等式の記述において重要である。

意味

ノーム関数は次のように与えられる。

${\displaystyle q=\mathrm {e} ^{-{\pi K'/K}}=\mathrm {e} ^{{i}\pi \omega _{2}/\omega _{1}}=\mathrm {e} ^{{i}\pi \tau }\,}$

ここで、と は1/4 周期、 とは基本周期ペア、 は半周期比です。ノームはこれらの量のいずれかの関数とすることができます。逆に、これらの量のいずれもノームの関数とすることができます。 のとき、それらのそれぞれは他の量を一意に決定します。つまり、 のとき、これらのさまざまな記号間のマッピングは 1 対 1 かつ 上へのマッピングであるため、反転することができます。つまり、 のとき、1/4 周期、半周期、半周期比は、ノームの関数として明示的に記述することができます。一般に の場合、はの単一値関数ではありません。ノームに関する1/4 周期の明示的な式は、リンク先の記事に記載されています。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle iK'}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\textstyle \tau ={\frac {iK'}{K}}={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ ${\displaystyle 0<q<1}$ ${\displaystyle 0<q<1}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<|q|<1}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q}$

記法上、1/4周期とは通常、ヤコビ楕円関数の文脈でのみ用いられ、半周期とは通常、ワイエルシュトラスの楕円関数 の文脈でのみ用いられる。アポストルをはじめとする一部の著者は、半周期ではなく全周期を表すためにとを用いている。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle iK'}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

ノームは、楕円関数やモジュラー形式を記述できる値として頻繁に使用されます。一方、4分の1周期は楕円係数 の関数であるため、関数と考えることもできます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}}$

補名 は次のようになる。 ${\displaystyle q_{1}}$

${\displaystyle q_{1}(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K(k)/K'(k)}.\,}$

ノームの平方を表すためにこの表記法が使用されることもあります。 ${\displaystyle q=\mathrm {e} ^{{2{\rm {i}}}\pi \tau }}$

前述の関数と関数は、第一種完全楕円積分と呼ばれます。これらは以下のように定義されます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$

${\displaystyle K(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}}\mathrm {d} y}$

${\displaystyle K'(x)=K({\sqrt {1-x^{2}}})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-(1-x^{2})\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi }$

アプリケーション

ノームは次の方程式を解きます。

${\displaystyle |k|={\frac {\vartheta _{10}^{2}[0,q(k)]}{\vartheta _{00}^{2}[0,q(k)]}}\rightarrow q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}}$

この類推はピタゴラスの補数係数にも当てはまります。

${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}={\frac {\vartheta _{01}^{2}[0,q(k)]}{\vartheta _{00}^{2}[0,q(k)]}}\rightarrow q(k)=\mathrm {e} ^{-\pi K'(k)/K(k)}}$

ここで、は完全ヤコビ・シータ関数であり、は上記の式で示される法を持つ第一種完全楕円積分です。完全シータ関数については、サー・エドマンド・テイラー・ウィテカーとジョージ・ネヴィル・ワトソンによって導入された以下の定義が有効です。 ${\displaystyle \vartheta _{10},\theta _{00}}$ ${\displaystyle K(k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(v;w)=2w^{1/4}\cos(v)\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n}+w^{4n}]}$

これら 3 つの定義式は、ウィテカーとワトソン著の『現代解析学講座』第 4 版の 469 ページと 470 ページに記載されています。ノームは、ランバート級数、q 級数、より一般的にはq 類似体の構築の開始点としてよく使用されます。つまり、半周期比は、通常、ポアンカレ半平面モデルを取得するためにポアンカレ計量を備えた複素上半平面上の座標として使用されます。ノームは、その後、単位半径の穴の開いた円板 上の座標として機能します。これは、が円板の一部ではない (または、に対応する)ために穴が開けられているためです。これにより、穴の開いた円板にポアンカレ計量が与えられます。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle \tau \to \infty }$

したがって、上半平面（およびポアンカレ円板、穴あき円板）は、基本領域 でタイル張りすることができます。基本領域とは、半周期比（または の、またはやなど）の値の領域であり、この領域によって、平面の平行四辺形 によるタイル張りが一意に決定されます。このタイル張りは、モジュラー群によって与えられるモジュラー対称性と呼ばれます。上半平面上で周期的な関数の一部は、モジュラー関数と呼ばれます。ノーム、半周期、1/4周期、または半周期比はすべて、これらの周期関数に対して異なるパラメータ化を提供します。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle iK'}$

典型的なモジュラー関数はクラインのj不変量である。これは半周期比τの関数、あるいはノームの関数として表すことができる。ノームまたはノームの2乗による級数展開（q展開）は、怪物的な密造光によってフィッシャー・グリース怪物とよく知られている。 ${\displaystyle q}$

オイラー関数は一般にq級数のプロトタイプとして現れます。

q級数の名称は、本質的には (詩的に言えば、事実ではないが)アフィン リー代数理論で生じる^{[要出典]ため、それらの代数は}リーマン面の対称性と等長性を記述する。 ${\displaystyle q}$

曲線スケッチ

区間 の実数値はすべて、ノーム関数 において 0 から 1 までの間の実数に割り当てられます。楕円ノーム関数は縦座標軸に対して軸対称です。したがって、 。ノームの関数曲線は、傾き 0、曲率 1/8 で座標の原点を通ります。実数値区間 に対して、ノーム関数は厳密に左曲線です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)=q(-x)}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle q(x)}$

デリバティブ

ルジャンドルの関係は次のように定義されます。

${\displaystyle K\,E'+E\,K'-K\,K'={\tfrac {1}{2}}\pi }$

そして、上で説明したように、楕円ノーム関数には次のような本来の定義があります。 ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle q(x)=\exp \left[-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}\right]}$

さらに、これらは2つの完全楕円積分の微分です。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}K(x)={\frac {1}{x(1-x^{2})}}{\bigl [}E(x)-(1-x^{2})K(x){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}E(x)=-{\frac {1}{x}}{\bigl [}K(x)-E(x){\bigr ]}}$

したがって、ノーム関数の導関数は次の式になります。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}\,q(x)}$

2 次導関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\,q(x)={\frac {\pi ^{4}+2\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{2}-4\pi ^{2}K(x)E(x)}{4x^{2}(1-x^{2})^{2}K(x)^{4}}}\,q(x)}$

これは3次導関数です。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\,q(x)={\frac {\pi ^{6}+6\pi ^{4}(1+x^{2})K(x)^{2}-12\pi ^{4}K(x)E(x)+8\pi ^{2}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}-24\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{3}E(x)+24\pi ^{2}K(x)^{2}E(x)^{2}}{8x^{3}(1-x^{2})^{3}K(x)^{6}}}\,q(x)}$

第二種完全楕円積分は次のように定義されます。

${\displaystyle E(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}{(y^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} y}$

これらの方程式から第2種完全楕円積分を消去すると次の方程式が得られます。

${\displaystyle 3{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x){\biggr ]}^{2}-2{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x){\biggr ]}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x){\biggr ]}={\frac {\pi ^{8}-4\pi ^{4}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}}{16x^{4}(1-x^{2})^{4}K(x)^{8}}}q(x)^{2}}$

したがって、次の3次4次微分方程式が有効です。

${\displaystyle x^{2}(1-x^{2})^{2}[2q(x)^{2}q'(x)q'''(x)-3q(x)^{2}q''(x)^{2}+q'(x)^{4}]=(1+x^{2})^{2}q(x)^{2}q'(x)^{2}}$

マクラリン級数と整数列

クネザーシーケンス

上で述べた楕円ノームの導関数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}\,q(x)}$

この式に示されている分母にK積分を持つ外因数は、楕円周期比の導関数です。楕円周期比は、ピタゴラス補係数のK積分を係数自身のK積分で割った商です。そして、その楕円周期比のマクローリン級数における整数列は、楕円ノームの級数の整数列に直接つながります。

ドイツの数学者アドルフ・クネーザーは、論文「楕円関数の理論による新考察（Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen） 」において、楕円周期比の整数列を研究し、この列の生成関数が楕円関数であることを示しました。また、ロバート・フリッケという別の数学者も、論文「楕円関数とその応用（Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen） 」においてこの整数列を解析し、この列を用いた正確な計算方法を記述しました。クネーザー整数列Kn(n)は、次のように構成できます。

${\displaystyle {\text{Kn}}(2n)=2^{4n-3}{\binom {4n}{2n}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m}{\binom {4n}{2n-2m}}{\text{Kn}}(m)}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(2n+1)=2^{4n-1}{\binom {4n+2}{2n+1}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m+1}{\binom {4n+2}{2n-2m+1}}{\text{Kn}}(m)}$

実行例:

${\displaystyle {\text{Kn}}(2)=2\times 6+1\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}13}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(3)=8\times 20+24\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}184}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(4)=32\times 70+448\times {\color {cornflowerblue}1}+1\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}2701}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(5)=128\times 252+7680\times {\color {cornflowerblue}1}+40\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}40456}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(6)=512\times 924+126720\times {\color {cornflowerblue}1}+1056\times {\color {cornflowerblue}13}+1\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}613720}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(7)=2048\times 3432+2050048\times {\color {cornflowerblue}1}+23296\times {\color {cornflowerblue}13}+56\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}9391936}}$

クネザー数列は周期比（半周期比）のテイラー級数に現れる。

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}{\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{8}}x^{2}+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{256}}x^{4}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{6144}}x^{6}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{131072}}x^{8}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{2621440}}x^{10}+\ldots }}$

この方程式を微分すると、クネーザー数列の生成関数を示す次の方程式が得られます。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}}$

${\displaystyle {\color {limegreen}{\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{4}}x+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{64}}x^{3}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{1024}}x^{5}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{16384}}x^{7}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{262144}}x^{9}+\ldots }}$

この結果は分子におけるルジャンドルの関係 により現れます。 ${\displaystyle K\,E'+E\,K'-K\,K'={\tfrac {1}{2}}\pi }$

シェルバッハ・シュワルツ配列

数学者のカール ハインリヒ シェルバッハ [de]は、商楕円ノーム関数の 4 乗根を二乗関数で割ったマクローリン級数に現れる整数列を発見しました。このシーケンスの構築については、彼の著作「Die Lehre von den Elliptischen Integralen und den Thetafunktionen」に詳しく説明されています。^{[1] : 60}この数列は、シレジアのドイツ人数学者ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツによって『Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen』で構築されました^[2] (54 ～ 56 ページ、Berechnung der Grosse kの章)。このシェルバッハ シュヴァルツ数列 Sc(n) は、20 世紀に数学者のカール テオドール ヴィルヘルム ヴァイエルシュトラスとルイ メルヴィル ミルン-トムソンによっても分析されました。数学者アドルフ・クネーザーは、次のパターンに基づいてこのシーケンスの構成を決定しました。

${\displaystyle {\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m)\,{\text{Kn}}(n+1-m)}$

シェルバッハ・シュワルツ数列 Sc(n) は、オンライン整数数列百科事典に番号 A002103 で掲載されており、クネーザー数列 Kn(n) は番号 A227503 で掲載されています。

次の表^{[3] [4]}にはクネーザー数とシェルバッハ・シュワルツ数が記載されている。

クネザーとシェルバッハ・シュワルツの構築された配列

インデックスn	Kn(n) (A227503)	Sc(n) (A002103)
1	1	1
2	13	2
3	184	15
4	2701	150
5	40456	1707
6	613720	20910
7	9391936	268616
8	144644749	3567400

そしてこの数列は楕円ノームのマクローリン級数^{[5] [6] [7]}をまさにこのように作成します。

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}}$

${\displaystyle q(x)=x^{2}{\bigl (}{\color {limegreen}{\frac {\color {navy}1}{2}}+{\frac {\color {navy}2}{32}}x^{2}+{\frac {\color {navy}15}{512}}x^{4}+{\frac {\color {navy}150}{8192}}x^{6}+{\frac {\color {navy}1707}{131072}}x^{8}+\ldots }{\bigr )}^{4}}$

以下では、シェルバッハ・シュワルツ数がどのように連続的に構築されるかを例として示します。例として、Sc(4) = 150、Sc(5) = 1707、Sc(6) = 20910 を用います。

${\displaystyle \mathrm {Sc} (4)={\frac {2}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {2}{3}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}={\frac {2}{3}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}150}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (5)={\frac {2}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {2}{4}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}={\frac {2}{4}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}1707}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (6)={\frac {2}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {2}{5}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (6)}={\frac {2}{5}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}1707}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}20910}}$

コチェショヴェツ配列

ノーム関数のマクローリン級数は、すべての位置で偶数指数と正の係数を持ちます。 ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Kt} (n)}{16^{n}}}\,x^{2n}}$

そして、係数の絶対値は同じだが符号が交互になっている合計は、次の関数を生成します。

${\displaystyle q{\bigl [}x(x^{2}+1)^{-1/2}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\operatorname {Kt} (n)}{16^{n}}}\,x^{2n}}$

このマクローリン級数の収束半径は1です。ここで(OEIS A005797)は、すべての自然数に対して自然数のみからなる数列であり、この整数数列は基本数列ではありません。この数列は、 1956年生まれのチェコの数学者であり、フェアリーチェスの作曲家でもあるヴァーツラフ・コチェショベッツによって研究されました。この整数数列を構成する2つの方法を次のセクションで示します。 ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)}$

クネーザー数を用いた構築法

コチェショベツ数はシェルバッハ・シュワルツ数と同じ方法で生成されます。

唯一の違いは、今回はこの対応する類似の式の合計の前の係数がなくなり、代わりに次の係数が存在するという点です。 ${\displaystyle {\frac {2}{n}}}$ ${\displaystyle {\frac {8}{n}}}$

${\displaystyle {\text{Kt}}(n+1)={\frac {8}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Kt}}(m)\,{\text{Kn}}(n+1-m)}$

次の表には、シェルバッハ・シュワルツ数、クネーザー数、アペリー数が含まれています。

クネセルとコチェショベツの構築された配列

インデックスn	Kn(n) (A227503)	Kt(n) (A005797)
1	1	1
2	13	8
3	184	84
4	2701	992
5	40456	12514
6	613720	164688
7	9391936	2232200
8	144644749	30920128

以下では、シェルバッハ・シュワルツ数がどのように連続的に構築されるかを例として示します。例として、Kt(4) = 992、Kt(5) = 12514、Kt(6) = 164688 を用います。

${\displaystyle \mathrm {Kt} (4)={\frac {8}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Kt} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {8}{3}}{\bigl [}{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (4)}={\frac {8}{3}}{\bigl (}{\color {ForestGreen}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {ForestGreen}8}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {ForestGreen}84}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {ForestGreen}992}}$

${\displaystyle \mathrm {Kt} (5)={\frac {8}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Kt} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {8}{4}}{\bigl [}{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (5)}={\frac {8}{4}}{\bigl (}{\color {ForestGreen}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {ForestGreen}8}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {ForestGreen}84}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {ForestGreen}992}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {ForestGreen}12514}}$

${\displaystyle \mathrm {Kt} (6)={\frac {8}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Kt} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {8}{5}}{\bigl [}{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {ForestGreen}\mathrm {Kt} (6)}={\frac {8}{5}}{\bigl (}{\color {ForestGreen}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {ForestGreen}8}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {ForestGreen}84}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {ForestGreen}992}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {ForestGreen}12514}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {ForestGreen}164688}}$

したがって、直接楕円ノームのマクローリン級数を生成できます。

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kt}}(n)}{16^{n}}}\,x^{2n}}$

${\displaystyle q(x)={\color {limegreen}{\frac {\color {ForestGreen}1}{16}}x^{2}+{\frac {\color {ForestGreen}8}{256}}x^{4}+{\frac {\color {ForestGreen}84}{4096}}x^{6}+{\frac {\color {ForestGreen}992}{65536}}x^{8}+{\frac {\color {ForestGreen}12514}{1048576}}x^{10}+\ldots }}$

アペリー番号による構築方法

特別に修正されたアペリー数列（OEIS A036917）を表す整数数列をさらに追加することで、コチェショヴェツ数列を生成できます。数列の開始値は値であり、この数列の以下の値は、すべての数に有効な2つの式によって生成されます。 ${\displaystyle \operatorname {Ap} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Kt} (1)=1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {Kt} (n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}m\operatorname {Kt} (m)[16\operatorname {Ap} (n+1-m)-\operatorname {Ap} (n+2-m)]}$

${\displaystyle \operatorname {Ap} (n)=\sum _{a=0}^{n-1}{\binom {2a}{a}}^{2}{\binom {2n-2-2a}{n-1-a}}^{2}}$

この式でもコチェショベツ列が作成されますが、偶数インデックスの列番号のみが作成されます。

${\displaystyle \operatorname {Kt} (2n)={\frac {1}{2}}\sum _{m=1}^{2n-1}(-1)^{2n-m+1}16^{2n-m}{\binom {2n-1}{m-1}}\operatorname {Kt} (m)}$

アペリー列は、特に数学者の孫志宏とラインハルト・ツムケラーによって研究されました。そして、この列は第一種完全楕円積分の平方を生成します。 ${\displaystyle \operatorname {Ap} (n)}$

${\displaystyle 4\pi ^{-2}K(x)^{2}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Ap} (n+1)x^{2n}}{16^{n}}}}$

中心二項係数の最初の数値と、記述されている 2 つの数値シーケンスを次の表に示します。

インデックスn	中心二項係数平方 ${\displaystyle {\frac {[(2n-2)!]^{2}}{[(n-1)!]^{4}}}}$	シーケンス番号 Ap( n )	シーケンス番号Kt( n )
1	1	1	1
2	4	8	8
3	36	88	84
4	400	1088	992
5	4900	14296	12514
6	63504	195008	164688
7	853776	2728384	2232200
8	11778624	38879744	30920128
9	165636900	561787864	435506703
10	2363904400	8206324928	6215660600
11	34134779536	120929313088	89668182220
12	497634306624	1794924383744	1305109502496
13	7312459672336	26802975999424	19138260194422
14	108172480360000	402298219288064	282441672732656
15	1609341595560000	6064992788397568	4191287776164504
16	24061445010950400	91786654611673088	62496081197436736
17	361297635242552100	1393772628452578264	935823746406530603

Václav Kotěšovec は、整数列のオンライン百科事典に700 番目の数列までの数列を書き留めました。 ${\displaystyle \operatorname {Kt} (n)}$

ここではコチェショベツ列の 1 つの例を計算します。

${\displaystyle {\color {blue}1}\times {\color {blue}63504}+{\color {blue}4}\times {\color {blue}4900}+{\color {blue}36}\times {\color {blue}400}+{\color {blue}400}\times {\color {blue}36}+{\color {blue}4900}\times {\color {blue}4}+{\color {blue}63504}\times {\color {blue}1}={\color {RoyalBlue}195008}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}\times {\color {ForestGreen}1}\times (16\times {\color {RoyalBlue}14296}-{\color {RoyalBlue}195008})+{\tfrac {2}{5}}\times {\color {ForestGreen}8}\times (16\times {\color {RoyalBlue}1088}-{\color {RoyalBlue}14296})+{\tfrac {3}{5}}\times {\color {ForestGreen}84}\times (16\times {\color {RoyalBlue}88}-{\color {RoyalBlue}1088})+{}}$ ${\displaystyle {}+{\tfrac {4}{5}}\times {\color {ForestGreen}992}\times (16\times {\color {RoyalBlue}8}-{\color {RoyalBlue}88})+{\tfrac {5}{5}}\times {\color {ForestGreen}12514}\times (16\times {\color {RoyalBlue}1}-{\color {RoyalBlue}8})={\color {ForestGreen}164688}}$

関数値

次の 2 つのリストには、 nome 関数の多くの関数値が含まれています。

最初のリストは、相互にピタゴラス補完モジュールを持つ値のペアを示しています。

${\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=\exp(-\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})]=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})]=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]=\exp(-3\pi )}$

${\displaystyle q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}+3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {11}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}-3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {11}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi )}$

2 番目のリストには、相互に接線方向に補完的なモジュールを持つ値のペアが表示されます。

${\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}]=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{2}]=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {10}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}}}}\,(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})({\sqrt {2{\sqrt {2}}+1}}-1)^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}}}}\,(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})({\sqrt {2{\sqrt {2}}+1}}-1)^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(2-{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{3}]=\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(2+{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{3}]=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )}$

${\displaystyle q[(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}+7{\sqrt {2}})]=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {22}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}-1)^{2}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {26}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \{}({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}+1)^{2}\tan {\bigl [}\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {26}}\,\pi )}$

関連する 4 つの値を以下に示します。

${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {30}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {42}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {42}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {42}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}})^{2}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{21}}{\sqrt {42}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {70}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}+1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {70}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}+2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {70}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl \langle }\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}+2)^{4}({\sqrt {2}}+1)^{6}]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{35}}{\sqrt {70}}\,\pi )}$

和と積

和シリーズ

楕円ノームはリヒャルト・デデキントによって探求され、この関数はエータ関数とその関連関数の理論における基礎となっている。楕円ノームはランベルト級数の構成における起点である。カール・グスタフ・ヤコビによるシータ関数においては、横軸としてのノームは算術幾何平均と第一種完全楕円積分の代数的結合に割り当てられている。多くの無限級数^[8]は、楕円ノームを用いて容易に記述することができる。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{\Box (n)}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {agm} (1-x;1+x)^{-1/2}-{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{\Box (2n-1)}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]={\tfrac {1}{4}}(1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}){\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{n}}{q(x)^{2n}+1}}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{2}}=\pi ^{-1}K(x)-{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{2n-1}}{q(x)^{4n-2}+1}}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}(1-{\sqrt {1-x^{2}}})\pi ^{-1}K(x)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Box (n)q(x)^{\Box (n)}=2^{-1/2}\pi ^{-5/2}K(x)^{3/2}[E(x)-(1-x^{2})K(x)]}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1+q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}=2\pi ^{-2}E(x)K(x)-{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1-q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}={\tfrac {2}{3}}\pi ^{-2}(2-x^{2})K(x)^{2}-2\pi ^{-2}K(x)E(x)+{\tfrac {1}{6}}}$

この四角形は指数nの平方数を表します 。この表記法では指数の 2 が小さく見えるためです。したがって、次の式は有効です。 ${\displaystyle \Box (n)=n^{2}}$

この論文では、楕円の 1/4 周を楕円の長い方の半軸に対して横軸の値として 数値離心率で表した、第 2 種の完全楕円積分について説明します。 ${\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

製品シリーズ

最も重要な 2 つのシータ関数は、次の積級数によって定義できます。

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1+q(x)^{2n-1}]^{2}=\vartheta _{00}[q(x)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1-q(x)^{2n-1}]^{2}=\vartheta _{01}[q(x)]={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}$

さらに、これら 2 つのPochhammer 積には次の 2 つの関係があります。

${\displaystyle q(\varepsilon )[q(\varepsilon );q(\varepsilon )]_{\infty }^{24}=256\,\varepsilon ^{2}(1-\varepsilon ^{2})^{4}\pi ^{-{12}}K(\varepsilon )^{12}}$

${\displaystyle \varepsilon ^{2}[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{24}=16\,(1-\varepsilon ^{2})^{2}q(\varepsilon )}$

ポッホハマー積は五角形数定理とその導出において重要な役割を果たします。

他の機能との関係

完全楕円積分

nome関数は、第一種および第二種の完全楕円積分の定義に使用できます。

${\displaystyle K(\varepsilon )={\tfrac {1}{2}}\pi \,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}$

${\displaystyle E(\varepsilon )=2\pi q(\varepsilon )\,\vartheta _{00}'[q(\varepsilon )]\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{-3}+{\tfrac {1}{2}}\pi (1-\varepsilon ^{2})\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}$

この場合、指数位置のダッシュは、いわゆるシータゼロ値関数の導関数を表します。

${\displaystyle \vartheta _{00}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}}$

ヤコビ関数の定義

楕円関数ゼータ・アンプリチュディニスとデルタ・アンプリチュディニスは楕円ノーム関数^[9]で簡単に定義できます。

${\displaystyle \operatorname {zn} (x;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (x;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}$

上で述べたように、ノームを平方関数で割った商の4乗根を使用して、振幅正弦、反振幅正弦、振幅余弦の次の積級数定義^[10]を設定できます。

${\displaystyle \operatorname {sn} (x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}\,\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}\,\cos[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1+2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}(1-k^{2})\,q(k)}}\,\cos[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}}$

これら 5 つの式は、-1 から +1 までのすべての値 k に対して有効です。

次に、他のヤコビ関数の次の連続定義が可能になります。

${\displaystyle \operatorname {sn} (x;k)={\frac {2\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)=\operatorname {sn} [K(k)-x;k]}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {dn} (x;k)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (x;k)={\frac {k^{2}-\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}x;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}}}$

振幅正弦の積の定義は、Borwein 兄弟によるエッセイ「π と AGM」の 60 ページに記載されており、この式は Whittaker と Watson のシータ関数の定義に基づいています。

ヤコビ振幅関数の恒等式

シータ関数と組み合わせると、このノームは多くのヤコビ振幅関数の値を与えます。

${\displaystyle \operatorname {sc} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {{\sqrt {3}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{6}]}{{\sqrt {1-k^{2}}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{2}]}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]={\frac {2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

略語 sc は、振幅正弦を振幅余弦で割った商を表します。

定理と恒等式

ノーム平方定理の導出

楕円名詞の平方の法則は、ランデン娘係数を形成することを伴う。

${\displaystyle q(\varepsilon )^{2}=q{\bigl [}\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}{\bigr ]}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=q{\bigl \{}\operatorname {tanh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

ランデン娘係数は、母係数のピタゴラス対応物の接線対応物でもあります。

この式は次の方程式の組み合わせになります。 ${\displaystyle (1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})F{\bigl [}\arctan(x);\varepsilon {\bigr ]}=F{\bigl [}\arctan(x)+\arctan({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,x);\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}{\bigr ]}}$ この方程式の微分商がwに沿って均衡していることは、この式の正しさを裏付けています。なぜなら、方程式のスケールの両側において、wに沿った微分商は同じであり、スケールの両側の関数はwに関して座標原点を通るからです。 ${\displaystyle w}$ 次の式は前の式から直接導かれます。 ${\displaystyle (1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )=2K{\bigl [}\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}{\bigr ]}}$ 置換を変更すると、次の式が生成されます。 ${\displaystyle K{\bigl [}2{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-1}{\bigr ]}=(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})}$ 両方の式を組み合わせると、次の商方程式が得られます。 ${\displaystyle {\color {blue}2\,{\frac {K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})}{K(\varepsilon )}}}={\color {green}{\frac {K[2{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-1}]}{K[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}}}}$ この方程式のスケールの両辺は周期比を示しています。 なぜなら、この天秤の両側において、分子の係数は分母の係数とピタゴラスの補数関係にあるからです。 楕円ノームは、負の円数と実周期比を掛けた指数関数として定義されます。 そして、実周期比は、ピタゴラスの補数係数の K 積分を係数自体の K 積分で割った商として定義されます。 結果は次のようになります: ${\displaystyle q(\varepsilon )^{2}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K'(\varepsilon )}{K(\varepsilon )}}{\biggr ]}^{2}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})}{K(\varepsilon )}}{\biggr ]}^{2}=\exp {\biggl \{}-\pi {\biggl [}{\color {blue}2\,{\frac {K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})}{K(\varepsilon )}}}{\biggr ]}{\biggr \}}=}$ ${\displaystyle =\exp {\biggl \{}-\pi \,{\color {green}{\frac {K[2{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-1}]}{K[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}}}{\biggr \}}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}{K[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}}{\biggr \}}=q{\bigl [}\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}{\bigr ]}}$ デモストランダムだ！

ノーム平方定理の例

ランデン娘係数^{[11] [12]}は、母係数のピタゴラス反対の接線方向反対と同一である。

以下に3つの例を示します。

三角表示の例:

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )^{2}=q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}^{2}=q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{24}}\pi )^{2}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {5}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {7}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {13}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}}$

双曲線表示の例:

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {6}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {10}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {14}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}})^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}})^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

${\displaystyle \exp(-2{\sqrt {22}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )^{2}=}$

${\displaystyle =q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }}$

パラメータ化されたノームキューブ定理の導出

楕円名詞の平方法則だけでなく、立方法則も、基本的な係数変換を導きます。この楕円名詞の立方に関するパラメータ化された式は、-1 < u < 1 のすべての値に対して有効です。

${\displaystyle q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}$

この式はまさにこのように表示されましたが、今回は母係数の主アラインメントの式のすぐ後には表示されませんでした。これは、この式が長い定式を含んでいるためです。そして、今表示されているパラメータ を含む式では、大幅に簡略化された式が現れます。 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle u}$

この式は次の方程式の組み合わせになります。 ${\displaystyle (2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)F{\bigl [}\arctan(w);u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}=}$ ${\displaystyle =F{\bigl \{}\arctan(w)+2\arctan {\bigl [}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})\,w{\bigr ]};u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr \}}}$ この方程式の微分商がwに沿って均衡していることは、この式の正しさを裏付けています。なぜなら、方程式のスケールの両側において、wに沿った微分商は同じであり、スケールの両側の関数はwに関して座標原点を通るからです。 ${\displaystyle w}$ 次の式は前の式から直接導かれます。 ${\displaystyle (2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)K{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}=3K{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}}$ 置換を変更すると、次の式が生成されます。 ${\displaystyle K{\bigl [}{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}){\bigr ]}=(2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)K{\bigl [}{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}){\bigr ]}}$ 両方の式を組み合わせると、次の商方程式が得られます。 ${\displaystyle {\color {blue}3\,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}}={\color {green}{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}}}$ この方程式のスケールの両辺は周期比を示しています。 なぜなら、この天秤の両側において、分子の係数は分母の係数とピタゴラスの補数関係にあるからです。 楕円ノームは、負の円数と実周期比を掛けた指数関数として定義されます。 そして、実周期比は、ピタゴラスの補数係数の K 積分を係数自体の K 積分で割った商として定義されます。 結果は次のようになります: ${\displaystyle q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}{\biggr \}}^{3}=}$ ${\displaystyle =\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}{\biggr \}}^{3}=\exp {\biggl \langle }-\pi {\biggl \{}{\color {blue}3\,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=}$ ${\displaystyle =\exp {\biggl \{}-\pi \,{\color {green}{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}}{\biggr \}}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}{\biggr \}}=q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}}$ デモストランダムだ！

直接ノームキューブ定理の導出

今では免除されている証明に基づいて、係数とヤコビ振幅正弦との組み合わせに関するノーム立方定理の直接的な式が生成されます。 ${\displaystyle \varepsilon }$

ヨハンソンの『代数方程式の解析的解』およびバギスの『5 次楕円特異係数の評価』では、引用されている著作の中で、完全な第 1 種積分 K の 3 番目の部分のヤコビ振幅正弦が次の 4 次方程式を解くことが示されています。

${\displaystyle \varepsilon ^{2}x^{4}-2\varepsilon ^{2}x^{3}+2x-1=0}$

${\displaystyle x={\text{sn}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}}$

ここで、上記のパラメータ化を次の式に挿入します。

${\displaystyle \varepsilon =u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)}$

${\displaystyle u^{2}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)^{2}(x^{4}-2x^{3})+2x-1=0}$

これはその 4 次方程式のパターンの実際の解です。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle x={\frac {1}{{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1}}}$

したがって、次の式が有効です。

${\displaystyle {\text{sn}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}{\bigl [}\varepsilon =u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}={\frac {1}{{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1}}}$

パラメーター化されたノームキューブの式は、次の形式になります。

${\displaystyle q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}}$

同じ式を次のように設計することもできます。

${\displaystyle q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}=q{\bigl \{}{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}{\bigl (}{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1{\bigr )}^{-4}{\bigr \}}}$

したがって、この結果は直接的なノームキューブ定理として現れます。

${\displaystyle q(\varepsilon )^{3}=q{\bigl \{}\varepsilon ^{3}{\text{sn}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}$

ノームキューブ定理の例

あるいは、次の式を設定することもできます。

${\displaystyle q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}\,{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}$

ここで提示した式は、与えられた楕円係数を用いて簡単に値を求めることができるため、計算を簡略化するために用いられます。係数の接線倍を取り、その立方根を取ることで、パラメータ化値を直接得ることができます。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

例として、次の 2 つの例を取り上げます。

最初の例では、値が挿入されます。 ${\displaystyle t=1}$

${\displaystyle {\color {blue}\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )}=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )^{3}=q({\sqrt {2}}-1)^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=}$

${\displaystyle =q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}={\color {blue}q{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{3}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}{\bigr ]}}}$

2 番目の例では、次の値が挿入されます。 ${\displaystyle t=\Phi ^{-2}={\tfrac {1}{2}}(3-{\sqrt {5}})}$

${\displaystyle {\color {blue}\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi )}=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )^{3}=q{\bigl [}({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=}$

${\displaystyle =q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=}$

${\displaystyle ={\color {blue}q{\bigl \{}({\sqrt {10}}-3)^{3}({\sqrt {2}}-1)^{6}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}}$

この定数は黄金比の数を正確に表しています。実際、ノームの立方根の公式は、正則な4次方程式の解を含むため、実際には基本立方根を含む係数変換を含んでいます。しかし、楕円ノームの5乗と7乗の法則は、基本ノーム変換ではなく、非基本変換につながります。これは、アーベル・ルフィニの定理^{[13] [14] [15]}とガロア理論^[16]によって証明されています。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

ヤコビ振幅関数を用いた指数定理

正の代数的数を底とし、正の有理数を指数とするノームのすべての累乗は、正の代数的数のノーム値に等しい。

${\displaystyle q(\varepsilon _{1}\in \mathbb {A} ^{+})^{w\in \mathbb {Q^{+}} }=q(\varepsilon _{2}\in \mathbb {A} ^{+})}$

これらは一般指数定理の最も重要な例です。

${\displaystyle q(\varepsilon )^{2}=q\{\varepsilon ^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}=q[\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{3}=q\{\varepsilon ^{3}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{4}=q\{\varepsilon ^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{4}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{4}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}=q[(1-{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}})^{2}(1+{\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}]}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{5}=q\{\varepsilon ^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{6}=q\{\varepsilon ^{6}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{6}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{6}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{7}=q\{\varepsilon ^{7}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{8}=q\{\varepsilon ^{8}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {7}{8}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{9}=q\{\varepsilon ^{9}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{9}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{9}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {7}{9}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

この略語は、ヤコビの楕円関数の振幅正弦を表します。 ${\displaystyle \operatorname {sn} }$

実数区間の代数値の場合、表示される振幅正弦式は常に代数的になります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

一般的な指数定理は次のとおりです。

${\displaystyle q(\varepsilon )^{2n}=q{\biggl \{}\varepsilon ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2k-1}{2n}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{4}{\biggr \}}}$

${\displaystyle q(\varepsilon )^{2n+1}=q{\biggl \{}\varepsilon ^{2n+1}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2k-1}{2n+1}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{4}{\biggr \}}}$

その定理はすべての自然数nに対して有効です  。

重要な計算の手がかり:

次のヤコビ振幅正弦式は、後続の方程式を解きます。

Kの3分の1: ${\displaystyle x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}$方程式を解く[17] ${\displaystyle k^{2}x^{4}-2k^{2}x^{3}+2x-1=0}$	Kの5分の1: ${\displaystyle x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]}$方程式を解く[18] [19] ${\displaystyle k^{6}x^{6}-4k^{6}x^{5}+5k^{4}x^{4}-5k^{2}x^{2}+4x-1=0}$
Kの7分の1: ${\displaystyle x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{7}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{7}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {5}{7}}K(k);k]}$方程式を解く ${\displaystyle k^{12}x^{8}-8k^{12}x^{7}+28k^{10}x^{6}-56k^{8}x^{5}+70k^{6}x^{4}-56k^{4}x^{3}+28k^{2}x^{2}-8x+1=0}$und ${\displaystyle (1-k^{2}x)^{8}=(1-k^{2})(1-k^{14}x^{8})}$
Kの11分の1: ${\displaystyle x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {5}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {7}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {9}{11}}K(k);k]}$方程式を解く ${\displaystyle k^{30}x^{12}+(-32k^{30}+22k^{28})x^{11}+44k^{26}x^{10}-(88k^{24}+22k^{22})x^{9}+165k^{20}x^{8}-132k^{18}x^{7}+(-44k^{16}+44k^{14})x^{6}+}$ ${\displaystyle +132k^{12}x^{5}-165k^{10}x^{4}+(22k^{8}+88k^{6})x^{3}-44k^{4}x^{2}+(-22k^{2}+32)x-1=0}$

指数定理の例

これらのノームべき定理について重要な例を定式化します。

5 乗定理は次のようになります。

${\displaystyle q(\varepsilon )^{5}=q\{\varepsilon ^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}}$

5乗定理のレムニスカティック例:

${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}x^{6}-{\tfrac {1}{2}}x^{5}+{\tfrac {5}{4}}x^{4}-{\tfrac {5}{2}}x^{2}+4x-1=0}$ ${\displaystyle x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k](k={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)}$ ${\displaystyle {\color {blue}\exp(-5\pi )}=\exp(-\pi )^{5}=q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{5}=q\{\varepsilon ^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}(\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=}$ ${\displaystyle =q{\bigl \{}{\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}={\color {blue}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}})(3-2{\sqrt[{4}]{5}}){\bigr ]}}}$

5 乗定理の次の例:

${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)^{6}x^{6}-4({\sqrt {2}}-1)^{6}x^{5}+5({\sqrt {2}}-1)^{4}x^{4}-5({\sqrt {2}}-1)^{2}x^{2}+4x-1=0}$ ${\displaystyle x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k](k={\sqrt {2}}-1)=({\sqrt {2}}+1)\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}-{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr ]}}$ ${\displaystyle {\color {blue}\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )}=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )^{5}=q({\sqrt {2}}-1)^{5}=}$ ${\displaystyle =q\{\varepsilon ^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon ]^{4}\}(\varepsilon ={\sqrt {2}}-1)=}$ ${\displaystyle =q{\biggl \langle }({\sqrt {2}}-1)^{5}{\bigl \{}({\sqrt {2}}+1)\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}-{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr ]}{\bigr \}}^{4}{\biggr \rangle }=}$ ${\displaystyle ={\color {blue}q{\bigl \{}({\sqrt {2}}-1)\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}-{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}}$

反射定理

2 つの正の数とが互いにピタゴラスの反対数であり、したがって方程式が有効である場合、この関係は有効です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$

${\displaystyle \ln[\operatorname {q} (a)]\ln[\operatorname {q} (b)]=\pi ^{2}}$

2 つの正の数とが互いに正反対の接線上にあるため方程式が有効である場合、その関係は有効です。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (c+1)(d+1)=2}$

${\displaystyle \ln[\operatorname {q} (c)]\ln[\operatorname {q} (d)]=2\pi ^{2}}$

したがって、これらの表現はすべての実数xに対して有効です。

ピタゴラスの反対:

${\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}}$

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}}$

接線方向の反対:

${\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}}$

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}+x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}-x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}+x{\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}}$

ノーム値の導出

前述の定理の直接的な結果

名詞を決定するには、次の例を使用する必要があります。

例 1: ピタゴラス定理の公式は次のとおりです。

${\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}}$

x = 0 の場合、この式は次の式になります。

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{4}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=\pi ^{2}}$

${\displaystyle q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{4}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-\pi )}$

例2:

接線方向の対応する式は次のとおりです。

${\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}}$

x = 0 の場合、接線方向の対応する式は次のようになります。

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=2\pi ^{2}}$

${\displaystyle q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )}$

2つの定理の組み合わせ

例1:等調和関数の場合

ピタゴラスの定理の式が再び使用されます。

${\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}}$

の場合、この式は次の式から得られます。 ${\displaystyle x={\sqrt {3}}}$

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}}$

前のセクションでこの定理は述べられました:

${\displaystyle q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}$

この立方定理から、 については次の式が得られます。 ${\displaystyle u=1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}}$

2 つの未知数を持つ連立方程式の解は次のようになります。

${\displaystyle q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )}$

例2: 立方体の公式を使ったさらなるケース

接線方向の対応する式が再び使用されます。

${\displaystyle \ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}}$

この式の結果は次のようになります。 ${\displaystyle x={\sqrt {8}}}$

${\displaystyle \ln {\bigl \{}q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}}$

ここでも三乗定理が使われます。

${\displaystyle q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}$

前述の立方定理から、 については次の式が得られます。 ${\displaystyle u=({\sqrt {3}}-1)/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}$

2 つの未知数を持つ連立方程式の解は次のようになります。

${\displaystyle q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )}$

${\displaystyle q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )}$

不完全積分に関する調査

第一種不完全楕円積分を用いると、楕円名詞関数の値を直接導くことができます。

2 つの正確な例を使用して、これらの直接的な導出を次のように実行します。

最初の例:

${\displaystyle F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {x^{3}+{\sqrt {3}}\,x}{{\sqrt {3}}\,x^{2}+1}}{\biggr )};{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\biggr ]}={\sqrt {3}}\,F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\biggr ]}}$ この式の正しさは、方程式の両辺の変数の後の微分商を計算することによって証明できます。 ${\displaystyle x}$ この値を使用すると次の結果が得られます。 ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\sqrt {3}}\,K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}$ 次の 2 つの結果が得られます。 ${\displaystyle q{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp {\bigl (}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi {\bigr )}}$

2番目の例:

${\displaystyle F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {x^{5}+2{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1/2}\,x^{3}+{\sqrt {5}}\,x}{{\sqrt {5}}\,x^{4}+2{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1/2}\,x^{2}+1}}{\biggr )};{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\biggr ]}={\sqrt {5}}\,F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\biggr ]}}$ この式の正しさは、方程式の両辺を微分することによって証明できます。 ${\displaystyle K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}={\sqrt {5}}\,K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}}$ 次の 2 つの結果が得られます。 ${\displaystyle q{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}=\exp {\bigl (}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi {\bigr )}}$

3番目の例:

${\displaystyle F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {x^{5}+2\,{\sqrt {7}}\,x^{5}+7x^{3}+{\sqrt {7}}\,x}{{\sqrt {7}}\,x^{6}+7x^{4}+2\,{\sqrt {7}}\,x^{2}+1}}{\biggr )};{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\biggr ]}={\sqrt {7}}\,F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\biggr ]}}$ この式の正しさは、方程式の両辺を微分することによって証明できます。 この値を使用すると次の結果が得られます。 ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}={\sqrt {7}}\,K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}}$ 次の 2 つの結果が得られます。 ${\displaystyle q{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )}$ ${\displaystyle q{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp {\bigl (}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi {\bigr )}}$

シータ関数の1階微分

導関数の導出

ヤコビシータ関数のうち主シータ関数の1次導関数は、連鎖律と楕円ノームの導出式を用いて次のように導出できる。

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )^{2}}}\,q(\varepsilon )\,{\biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}{\biggr \}}={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,q(\varepsilon ){\biggr ]}{\biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}{\biggr \}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,K(\varepsilon ){\biggr ]}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}\,{\frac {E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}}$

今述べた導出部分では、この恒等式が基礎となります。

${\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$

したがって、この式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon )^{3/2}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

第二種の完全楕円積分は次の恒等式を持つ。

${\displaystyle (1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)=E(\varepsilon )+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )}$

このモジュラーアイデンティティとともに、次の式変換を行うことができます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon )^{3/2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\left[E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )\right]}$

さらに、このアイデンティティは有効です。

${\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$

シータ関数式ϑ ₀₀ (x)とϑ ₀₁ (x)を使用すると、次の表現が可能です。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {1}{2\pi }}\,q(\varepsilon )^{-1}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]{\bigl \{}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}{\bigr \}}{\biggl \langle }E{\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}-\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}{\biggr \}}-{\frac {\pi }{2}}\,\vartheta _{01}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\biggr \rangle }}$

これが最終結果です:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=\vartheta _{00}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}$

関連する一次導関数

同様の方法で、シータ関数の他の1次導関数とその組み合わせも導くことができます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{01}(x)=\vartheta _{01}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{10}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}{\biggr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{00}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{00}(x)^{5}-\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{00}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{00}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}}$

重要な定義:

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}}$

${\displaystyle \bigtriangleup \!(n)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$

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