一般相対性理論 において 、 合同性 （より正確には 曲線の合同性）とは、 時空 のモデルとして物理的に解釈される 4次元 ローレンツ多様 体における（どこにも消滅しない） ベクトル場の 積分曲線 の集合である。この多様体は、しばしば アインシュタイン場の方程式の 厳密 解または近似解 として扱われる 。
合同の種類 どこにも消えない時間的、ヌル、または空間的ベクトル場によって生成される合同は、それぞれ時間的 、 ヌル 、または 空間的 と呼ばれます 。
共変微分 がゼロとなる 接ベクトル場 を許容する場合、 その 合同は 測地線 合同 と呼ばれます。 X → {\displaystyle {\vec {X}}} ∇ X → X → = 0 {\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}=0}
ベクトル場との関係 ベクトル場の積分曲線は、 時空を満たす、 交わらないパラメータ化された曲線の族である。合同性は、特定のパラメータ化を参照することなく、曲線自体から構成される。多くの異なるベクトル場から、 同じ 曲線の合同性が生じる可能性がある。なぜなら 、 がどこにも消えないスカラー関数である場合、 と は 同じ 合同性が生じるからである。 f {\displaystyle f} X → {\displaystyle {\vec {X}}} Y → = f X → {\displaystyle {\vec {Y}}=\,f\,{\vec {X}}}
しかし、ローレンツ多様体においては 計量テンソル が存在し、これは与えられた時間的または空間的ベクトル場、すなわち曲線の 接ベクトル 場にどこでも平行なベクトル場の中から、優先ベクトル場を選び出す。これらはそれぞれ時間的または空間的 単位 ベクトル場である。
物理的な解釈 一般相対論において、4次元ローレンツ多様体における時間的合同性は、我々の時空における特定の理想的な観測者の 世界線 の族として解釈できる。特に、 時間的測地線的合同性は、 自由落下するテスト粒子 の族として解釈できる 。
ヌル合同 も重要であり、特に ヌル測地線合同は 、自由に伝播する光線の族として解釈できます。
注意：光 ファイバー ケーブル内を移動する光パルスの世界線は、 一般にヌル測地線とはならず、また、宇宙初期（ 放射線が優勢な時代）の光は自由に伝播していませんでした。しかし、 地球から 太陽を 通過して 金星 に 送られるレーダーパルスの世界線は、 ヌル測地線弧としてモデル化されます。4次元以外の次元では、ヌル測地線と「光」の関係はもはや成り立ちません。「光」をラプラシアン 波動方程式 の解として定義すると、 伝播関数は 奇数時空次元においてヌル成分と時間的成分の両方を持ち、4次元を超える偶数時空次元では純粋な ディラックのデルタ関数 ではなくなります。
運動学的記述 シュヴァルツシルト真空 や FRWダスト のような時空におけるヌル測地線合同における試験粒子の相互運動を記述することは、一般相対論において非常に重要な問題である。この問題は、合同における積分曲線が互いにどのように収束（発散）またはねじれをするかを完全に記述する特定の 運動学的量 を定義することによって 解決される。
これから述べる運動学的分解は、あらゆるローレンツ多様体に対して成立する純粋数学であることを強調しておくべきである。しかし、テスト粒子と潮汐加速度（時間的測地線合同の場合）、あるいは光線束（零測地線合同の場合）を用いた物理的解釈は、一般相対論においてのみ成立する（密接に関連する理論においても同様の解釈が成立する可能性がある）。
時間的合同性の運動学的分解 ある時間的単位 ベクトル場 Xによって生成される時間的合同性を考えてみましょう 。これは一次線型偏微分作用素と考えることができます。すると、ベクトル場の成分はテンソル表記で と表されるスカラー関数になります 。ここで f は任意の滑らかな関数です。 加速度ベクトルは 共変微分 です 。その成分はテンソル表記で次のように表すことができます。 X → f = f , a X a {\displaystyle {\vec {X}}f=f_{,a}\,X^{a}} ∇ X → X → {\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}}
X ˙ a = X a ; b X b {\displaystyle {\dot {X}}^{a}={X^{a}}_{;b}X^{b}} 次に、 を使用して 、次の式を観察します。 X b X b = − 1 {\displaystyle {X_{b}}{X^{b}}=-1}
( X ˙ a X b + X a ; b ) X b = X a ; b X b − X ˙ a = 0 {\displaystyle \left({\dot {X}}^{a}\,X_{b}+{X^{a}}_{;b}\right)\,X^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\dot {X}}^{a}=0} は、左辺の括弧内の項 が の 横方向成分 であることを意味します。この直交関係は、X が ローレンツ 多様体の時間的 単位ベクトル である場合にのみ成立します。より一般的な設定では成立しません。次のように書きます。 X a ; b {\displaystyle {X^{a}}_{;b}}
h a b = g a b + X a X b {\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}} 射影 テンソル はテンソルをその横断部分に射影する。例えば、ベクトルの横断部分は に 直交する 部分である。このテンソルは、接ベクトルがXに直交する超曲面の計量テンソルとみなすことができる。したがって、次のことが示された。 X → {\displaystyle {\vec {X}}}
X ˙ a X b + X a ; b = h m a h n b X m ; n {\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{m;n}} 次に、これを対称部分と反対称部分に分解します。
X ˙ a X b + X a ; b = θ a b + ω a b {\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}=\theta _{ab}+\omega _{ab}} ここ：
θ a b = h m a h n b X ( m ; n ) {\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}} ω a b = h m a h n b X [ m ; n ] {\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}} それぞれ膨張テンソル と 渦度テンソル として知られています 。
これらのテンソルは に直交する空間超平面要素に存在するため、 3次元の 2階テンソルと考えることができます。これは フェルミ微分 の概念を用いてより厳密に表現できます 。したがって、展開テンソルを トレースレス 部分 と トレース部分 に分解できます 。トレースを と書くと 、次のようになります
。 X → {\displaystyle {\vec {X}}} θ {\displaystyle \theta }
θ a b = σ a b + 1 3 θ h a b {\displaystyle \theta _{ab}=\sigma _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}} 渦度テンソルは反対称なので対角成分はゼロとなり、自動的にトレースレスとなる（3次元 ベクトル に置き換えることも可能だが、ここではそうしない）。したがって、以下の式が得られる。
X a ; b = σ a b + ω a b + 1 3 θ h a b − X ˙ a X b {\displaystyle X_{a;b}=\sigma _{ab}+\omega _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}} これが望ましい 運動学的分解である。時間的 測地線 合同の場合 、最後の項は同様に消滅する。
時間的測地線合同の膨張スカラー、せん断テンソル（ ）、渦度テンソルは、次のような直感的な意味を持ちます。 σ a b {\displaystyle \sigma _{ab}}
膨張スカラーは、最初は球形だった小さな試験粒子の雲の体積が、雲の中心にある粒子の 固有時間 に対して変化する割合を表す。 せん断テンソルは、初期の球面が楕円形に歪む傾向を表す。 渦度テンソルは、初期の球の回転傾向を表します。渦度が消えるのは、合同の世界線が、時空の何らかの 葉理 における空間超曲面に対してどこでも直交する場合のみであり、その場合、適切な座標チャートでは、各超スライスは「一定時間」の面と見なすことができます。 これらの主張の正当性については、以下の引用とリンクを参照してください。
曲率と時間的合同性 リッチ恒等式（ リーマンテンソル の定義としてよく使われる ） により、次のように書くことができます。
X a ; b n − X a ; n b = R a m b n X m {\displaystyle X_{a;bn}-X_{a;nb}=R_{ambn}\,X^{m}} 運動学的分解を左辺に代入することで、曲率テンソルと時間的合同性（測地線的か否かに関わらず）の運動学的挙動との関係を確立することができます。これらの関係は2つの方法で利用でき、どちらも非常に重要です。
時空の曲率テンソルは、 （原理的には）時間的合同性（測地線的か否かに関わらず）の運動学的挙動の詳細な観察から 実験的に決定することができる。 直接的な曲率結合 を示す 運動学的分解の部分（膨張スカラー、せん断テンソル、 渦度テンソル）の 発展方程式 を得ることができます 。 ジョン・アーチボルド・ウィーラー の有名なスローガンにこうあります 。
時空は物質にどのように動くかを伝え、物質は時空にどのように曲がるかを伝えます。
ここで、この主張の最初の部分を正確に定量化する方法を説明します。 アインシュタインの場の式は、 2 番目の部分を定量化します。
特に、 時間的単位ベクトル場に関して取られたリーマンテンソルの ベル分解によれば、 電気重力テンソル （または 潮汐テンソル ）は次のように定義されます。
E [ X → ] a b = R a m b n X m X n {\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}} リッチ恒等式は次のようになります。
( X a : b n − X a : n b ) X n = E [ X → ] a b {\displaystyle \left(X_{a:bn}-X_{a:nb}\right)\,X^{n}=E[{\vec {X}}]_{ab}} 運動学的分解を代入すると、最終的に次の式が得られます。
E [ X → ] a b = 2 3 θ σ a b − σ a m σ m b − ω a m ω m b − 1 3 ( θ ˙ + θ 2 3 ) h a b − h m a h n b ( σ ˙ m n − X ˙ ( m ; n ) ) − X ˙ a X ˙ b {\displaystyle {\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2}{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}}\right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma }}_{mn}-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{aligned}}} ここで、上点は固有時 に関する微分を表し、時間的合同性に沿って数え上げていく（つまり、ベクトル場Xに関する共変微分をとる）。これは、 単一の 時間的合同性の観測から潮汐テンソルを決定する方法の記述とみなすことができる 。
進化方程式 このセクションでは、発展方程式 ( 伝播方程式 または 伝播公式 とも呼ばれる)を取得する問題について説明します 。
加速度ベクトルを次のように書き、次のように設定すると便利です 。 X ˙ a = W a {\displaystyle {\dot {X}}^{a}=W^{a}}
J a b = X a : b = θ 3 h a b + σ a b + ω a b − X ˙ a X b {\displaystyle J_{ab}=X_{a:b}={\frac {\theta }{3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}} ここで、潮汐テンソルのリッチ恒等式から次の式が得られます。
J ˙ a b = J a n ; b X n − E [ X → ] a b {\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=J_{an;b}\,X^{n}-E[{\vec {X}}]_{ab}} しかし：
( J a n X n ) ; b = J a n ; b X n + J a n X n ; b = J a n ; b X n + J a m J m b {\displaystyle \left(J_{an}\,X^{n}\right)_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{an}\,{X^{n}}_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{am}\,{J^{m}}_{b}} つまり次のようになります:
J ˙ a b = − J a m J m b − E [ X → ] a b + W a ; b {\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-J_{am}\,{J^{m}}_{b}-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+W_{a;b}} の定義を代入し 、この方程式の対角部分、トレースレス対称部分、反対称部分をそれぞれ取ることで、膨張スカラー、せん断テンソル、渦度テンソルの目的の発展方程式が得られます。 J a b {\displaystyle J_{ab}}
まず、加速度ベクトルがゼロになる、より簡単なケースを考えてみましょう。すると（ 射影テンソルは 純粋に空間的な量のインデックスを下げるのに使えることに注意すると）、次の式が得られます。
J a m J m b = θ 2 9 h a b + 2 θ 3 ( σ a b + ω a b ) + ( σ a m σ m b + ω a m ω m b ) + ( σ a m ω m b + ω a m σ m b ) {\displaystyle J_{am}\,{J^{m}}_{b}={\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}+{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)} または
J ˙ a b = − θ 2 9 h a b − 2 θ 3 ( σ a b + ω a b ) − ( σ a m σ m b + ω a m ω m b ) − ( σ a m ω m b + ω a m σ m b ) − E [ X → ] a b {\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-{\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}-{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}} 初等線形代数により、それぞれ3次元対称および反対称線型作用素であるとき、は 対称であり、は反対称である ことが容易に証明される 。したがって、添え字を1つ下げると、上記の括弧内の対応する組み合わせはそれぞれ対称および反対称となる。したがって、トレースを取ると、 レイチャウドゥリの方程式 （時間的測地線の場合）が得られる。 Σ , Ω {\displaystyle \Sigma ,\Omega } Σ 2 + Ω 2 {\displaystyle \Sigma ^{2}+\Omega ^{2}} Σ Ω + Ω Σ {\displaystyle \Sigma \,\Omega +\Omega \,\Sigma }
θ ˙ = ω 2 − σ 2 − θ 2 3 − E [ X → ] m m {\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega ^{2}-\sigma ^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}} トレースレス対称部分を取ると次のようになります。
σ ˙ a b = − 2 θ 3 σ a b − ( σ a m σ m b + ω a m ω m b ) − E [ X → ] a b + σ 2 − ω 2 + E [ X → ] m m 3 h a b {\displaystyle {\dot {\sigma }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}}\,h_{ab}} 反対称部分を取ると次のようになります。
ω ˙ a b = − 2 θ 3 ω a b − ( σ a m ω m b + ω a m σ m b ) {\displaystyle {\dot {\omega }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)} ここ：
σ 2 = σ m n σ m n , ω 2 = ω m n ω m n {\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}} は負にならない二次不変量なので、 明確に定義された実不変量となる。潮汐テンソルの軌跡は次のようにも書ける。 σ , ω {\displaystyle \sigma ,\omega }
E [ X → ] a a = R m n X m X n {\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}} これは Raychaudhuri スカラー と呼ばれることもありますが、言うまでもなく、 真空解 の場合は同様に消えます。
参照
参考文献 ポアソン、エリック (2004). 『相対論者のツールキット：ブラックホール力学の数学 』 ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. 書誌コード :2004rtmb.book.....P. ISBN 978-0-521-83091-1 。 測地線合同に関する優れた詳細な入門書は 第2章 をご覧ください。特にポアソンによる零測地線合同に関する議論は貴重です。 キャロル、ショーン・M. (2004). 『時空と幾何学：一般相対性理論入門 』サンフランシスコ：アディソン・ウェスレー. ISBN 978-0-8053-8732-2 。 測地線合同に関する基本的な議論については 付録Fを 参照してください。（キャロルの表記法はやや非標準的です。 [ 要出典 ] ） ステファニ, ハンス; クレイマー, ディートリッヒ; マッカラム, マルコム; ホーエンセラーズ, コーネリアス; ヘルト, エドゥアルド (2003). 『アインシュタインの場の方程式の厳密解』（第2版） ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-46136-8 。 時間的合同とヌル合同の詳細な紹介については、 第 6 章 を参照してください。 ウォルド、ロバート・M. (1984). 一般相対性理論 . シカゴ: シカゴ大学出版局. ISBN 978-0-226-87033-5 。 時間的測地線合同の運動学については セクション9.2 を参照してください。 ホーキング、スティーブン、エリス、GFR (1973). 『時空の大規模構造』 ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-09906-6 。 時間的合同とヌル合同の運動学については セクション4.1 を参照してください。 ダスグプタ, アニルヴァン; ナンダン, ヘムワティ; カー, サヤン (2009). 「曲面変形可能媒体上の流れの運動学」. 国際現代物理学における幾何学的手法ジャーナル . 6 (4): 645– 666. arXiv : 0804.4089 . Bibcode :2009IJGMM..06..645D. doi :10.1142/S0219887809003746. S2CID 115154964. 特定の 2 次元曲面 (球面、双曲空間、トーラス) 上の測地線フローの運動学の詳細な紹介については、「」を参照してください。 
![{\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c54a6ae6c2017b875145c11235f0690dce15fe)
![{\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bdea711a1213750660aa49c74e9f31036a3710a)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2}{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}}\right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma }}_{mn}-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686e95396802e317179a1559774d3875814b7b95)
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![{\displaystyle {\dot {\sigma}}_{ab}=-{\frac {2\theta}{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}}\,h_{ab}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0ce264cc7369d1eb3dd9e466a401de2f7d609b)
![{\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d242b40a425401fa731ab663c1d6adec5855eb)
