可観測性

In control theory, visible state of a system

観測可能性とは、システムの内部状態を外部出力の知識からどれだけ正確に推測できるかを示す尺度である。制御理論において、線形システムの観測可能性と制御可能性は数学的に双対関係にある。

観測可能性の概念は、ハンガリー系アメリカ人エンジニアのルドルフ・E・カルマンによって線形動的システムに対して導入されました。^{[1] [2]}出力の測定からシステムの状態を推定するように設計された動的システムは、カルマンフィルタなどのそのシステムの状態観測器と呼ばれます。

意味

状態空間表現でモデル化された物理システムを考えてみましょう。状態ベクトルと制御ベクトルのあらゆる可能な変化に対して、出力（物理的には、これは一般的にセンサーによって得られる情報に相当します）からの情報のみを用いて現在の状態を推定できる場合、システムは観測可能であると言われます。言い換えれば、システムの出力からシステム全体の動作を判断できるということです。一方、システムが観測可能でない場合、出力の測定だけでは区別できない状態軌跡が存在します。

線形時間不変システム

状態空間表現における時間不変線形システムの場合、システムが観測可能かどうかを確認するための便利なテストがあります。状態変数（MIMOシステムの詳細については状態空間を参照）を持つSISOシステムを考えます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$

可観測性マトリックス

観測可能性行列の列ランクが、次のように定義される とき、かつその場合に限り、

${\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}$

が に等しい場合、システムは観測可能である。この検定の根拠は、列が線形独立であれば、各状態変数は出力変数の線形結合を通して観測可能であるということである。観測可能性は、連続時間状態観測器の設計における必要十分条件である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y}$

関連概念

可観測性指数

線形時間不変離散システムの観測可能性指数 は、次式を満たす最小の自然数である。ここで、 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v})}={\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v+1})}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.}$

観測不可能な部分空間

線形システムの観測不可能な部分空間は 、^[3]で与えられる線形写像の核である。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\\x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\end{aligned}}}$

ここではから までの連続関数の集合である。 は次のようにも書ける^[3] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}}$

システムが観測可能であるのは の場合のみなので 、システムが観測可能であるのは がゼロ部分空間である場合のみである。 ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {O}})=n}$ ${\displaystyle N}$

観測不可能な部分空間には以下の性質がある: ^[3]

• ${\displaystyle N\subset Ke(C)}$
• ${\displaystyle A(N)\subset N}$
• ${\displaystyle N=\bigcup \{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C),A(S)\subset N\}}$

検出可能性

観測可能性よりもやや弱い概念が検出可能性である。観測不可能な状態がすべて安定している場合、システムは検出可能である。^[4]

検出可能性条件はセンサーネットワークの文脈において重要である。^{[5] [6]}

機能的観測可能性

機能的観測可能性は、完全な状態観測が不可能な場合（測定信号の欠如のため）に古典的な観測可能性の概念を拡張した性質であり、代わりに出力からの情報のみを使用して線形関数 を推定できる条件を確立する。^[7]正式には、（通常は低次元の）行列 （ただし）が与えられた場合、システムが機能的に観測可能であるのは、 ^[8] ${\displaystyle \mathbf {z} (t)=\mathbf {F} \mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle r\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle r\leq n}$

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}{\mathcal {O}}\\\mathbf {F} \end{bmatrix}}=\operatorname {rank} {\mathcal {O}}.}$

機能的観測可能性は、機能的観測器（ダルーアッシュ観測器^[9]とも呼ばれる）が漸近的に推定するように設計できる十分条件と必要条件を決定する重要な概念である。特定の条件下では、機能的観測可能性と出力制御可能性は数学的に双対関係にある。^[10] ${\displaystyle \mathbf {z} (t)}$

線形時間変動システム

連続 線形 時変システムを考える

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,}$

行列 、 、 が与えられ、入力と出力と が全てについて与えられているとすると、によって 定義されるの零空間にある加法定数ベクトル内で を決定することが可能である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}];}$ ${\displaystyle x(t_{0})}$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\varphi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\varphi (t,t_{0})\,dt}$

ここで、は状態遷移行列です。 ${\displaystyle \varphi }$

が特異でない場合には、 を一意に決定することができます。実際、が の零空間にある場合には、 の初期状態と の初期状態を区別することはできません。 ${\displaystyle x(t_{0})}$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}-x_{2}}$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

上記のように定義された行列には次の特性があることに注意してください。 ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$対称的である
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$は、​ ${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$線形行列微分方程式を満たす

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$方程式を満たす

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\varphi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\varphi (t,t_{0})}$^[11]

観測可能性行列の一般化

システムが で観測可能であるのは、行列が特異でないような に区間が存在する場合のみです。 ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

が解析的である場合、系は区間[ , ]で観測可能であり、かつ正の整数kが存在し、^[12] ${\displaystyle A(t),C(t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&\vdots &\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,}$

ここで、およびは再帰的に次のように定義される。 ${\displaystyle N_{0}(t):=C(t)}$ ${\displaystyle N_{i}(t)}$

${\displaystyle N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1}$

例

行列が解析的に変化するシステムを考える ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\,C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.}$

すると、この行列の階数は 3 なので、このシステムは のすべての非自明な区間で観測可能です 。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

非線形システム

システム が与えられます。ここで、状態ベクトル、入力ベクトル、および出力ベクトル は、滑らかなベクトル場になります。 ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle f,g,h}$

観測空間をすべての繰り返しリー導関数を含む空間と定義すると、のときのみ、系は で観測可能となる。ここで ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \dim(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n}$

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\operatorname {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .}$^[13]

非線形動的システムにおける観測可能性の初期の基準は、グリフィスとクマール^[14] 、コウ、エリオットとターン^{[15] 、そしてシン[16]}によって発見されました。

非線形時間変動システムに対する観測可能性基準も存在する。^[17]

静的システムと一般位相空間

観測可能性は、定常状態システム（通常は代数方程式と不等式で定義されるシステム）や、より一般的には、 における集合に対しても特徴付けられる。^{[18] [19]動的システムの場合、}カルマンフィルタやその他の観測器の挙動を予測するために観測可能性基準が使用されるのと同様に、 における集合の観測可能性基準は、データ調整やその他の静的推定器の挙動を予測するために使用される。非線形システムの場合、観測可能性は個々の変数に対して特徴付けられるだけでなく、全体的な挙動だけでなく局所的な推定器の挙動に対しても特徴付けられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

参照

• 制御性
• ハウトゥス・レマ
• 識別可能性
• 州監視員
• 状態空間（制御）

参考文献

1. Kalman, RE (1960). 「制御システムの一般理論について」. IFAC Proceedings Volumes . 1 : 491– 502. doi :10.1016/S1474-6670(17)70094-8.
2. Kalman, RE (1963). 「線形動的システムの数学的記述」. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series A: Control . 1 (2): 152– 192. doi :10.1137/0301010.
3. ソンタグ, ED, 「数学的制御理論」, 応用数学テキスト, 1998
4. 「制御可能性と観測可能性」（PDF） 。 2019年6月10日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2024年5月19日閲覧。
5. Li, W.; Wei, G.; Ho, DWC; Ding, D. (2018年11月). 「センサーネットワークのための重み付け均一検出可能性」. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems . 29 (11): 5790– 5796. Bibcode :2018ITNNL..29.5790L. doi :10.1109/TNNLS.2018.2817244. PMID  29993845. S2CID  51615852.
6. Li, W.; Wang, Z.; Ho, DWC; Wei, G. (2019). 「カルマンコンセンサスフィルタリング問題における誤差共分散の有界性について」. IEEE Transactions on Automatic Control . 65 (6): 2654– 2661. doi :10.1109/TAC.2019.2942826. S2CID  204196474.
7. Fernando, T.; Trinh, HM; Jennings, L. (2010). 「機能的観測可能性と最小次数線形機能オブザーバーの設計」IEEE Transactions on Automatic Control . 55 (5): 1268– 1273. doi :10.1109/TAC.2010.2042005.
8. Jennings, L.; Fernando, T.; Trinh, HM (2011). 「固有空間の観点から見た機能的観測可能性の存在条件」. IEEE Transactions on Automatic Control . 56 (12): 2957– 2961. doi :10.1109/TAC.2011.2162793.
9. Darouach, M. (2002). 「線形システムのための機能オブザーバーの存在と設計」. IEEE Transactions on Automatic Control . 45 (5): 940– 943. doi :10.1109/9.855563.
10. Montanari, AN; Duan, C.; Motter, AE (2025). 「ネットワークにおける目標制御と推定における制御性と観測性の双対性」. IEEE Transactions on Automatic Control . doi :10.1109/TAC.2025.3552001.
11. Brockett, Roger W. (1970).有限次元線形システム. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5。
12. Eduardo D. Sontag、「数理制御理論：決定論的有限次元システム」
13. 教授による非線形システム理論の講義ノート博士。 D.ジェルツェマ教授JMAScherpenと教授アジュヴァン・デル・シャフト。
14. グリフィス, EW; クマール, KSP (1971). 「非線形システムの観測可能性について: I」.数学解析応用ジャーナル. 35 : 135–147 . doi :10.1016/0022-247X(71)90241-1.
15. Kou, Shauying R.; Elliott, David L.; Tarn, Tzyh Jong (1973). 「非線形システムの観測可能性」.情報制御. 22 : 89–99 . doi : 10.1016/S0019-9958(73)90508-1 .
16. Singh, Sahjendra N. (1975). 「測定不可能な入力を持つ非線形システムにおける観測可能性」. International Journal of Systems Science . 6 (8): 723– 732. doi :10.1080/00207727508941856.
17. Martinelli, Agostino (2022). 「観測可能性ランク条件の時間変動非線形システムへの拡張」. IEEE Transactions on Automatic Control . 67 (9): 5002– 5008. Bibcode :2022ITAC...67.5002M. doi :10.1109/TAC.2022.3180771. ISSN  0018-9286. S2CID  251957578.
18. Stanley, GM; Mah, RSH (1981). 「プロセスデータ推定における観測可能性と冗長性」(PDF) .化学工学科学. 36 (2): 259– 272. Bibcode :1981ChEnS..36..259S. doi :10.1016/0009-2509(81)85004-X.
19. Stanley, GM; Mah, RSH (1981). 「プロセスネットワークにおける観測可能性と冗長性の分類」(PDF) .化学工学科学. 36 (12): 1941– 1954. doi :10.1016/0009-2509(81)80034-6.

外部リンク

• 「観測可能性」。PlanetMath。
• システムの観測可能性をチェックするためのMATLAB関数 2012年2月19日アーカイブWayback Machine
• システムの観測可能性をチェックするためのMathematica関数

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