カーネル（線形代数）

Vectors mapped to 0 by a linear map

カーネルの例 - 線形演算子は直線上のすべての点をゼロ点に変換し、それによって線形演算子のカーネルを形成します。 ${\displaystyle L:(x,y)\longrightarrow (x,x)}$ ${\displaystyle (x=0,y)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

数学において、線型写像の核（せんどうしゃ、英: kernel）は、零空間または零空間とも呼ばれ、余領域の零ベクトルに写像される領域の部分である。核は常に領域の線型部分空間である。 ^[1]つまり、2つのベクトル空間VとWの間の線型写像L  : V → Wが与えられたとき、 Lの核は、L ( v ) = 0となるようなVのすべての元vのベクトル空間である。ここで、0 はWの零ベクトルを表す。^[2]またはより記号的に言えば、 $${\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).}$$

プロパティ

VからWへの線形写像Lの核と像

Lの核は定義域Vの線型部分空間である。^{[3] [2]}線型写像において、Vの２つの元がWに同じ像を持つのは、それらの差がLの核にある場合のみである。つまり、 ${\displaystyle L:V\to W,}$ $${\displaystyle L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad {\text{ if and only if }}\quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .}$$

このことから、第一同型定理により、 Lの像はVを核で割った商に同型であることがわかります。 $${\displaystyle \operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).}$$Vが有限次元の場合、これは階数零定理を意味する。ここで項 $${\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).}$$ランクはLの像の次元を指し、 ${\displaystyle \dim(\operatorname {im} L),}$ヌル性はLの核の次元を指し、^[4] つまり、ランクヌル性定理は次のように言い換えられる。 ${\displaystyle \dim(\ker L).}$ $${\displaystyle \operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),}$$ $${\displaystyle \operatorname {Rank} (L)+\operatorname {Nullity} (L)=\dim \left(\operatorname {domain} L\right).}$$

Vが内積空間のとき、商はのVにおける直交補空間と同一視できる。これは、行列の行空間（あるいは余像） の線型作用素への一般化である。 ${\displaystyle V/\ker(L)}$ ${\displaystyle \ker(L)}$

モジュールへの一般化

核の概念は、ベクトル空間の一般化である加群の準同型にも意味を持ちます。ここで、加群とは、スカラーが体ではなく環の元となるようなものです。写像の領域は加群であり、核は部分加群を構成します。ここでは、階数と零性の概念は必ずしも適用されません。

関数解析では

VとW が位相ベクトル空間でWが有限次元である場合、線形演算子L : V → Wは、 Lの核がVの閉部分空間である場合に限り連続です。

行列乗算としての表現

K体(通常は または)の係数を持つm × n行列Aとして表現され、K上のn個の要素を持つ列ベクトルxに作用する線型写像を考える。この線型写像の核は方程式A x = 0の解の集合である。ここで0は零ベクトルとして理解される。Aの核の次元はAの零性と呼ばれる。集合構築記法では、行列方程式は線型方程式の同次系と等価である。 したがって、 Aの核は上記の同次方程式の解の集合と同じである。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}$$ $${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}$$

部分空間特性

m × n行列Aの体K上の核はK ⁿの線型部分空間である。つまり、Aの核、すなわちNull( A )集合は、以下の3つの性質を持つ。

1. A 0 = 0なので、Null( A )には常にゼロベクトルが含まれます。
2. x ∈ Null( A )かつy ∈ Null( A )ならば、x + y ∈ Null( A )となる。これは行列の乗算と加算の分配法則から導かれる。
3. x ∈ Null( A )でcがスカラー c ∈ Kの場合、A ( c x ) = c ( A x ) = c 0 = 0であるため、c x ∈ Null( A )となります。

行列の行空間

積A xは、ベクトルのドット積で次のように表すことができます。 $${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.}$$

ここで、a ₁ , ... , a _{m は}行列Aの行を表します。したがって、x がAの核に含まれるのは、 x がAの各行ベクトルに直交（または垂直）する場合のみです（直交性はドット積が0であると定義されるため）。

行列Aの行空間、あるいは共像は、 Aの行ベクトルの張る空間である。上記の推論により、 Aの核は行空間の直交補空間となる。つまり、ベクトルx がAの核に含まれる場合と、それがAの行空間のすべてのベクトルに直交する場合とで、その場合とで同値である。

Aの行空間の次元はAの階数と呼ばれ、 Aの核の次元はAの零点性と呼ばれる。これらの量は階数零点性定理^[4]によって関連付けられている。 $${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.}$$

左ヌルスペース

行列Aの左零空間（コカーネル）は、 x ^T A = 0 ^Tを満たすすべての列ベクトルxから構成されます。ここで、 T は行列の転置を表します。 Aの左零空間は、 A ^Tの核と同じです。 Aの左零空間は、 Aの列空間の直交補空間であり、関連する線形変換のコカーネルの双対です。 Aの核、行空間、列空間、および左零空間は、行列Aに関連付けられた4つの基本的な部分空間です。

非同次線形方程式系

カーネルは、非同次線形方程式の解においても役割を果たします。 uとv が上記の方程式の 2 つの可能な解である場合、 したがって、方程式A x = bの任意の 2 つの解の差は、Aのカーネルにあります。 $${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} }$$

したがって、方程式A x = bの任意の解は、固定された解vと核の任意の要素の和として表すことができます。つまり、方程式A x = bの解集合はです 。幾何学的に言えば、これはA x = bの解集合がAの核をベクトルvで変換したものであることを意味します。フレドホルム代替法および平坦性（幾何学）も参照してください。 $${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},}$$

図

以下は、行列の核の計算を簡略化した図解です（より複雑な計算に適した方法については、後述の「ガウス消去法による計算」を参照してください）。この図では、行空間と核との関係についても触れています。

行列を考えてみましょう。この行列の核は、R ³のすべてのベクトル( x , y , z )から構成され、これ はx、y、zを含む同次線形方程式系として表現できます。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}$$

同じ線形方程式は、次のように行列形式で書くこともできます。 $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}$$

ガウス・ジョルダンの消去法によって、行列は次のように簡約されます。 $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}$$

行列を方程式の形で書き直すと次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}$$

カーネルの要素は、次のようにパラメトリックベクトル形式でさらに表現できます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )}$$

cは実数全体を範囲とする自由変数なので、これは次のようにも表現できる。Aの核は、まさにこれらの方程式の解集合（この場合はR ³の原点を通る直線）である。ここで、ベクトル(−1,−26,16) ^{T は}Aの核の基底を構成する。したがって、 Aは単一のベクトルによって張られるため、 Aの零性は 1 である。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}$$

次のドット積はゼロです。 これは、 Aのカーネル内のベクトルがAの各行ベクトルに直交していることを示しています。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,}$$

これら2つの（線形独立な）行ベクトルは、ベクトル（−1、−26、16）^Tに直交する平面であるAの行空間を張ります。

Aの階数が 2 、 Aのヌル性が 1 、 Aの次元が 3 であることから、階数ヌル性定理の図が得られます。

例

• L : R ^m → R ⁿのとき、 Lの核は同次線形方程式系の解集合である。上図のように、Lが演算子である場合、 Lの核は方程式の解の集合である。 $${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}$$
• C [0,1]を区間 [0,1] 上のすべての連続実数値関数のベクトル空間とすると、次の規則によりL : C [0,1] → Rが定義されます。すると、 Lの核はf (0.3) = 0となるすべての関数f ∈ C [0,1]から構成されます。 $${\displaystyle L(f)=f(0.3).}$$
• C ^∞ ( R ) をすべての無限微分可能関数R → Rのベクトル空間とし、D : C ∞ ( R ) → C ∞ ( R ) を微分演算子とします。すると、^Dの核はC ^∞ ( R )内のすべての関数の^うち導関数がゼロであるもの、つまりすべての定数関数の集合から構成されます。 $${\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}.}$$
• R ^{∞ を}Rの無限個のコピーの直積とし、 s : R ∞ → ^R ∞を^シフト演算子とします。すると、 sの核はすべてのベクトル( x ₁ , 0, 0, 0, ...)で構成される 1 次元部分空間になります。 $${\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).}$$
• V が内積空間でWが部分空間である場合、直交射影 V → Wの核はVにおけるWの直交補空間となります。

ガウス消去法による計算

行列の核の基底はガウス消去法によって計算できます。

この目的のために、m × n行列Aが与えられた場合、まず行増加行列 を構築します。ここで、Iはn × n単位行列です。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},}$

ガウス消去法（またはその他の適切な方法）によって列階段形式を計算すると、 Bの対応する列がゼロ列であるようなCの非ゼロ列で構成される行列Aのカーネルの基底が得られます。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.}$

実際、上側の行列が列階段形式になるとすぐに計算を停止できます。残りの計算は、上側がゼロである列によって生成されるベクトル空間の基底を変更することです。

例えば、 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

全体の行列に対して列演算を行って上部を階段状にすると、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

Bの最後の3列はゼロ列です。したがって、 Cの最後の3つのベクトルはAの核の基底となります。 $${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}$$

この方法がカーネルを計算することの証明：列演算は可逆行列による事後乗算に対応するため、 がに簡約されるということは、列階段形式で となる可逆行列が存在することを意味します。したがって、、、および です。列ベクトルが（つまり）のカーネルに属するのは、の場合に限ります。列階段形式で がそうであるように、の場合に限ります。 の非ゼロ要素がのゼロ列に対応するのは、 です。を乗算することにより、が の対応する列の線形結合である場合に限り、これが当てはまることが推測できます。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AP=B}$ ${\displaystyle IP=C}$ ${\displaystyle AC=B}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =C\mathbf {w} }$ ${\displaystyle C}$

数値計算

コンピュータ上でカーネルを計算する問題は、係数の性質に依存します。

正確な係数

行列の係数が正確に与えられた数値である場合、行列の列階段形は、ガウス消去法よりもBareissアルゴリズムによって効率的に計算できる。モジュラー算術と中国剰余定理を用いるとさらに効率的であり、これにより問題は有限体上の複数の類似問題に帰着する（これにより、整数乗算の計算複雑性の非線形性によって生じるオーバーヘッドを回避できる）。^[要出典]

有限体の係数に対してはガウス消去法は有効ですが、暗号化やグレブナー基底計算で発生する大規模な行列に対しては、計算の複雑さはほぼ同じで、より高速で、最新のコンピュータハードウェアでより適切に動作する、より優れたアルゴリズムが知られています。^[要出典]

浮動小数点計算

浮動小数点数を要素とする行列の場合、カーネルを計算する問題は、行数がそのランクに等しい行列に対してのみ意味を持ちます。丸め誤差 のため、浮動小数点行列は、たとえそれがはるかに低いランクの行列の近似値であっても、ほぼ常にフルランクを持ちます。フルランク行列であっても、そのカーネルを計算するには、条件付き、つまり条件数 が低い必要があります。^{[5] [要出典]}

たとえ条件が適切に整えられたフルランク行列であっても、ガウス消去法は正しく動作しません。ガウス消去法では丸め誤差が大きくなり、有意な結果が得られません。行列の核の計算は同次線形方程式系の特別な例であるため、同次系を解くために設計された様々なアルゴリズムのいずれかを用いて計算できます。この目的のための最先端のソフトウェアはLapackライブラリです。^[要出典]

参照

• カーネル（代数）
• ゼロセット
• 線形方程式のシステム
• 行と列のスペース
• 行の削減
• 4つの基本部分空間
• ベクトル空間
• 線形部分空間
• 線形演算子
• 機能スペース
• フレドホルムの代替案

注釈と参考文献

1. Weisstein, Eric W. 「カーネル」. mathworld.wolfram.com . 2019年12月9日閲覧。
2. "Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . 2019年12月9日閲覧。
3. 本稿で論じられている線形代数は、非常に確立された数学分野であり、多くの文献が存在する。本稿の内容のほぼ全ては、Lay 2005、Meyer 2001、そしてStrangの講義で参照できる。
4. Weisstein, Eric W. 「Rank-Nullity Theorem」. mathworld.wolfram.com . 2019年12月9日閲覧。
5. 「アーカイブコピー」（PDF） 。 2017年8月29日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2015年4月14日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

参考文献

• アクラー、シェルドン・ジェイ（1997年）、線形代数を正しく理解する（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-98259-0。
• レイ、デイビッド・C.（2005年）、線形代数とその応用（第3版）、アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-321-28713-7。
• マイヤー、カール・D.（2001）「行列解析と応用線形代数」、産業応用数学協会（SIAM）、ISBN 978-0-89871-454-8、2009年10月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• プール、デイビッド（2006年）、線形代数：現代入門（第2版）、ブルックス/コール、ISBN 0-534-99845-3。
• Anton, Howard (2005)、「初等線形代数（応用バージョン）（第 9 版）」、Wiley International。
• レオン、スティーブン J. (2006)、「線形代数とその応用(第 7 版)」、ピアソン プレンティス ホール。
• ラング、セルジュ（1987年）『線形代数』シュプリンガー、ISBN 9780387964126。
• トレフェテン、ロイド・N.; バウ、デイヴィッド3世 (1997)、『数値線形代数』、SIAM、ISBN 978-0-89871-361-9。

外部リンク

• 「行列の核」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• カーンアカデミー、行列の零空間入門

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kernel_(linear_algebra)&oldid=1302836466"