因果関係システム

制御理論において、因果システム（物理システムまたは非予測システムとも呼ばれる）とは、出力が過去と現在の入力に依存し、将来の入力には依存しないシステムです。つまり、出力はの値の入力のみに依存します。 $y(t_{0})$ $x(t)$ $t\leq t_{0}$

関数の出力が、ある時点において過去と現在の入力値のみに依存するという考え方は、一般的に因果性と呼ばれる特性によって定義されます。過去または現在の入力値への依存に加えて、将来の入力値にもある程度依存するシステムは、非因果的または非因果的システムと呼ばれ、将来の入力値のみに依存するシステムは反因果的システムと呼ばれます。なお、一部の著者は反因果的システムを、将来と現在の入力値のみに依存するシステム、あるいはより簡潔に言えば、過去の入力値に依存しないシステムと定義しています。 ^[1]

古典的には、自然あるいは物理的現実は因果関係のあるシステムであると考えられてきました。特殊相対性理論や一般相対性理論を含む物理学では、因果関係のより慎重な定義が必要であり、これは「因果関係（物理学）」で詳しく述べられています。

システムの因果性はデジタル信号処理においても重要な役割を果たします。デジタル信号処理では、フィルタは因果性を持つように構築されます。場合によっては、因果性のない定式を変更して因果性の欠如を解消し、実現可能にすることもあります。詳細については、因果フィルタを参照してください。

因果的システムの場合、システムのインパルス応答は、出力を決定するために入力の現在値と過去の値のみを使用する必要があります。この要件は、線形性に関わらず、システムが因果的であるための必要十分条件です。同様の規則は、離散的ケースと連続的ケースのどちらにも適用されることに注意してください。将来の入力値を必要としないというこの定義によれば、システムはリアルタイムで信号を処理するためには因果的である必要があります。^[2]

数学的な定義

定義1:をに写像するシステムが因果関係にある場合、およびの任意の選択において、の任意の入力信号ペアに対して、 $x$ $y$ $x_{1}(t)$ $x_{2}(t)$ $t_{0}$

x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},

対応する出力は

y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.

定義2：は定数係数の線形微分方程式で記述される任意のシステムのインパルス応答であるとする。このシステムが因果的であるのは、 $h(t)$ $H$ $H$

h(t)=0,\quad \forall \t<0

そうでなければ因果関係はありません。

例

次の例は、入力と出力を持つシステムの場合です。 $x$ $y$

因果システムの例

記憶のないシステム

y\left(t\right)=x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)

メモリ対応システム

y\left(t\right)=x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)-x\left(t-\tau \right)

自己回帰フィルタ

y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau

非因果的（非因果的）システムの例

y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau

中心移動平均

y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}

反因果システムの例

y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau

先読み

y_{n}=x_{n+1}

因果関係システムの追加例

線形時不変（LTI）システム

y(t)=\int _{-\infty}^{t}x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau

移動平均フィルター

y[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}x[nk]

非因果的（非因果的）システムの追加例

スムージングフィルター

y(t)={\frac {1}{T}}\int _{tT/2}^{t+T/2}x(\tau )\,d\tau

理想的なローパスフィルタ

y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\mathrm {sinc} (t-\tau )\,d\tau

反因果システムの追加例

将来の入力依存

y(t)=\int _{t}^{\infty }x(\tau )\,d\tau

参照

参考文献

^ Karimi, K.; Hamilton, HJ (2011). 「時間的決定ルールの生成と解釈」.国際コンピュータ情報システムおよび産業管理アプリケーションジャーナル. 3. arXiv : 1004.3334 .
^ McClellan, James H.; Schafer, Ronald W.; Yoder, Mark A. (2015). DSP 第1版、第2版. Pearson Education. p. 151. ISBN 978-0136019251。

オッペンハイム、アラン・V.; ウィルスキー、アラン・S.; ナワブ、ハミド (1998). 『信号とシステム』ピアソン・エデュケーション. ISBN 0-13-814757-4。

[1] Karimi, K.; Hamilton, HJ (2011). 「時間的決定ルールの生成と解釈」.国際コンピュータ情報システムおよび産業管理アプリケーションジャーナル. 3. arXiv : 1004.3334 .

[2] McClellan, James H.; Schafer, Ronald W.; Yoder, Mark A. (2015). DSP 第1版、第2版. Pearson Education. p. 151. ISBN 978-0136019251。