非全性

数論において、非トーティエント数（nontotient number）とは、トーティエント数ではない正の整数nのことである。つまり、オイラーのトーティエント関数φの像に含まれず、方程式 φ( x ) = nの解xを持たない数である。言い換えれば、整数 x の下に互いに素なn個だけを持つ整数xが存在しないとき、 nは非トーティエント数である。奇数はすべて非トーティエント数であるが、1は x = 1 とx = 2という解を持つ。最初のいくつかの非トーティエント偶数は、以下の数列である。

14、26、34、38、50、62、68、74、76、86、90、94、98、114、118、122、124、134、142、146、152、154、158、170、174、182、186、188、194、202、206、214、218、230、234、236、242、244、246、248、254、258、266、274、278、284、286、290、298、… （OEISの配列 A005277 ）

kのトーティエントがnとなるようなkの最小値(そのようなk が存在しない場合は 0) は次のシーケンスになります。

1、3、0、5、0、7、0、15、0、11、0、13、0、0、0、17、0、19、0、25、0、23、0、35、0、0、0、29、0、31、0、51、0、0、0、37、0、0、0、41、0、43、0、69、0、47、0、65、0、0、0、53、0、81、0、87、0、59、0、61、0、0、0、85、0、67、0、0、0、71、0、73、... （ OEISの配列A049283）

kのトーティエントがnとなるようなkの最大値は次のシーケンスになります(そのようなk が存在しない場合は 0 になります)。

2, 6, 0, 12, 0, 18, 0, 30, 0, 22, 0, 42, 0, 0, 0, 60, 0, 54, 0, 66, 0, 46, 0, 90, 0, 0, 0, 58, 0, 62, 0, 120, 0, 0, 0, 126, 0, 0, 0, 150, 0, 98, 0, 138, 0, 94, 0, 210, 0, 0, 0, 106, 0, 162, 0, 174, 0, 118, 0, 198, 0, 0, 0, 240, 0, 134, 0, 0, 0、142、0、270、…（OEISの配列A057635）

φ( k ) = nとなるkの数は（ n = 0から始まる）次の数列である。

0、2、3、0、4、0、4、0、5、0、2、0、6、0、0、0、6、0、4、0、5、0、2、0、10、0、0、0、2、0、2、0、7、0、0、0、8、0、0、0、9、0、4、0、3、0、2、0、11、0、0、0、2、0、2、0、3、0、2、0、9、0、0、0、8、0、2、0、0、0、2、0、17、...（OEISのシーケンスA014197）

カーマイケルの予想によれば、この数列には1は存在しない。

偶数非トーティエントは素数より1大きいことはあるが、1小さいことはあり得ない。なぜなら、素数より小さい数はすべて、定義により素数と互いに素だからである。代数的に言えば、pが素数の場合、φ( p ) = p − 1となる。また、プロニック数 n ( n −1)は、 nが素数の場合^、 φ( p2 ) = p ( p −1)となるので、非トーティエントではない。

自然数nがトーティエントである場合、n · 2 ^kはすべての自然数kに対してトーティエントです。

偶数の非トーティエント数は無限に存在します。実際、 2 ^a pの形式で表される数はすべて非トーティエントであり、すべての奇数には非トーティエントである偶数の倍数が存在するような、異なる素数 p (78557 や 271129 など、シェルピンスキー数を参照) も無限に存在します。

n	φ( k ) = nとなる数k	n	φ( k ) = nとなる数k	n	φ( k ) = nとなる数k	n	φ( k ) = nとなる数k
1	1、2	37		73		109
2	3、4、6	38		74		110	121、242
3		39		75		111
4	5、8、10、12	40	41、55、75、82、88、100、110、132、150	76		112	113、145、226、232、290、348
5		41		77		113
6	7、9、14、18	42	43、49、86、98	78	79, 158	114
7		43		79		115
8	15、16、20、24、30	44	69、92、138	80	123、164、165、176、200、220、246、264、300、330	116	177、236、354
9		45		81		117
10	11、22	46	47、94	82	83, 166	118
11		47		83		119
12	13、21、26、28、36、42	48	65、104、105、112、130、140、144、156、168、180、210	84	129、147、172、196、258、294	120	143、155、175、183、225、231、244、248、286、308、310、350、366、372、396、450、462
13		49		85		121
14		50		86		122
15		51		87		123
16	17、32、34、40、48、60	52	53, 106	88	89、115、178、184、230、276	124
17		53		89		125
18	19、27、38、54	54	81、162	90		126	127, 254
19		55		91		127
20	25、33、44、50、66	56	87、116、174	92	141、188、282	128	255、256、272、320、340、384、408、480、510
21		57		93		129
22	23、46	58	59、118	94		130	131、262
23		59		95		131
24	35、39、45、52、56、70、72、78、84、90	60	61、77、93、99、122、124、154、186、198	96	97、119、153、194、195、208、224、238、260、280、288、306、312、336、360、390、420	132	161、201、207、268、322、402、414
25		61		97		133
26		62		98		134
27		63		99		135
28	29、58	64	85、128、136、160、170、192、204、240	100	101、125、202、250	136	137, 274
29		65		101		137
30	31、62	66	67、134	102	103, 206	138	139, 278
31		67		103		139
32	51、64、68、80、96、102、120	68		104	159、212、318	140	213、284、426
33		69		105		141
34		70	71、142	106	107、214	142
35		71		107		143
36	37、57、63、74、76、108、114、126	72	73、91、95、111、117、135、146、148、152、182、190、216、222、228、234、252、270	108	109、133、171、189、218、266、324、342、378	144	185、219、273、285、292、296、304、315、364、370、380、432、438、444、456、468、504、540、546、570、630

参考文献

ガイ、リチャード・K. (2004).数論における未解決問題. 数学の問題集. ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. p. 139. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001。
L. Havelock、「PlanetMathのトーティエント価とコトティエント価に関するいくつかの考察」
サンダー、ジョゼフ。クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。 p. 230.ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001。
張明志 (1993). 「非トーティエントについて」.数論ジャーナル. 43 (2): 168– 172. doi : 10.1006/jnth.1993.1014 . ISSN 0022-314X. Zbl 0772.11001.