サブグループシリーズ

数学、特に群論において、群の部分群級数は部分群の連鎖である。 $G$

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G

ここでは自明な部分群である。部分群級数は、群の研究をより単純な部分群とその関係の研究に簡略化することができる。また、いくつかの部分群級数は不変的に定義することができ、群の重要な不変量である。部分群級数は部分群法で用いられる。 $1$

部分群級数は、抽象代数におけるフィルタリングの使用の特殊な例です。

意味

正常系、非正常系

群Gの非正規級数（正規級数、正規タワー、非不変級数、あるいは単に級数とも呼ばれる）は、それぞれが次の正規部分群である部分群の列である。標準的な記法では、

1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G.

A _{i が}Gの正規部分群である必要はなく、 A _{i +1}の正規部分群であるだけでよい。商群 A _{i +1} / A _iは、この級数の因数群と呼ばれる。

さらに各A _iがGにおいて正規級数である場合、この用語がより弱い意味で使用されていない場合、級数は正規級数と呼ばれ、または不変級数と呼ばれます。

長さ

任意のiに対してA _i ≠ A _{i +1}という追加の性質を持つ級数は、重複のない級数と呼ばれる。これは、各A _iがA _i₊₁の真部分群であることと同義である。級数の長さは、 A _i < A _i₊₁となる厳密包含の数である。級数に重複がない場合、長さはnである。

非正規級数の場合、長さは非自明な因数群の数です。すべての非自明群には長さ1の正規級数、すなわちが存在します。また、任意の非自明な真正規部分群は長さ2の正規級数を与えます。単純群の場合、長さ1の自明級数は、考え得る最長の非正規級数です。 $1\triangleleft G$

昇順シリーズ、降順シリーズ

シリーズは昇順で表記できます。

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G

または降順:

G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq B_{n}=1.

与えられた有限級数においては、表記法以外に「昇順級数」と「降順級数」の区別はありません。しかし、無限級数においては区別があります。昇順級数とは、

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G

最小の項、２番目に小さい項などがあるが、最大の固有項や２番目に大きい項などはない。一方、下降系列では

G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq 1

最大項はありますが、最小の固有項はありません。

さらに、級数を生成するための再帰式が与えられた場合、生成される項は昇順または降順のいずれかとなり、結果として得られる級数をそれぞれ昇順級数または降順級数と呼ぶ。例えば、導出級数と下中央級数は降順級数であるのに対し、上中央級数は昇順級数である。

ネーター群、アルティン群

部分群の昇順連鎖条件（ACC）を満たす群はネーター群と呼ばれ、降順連鎖条件（DCC）を満たす群はネーター環やアルティン環との類推によりアルティン群（アルティン群と混同しないこと）と呼ばれる。ACCは最大条件に相当し、空でない部分群の集合はすべて最大元を持つ。DCCは同様の最小条件に相当する。

群は、無限巡回群のように、ノイザン群でありながらアルティニアン群ではない場合があります。また、環とは異なり、プリューファー群のように、群はノイザン群でありながらアルティニアン群ではない場合があります。すべての有限群は明らかにノイザン群かつアルティニアン群です。

ネーター群の準同型像と部分群はネーター群であり、ネーター群によるネーター群の拡大もネーター群である。アルティン群についても同様の結果が得られる。

ネーター群は、すべての部分群が有限生成である群と同値であり、これは群自体が有限生成であるよりも強い。つまり、 2 個以上の有限個生成元を持つ自由群は有限生成だが、無限階数の自由群を含む。

ネーター群は多環群の有限拡大である必要はない。^[1]

無限級数と超限級数

無限部分群級数も定義され、自然に生じる。その場合、特定の（全順序付けされた）添字集合が重要となり、昇順級数と降順級数が区別される。自然数で添字付けされた昇順級数は単に無限昇順級数と呼ばれ、逆に無限降順級数は無限昇順級数と呼ばれる。部分群がより一般的に順序数で添字付けされる場合、超限級数が得られる。 ^[2]例えば、次の昇順級数は次のようになる。 $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ $A_{i}$

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{\omega }\leq A_{\omega +1}=G

級数を生成する再帰式が与えられた場合、（昇順級数の場合）または（降順級数の場合）で極限順序数における級数を定義することにより、超限再帰によって超限級数を定義することができます。この構成の基本的な例としては、超限下中心級数と上中心級数があります。 $A_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }$ $A_{\lambda }:=\bigcap _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }$

他の全順序集合は、部分群級数の添字集合として現れることはほとんどない。^{[要出典]たとえば、自然に発生する双無限部分群級数（}整数で添字付けされた級数）を定義することはできるが、めったに見られない。

1\leq \cdots \leq A_{-1}\leq A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G

シリーズの比較

級数の細分化とは、元の級数のそれぞれの項を含む別の級数である。2つの非正規級数は、それらの因数群の集合間に一対一の関係があり、対応する因数群が同型である場合、同値または同型であると言われる。細分化により、級数には同値性を除き半順序が与えられ、それらは格子を形成する。一方、非正規級数と正規級数は部分格子を形成する。2つの非正規級数の上限値の存在は、シュライアーの細分化定理である。特に興味深いのは、繰り返しのない極大級数である。

例

最大シリーズ

合成級数は最大非正規級数です。

同様に、 A _iのそれぞれがA _i_+1の最大正規部分群となるような非正規級数。同様に、合成級数とは、因子群のそれぞれが単純であるような非正規級数である。

主級数は最大正規級数です。

解ける冪零

可解群、または可溶群とは、その因数群がすべてアーベルである非正規級数を持つ群です。
べき等級数とは、連続する商がべき等であるような非正規級数です。

群が解ける場合のみ、冪零級数が存在する。

中心級数とは、連続する商が中心となるような非正規級数です。つまり、上記の級数が与えられた場合、となります。 $A_{i+1}/A_{i}\subseteq Z(G/A_{i})$ $i=0,1,\ldots ,n-2$

中心級数が存在するのは、群が冪零である場合のみです。

機能シリーズ

いくつかの部分群級数は、中心などの部分群や交換子などの演算を用いて関数的に定義されます。これには以下のものが含まれます。

p-シリーズ

シロー部分群などの考え方に関連する、素数冪順序または素数冪指数の部分群から生じる級数があります。

サブグループ法

部分群法は、群論という数学の分野で用いられるアルゴリズムです。元の語を求めるために用いられます。必ずしも最小の語を返すわけではありませんが、用いられる部分群の系列に基づいて最適な語を返すことができます。コードは以下のようになります。

関数operate(要素,ジェネレータ) <要素に対して操作されたジェネレーターを返します>関数サブグループ(g) シーケンス := (メソッドに応じて使用されるサブグループのセット) 単語 := [] シーケンス内のサブグループ coset_representatives := [] <coset_representatives を (次のサブグループ)/サブグループの剰余類代表で埋める> coset_representativesにおける演算 の場合、 operate (g, operation)が次のサブグループにある場合、 単語への追加操作 g =操作(g, 操作) 中断 戻り語

参考文献

^ Ol'shanskii, A. Yu. (1979). 「巡回部分群を持つ無限群」.ソビエト数学. Dokl . 20 : 343–346 .( Dokl. Akad. Nauk SSSR , 245 , 785–787の英語訳)
^ Sharipov, RA (2009). 「群の超限正規級数と合成級数」. arXiv : 0908.2257 [math.GR].

[1] Ol'shanskii, A. Yu. (1979). 「巡回部分群を持つ無限群」.ソビエト数学. Dokl . 20 : 343–346 .( Dokl. Akad. Nauk SSSR , 245 , 785–787の英語訳)

[2] Sharipov, RA (2009). 「群の超限正規級数と合成級数」. arXiv : 0908.2257 [math.GR].