法線交差特異点

代数幾何学において、法交差特異点は局所的には座標超平面の和集合のように見える。この概念には、法交差を持つ因子と単純法交差を持つ因子の2つのバリエーションがある。これらは最も単純な種類の特異点と考えることができる。特異点の解決に関するいくつかの定理は、任意の多様体と、滑らかな多様体における単純法交差を持つ因子とを関連付けている。

単純な正規交差を持つ因子

X を完全体k上の代数多様体とする（同じ定義は複素多様体Xにも適用される）。DをXの閉部分多様体（既約と理解される）の有限集合とし、形式的には和と表記する。目的によっては、D をXの閉部分集合と同一視してもよい。このとき、DがXにおいて単純正規交差を持つ因子（またはsnc 因子）である場合、 $D=\sum _{j=1}^{r}D_{j}$ $\cup_{j}D_{j}$

Xはk上で滑らかであり、
それぞれは滑らかで、Xの余次元は1であり、 $D_{j}$
多様体はXにおいて横断的に交差する。つまり、多様体のs上にある点pにおいて、 pにおけるそれらの接空間の交差は、pにおけるXの接空間において余次元sを持つ。 $D_{j}$ $D_{j}$ $D_{j}$

横断性条件はいくつかの方法で言い換えることができる。複素数上では、部分多様体のs上にある複素点p 、例えばにおいて、 pをの原点とし、をの座標超平面とする複素解析座標チャートがpの周りに存在する、という表現と同値である。^[1]スキームの言語では、横断性とは、の任意のsのスキーム理論的交差が、 Xにおいて余次元sの滑らか（または空）であることを意味する。^[2] $D_{1},\ldots,D_{s}$ $\mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n}):z_{j}\in \mathbb {C} {\text{各}}jについて\}$ $D_{j}$ $\{z_{j}=0\}$ $j=1,\ldots ,s$ $D_{j}$

完全体上の多様体の設定の外側では、次のより一般的な定義が使用される。Xを整閉部分スキームの形式的な和であるスキームとする。Xの各点pに対して、をpにおけるXの局所環（ p の近くの正則関数の環）とし、最大イデアル（ pで消える関数）と留数体とする。関数が-ベクトル空間の基底に写像される場合、pにおける局所座標を形成するとしよう。すると、 X が正則で、 Xの各点pに対して、 pを含む各 p が何らかのに対してpの近くの閉部分スキームに等しい場合、DはXにおける単純な正規交差を持つ因子となる。^[3] $D=\sum _{j}D_{j}$ $O_{X,p}$ ${\mathfrak {m}}$ $k(p)$ $z_{1},\ldots ,z_{n}$ ${\mathfrak {m}}$ $k(p)$ ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ $z_{1},\ldots ,z_{n}$ $D_{j}$ $\{z_{i(j)}=0\}$ $i(j)$

より一般的な概念として、整数係数を持つ余次元1の部分多様体の形式的な和である因子があります。因子DがXに単純正規交差を持つとは、対応する「被約」因子がXに単純正規交差を持つことを意味します。^[3] $D=\sum _{j=1}^{r}a_{j}D_{j}$ $\sum _{j=1}^{r}D_{j}$

特異点の解決

単純正規交差を持つ因子は非常に特殊だが、その概念は、特異点の解決に関する広中平輔の定理を使って任意の多様体を調べるのに使える。一つの結果は、X を特性ゼロの体上の多様体とし、S をXの特異点位置を含みX全体ではないザリスキ閉部分集合とする。( Sが特異点位置と等しい場合は既に重要である。) このとき、滑らかな多様体YからXへの適切な双有理射fが存在し、fはX – S上の同型であり、Sの逆像はYにおける単純正規交差を持つ因子となる。^[4]これは最適な記述である。例えば、 Sの逆像を常に滑らかにできるわけではない。

アレクサンダー・グロタンディークは、同じことが（滑らかな多様体ではなく正則スキームに関して）任意の体上の代数多様体に対しても成り立つはずであり、さらに一般的には準優れたスキームに対しても成り立つはずだと予想しました。

通常の交差を持つ除数

より一般的には、X が正則であり、 Xのすべての点pに対して、像にpを伴うエタール射が存在し、Dの逆像がにおける単純正規交差を持つ因子である場合、 XはスキームX において正規交差を持つ因子である。^[3]X が完全体k上の多様体である場合、 DのXへの包含がアフィン空間の座標超平面の和にエタール局所同型であると言うことと同値である。正規交差を持つ因子が単純正規交差を持つのは、 Dの各既約成分が正則である場合に限る。 $D=\sum _{j}D_{j}$ $X'\to X$ $X'$ $A_{k}^{n}$

例

体上のアフィン平面の閉部分集合を因子として見ると、単純な法線交差を持つ。これは2つの座標軸の和集合である。 $\{xy=0\}$ $A^{2}$
節点3次曲線は、アフィン平面において法線交差を持つ因子ですが、単純法線交差を持ちません。（単純法線交差は、Dの各既約成分が正則であることを意味しますが、この場合、Dは既約かつ特異です。） $D=\{y^{2}=x^{2}(x+1)\}$
アフィン平面上の尖点 3 次曲線には法線交差がありません。 $D=\{y^{2}=x^{3}\}$
アフィン平面上の因子、例えば上の因子には、通常の交差はありません。（2つの既約成分は滑らかですが、横方向には交わりません。） $\{(y+x^{2})(yx^{2})=0\}$ $\mathbb {C}$
アフィン平面上の因子には、通常の交差はありません。（3つの既約成分はそれぞれ滑らかで、そのうちの2つは横断的に交差しますが、3つを合わせると横断的ではありません。横断性は、n次元多様体におけるn個を超える成分の交差が空であることを意味します。） $\{yx(yx)=0\}$

通常の交差スキーム

スキームYがsncである、あるいは単純正規交差を持つとは、すべての点が、ある正則スキームにおける単純正規交差を持つ因子（縮約された閉部分スキームとして見た場合）と同型なザリスキ開近傍を持つことを意味する。したがって、 Yは（大域的に）正則スキームの閉部分スキームとして与えられる必要はない。^[5]同様に、スキームYが正規交差を持つとは、すべての点が、ある正則スキームにおける単純正規交差を持つ因子と同型なエタール近傍を持つことを意味する。例えば、安定曲線は次元1の正規交差スキームである。 $Y'\to Y$ $Y'$

注記

^ Lazarsfeld（2004）、定義4.1.1。
^ Stacks プロジェクト、タグ 0BIA。
^ abc Kollár (2013)、定義 1.7。
^ Kollár (2007)、定理 3.26 および 3.27。
^ Kollár (2013)、定義 1.8。

参考文献

Kollár、János (2007)、Lectures on Resolution of Singularities、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-12923-5、MR 2289519
Kollár、János (2013)、Singularities of the Minimal Model Program、Cambridge University Press、doi :10.1017/CBO9781139547895、ISBN 978-1-107-03534-8、MR 3057950
ラザースフェルド、ロバート（2004）、代数幾何学における正値性（全2巻）、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007 / 978-3-642-18808-4、ISBN 3-540-22533-1、MR 2095471

外部リンク

スタックス・プロジェクトの著者、スタックス・プロジェクト

[1] Lazarsfeld（2004）、定義4.1.1。

[2] Stacks プロジェクト、タグ 0BIA。

[kollar17-3] Kollár (2013)、定義 1.7。

[4] Kollár (2007)、定理 3.26 および 3.27。

[5] Kollár (2013)、定義 1.8。