多項式の次数

Mathematical concept

数学において、多項式の次数とは、係数がゼロでない多項式の単項式（個々の項）の次数のうち最も高いものを指します。項の次数は、項に現れる変数の指数の和であるため、非負の整数となります。単変数多項式の場合、多項式の次数とは、単に多項式で現れる指数の最大値です。^[1]次数という用語は次数の同義語として使用されてきましたが、現在では他のいくつかの概念を指す場合もあります（「多項式の次数（曖昧さ回避） 」を参照）。

例えば、とも表記される多項式は3つの項を持ちます。最初の項の次数は5（ 2と3の累乗の和）、2番目の項の次数は1、最後の項の次数は0です。したがって、この多項式の次数は5であり、これはすべての項の中で最も高い次数です。 ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}$ ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}$

標準形ではない多項式、例えば の次数を決定するには、積を（分配法則によって）展開し、同類項を結合することで標準形にすることができます。例えば、は各加数が 2 であっても次数 1 です。ただし、多項式が標準形の多項式の積として表される場合、積の次数は因数の次数の和であるため、これは必要ありません。 ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}$ ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}$

次数による多項式の名前

多項式には次数に応じて以下の名前が割り当てられている：^{[2] [3] [4]}

• 特別な場合 –ゼロ（下記の§ゼロ多項式の次数を参照）
• 次数0 – 非ゼロ定数^[5]
• 1次 –線形
• 2次方程式 –二次方程式
• 3次 –立方
• 4次項 – 4次（または、すべての項の次数が偶数の場合は4次）
• 5次方程式 –五次方程式
• 6度 –六度（または、あまり一般的ではないが、六度）
• 7度 –敗血症性（または、まれに肝性）
• 8度 – 八面体
• 9度 – ノニック
• 10度 – デシック

3 次を超える項の名前は、ラテン語の序数に基づき、末尾に-icが付きます。これは、変数の数を表す名前、つまりアリティとは区別する必要があります。アリティ は、ラテン語の分配数に基づき、末尾に-aryが付きます。たとえば、 のような 2 変数の 2 次多項式は、「2 項二次式」と呼ばれます。2変数なので 2項、次数2 なので二次式です。^[a]項の数を表す名前も存在し、これもラテン語の分配数に基づき、末尾に-nomial が付きます。一般的な名前は、単項式、二項式、（あまり一般的ではありませんが）三項式です。したがって、は「2 項二次二項式」です。 ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

例

この多項式は 3 次多項式です。 を掛け合わせて同じ次数の項を集めると、最大指数が 3 の になります。 ${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$ ${\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}$

この多項式は五次多項式です。同類項​​を結合すると、次数 8 の 2 つの項が打ち消され、最大指数が 5 の が残ります。 ${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$ ${\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6}$

多項式演算における動作

２つの多項式の和​​、積、または合成の次数は、入力多項式の次数と強く関係している。^[6]

追加

2つの多項式の和​​（または差）の次数は、それらの次数のうち大きい方より小さいか等しい。つまり、

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$そして。 ${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$

たとえば、 の次数は2 であり、 2 ≤ max{3, 3} です。 ${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}$

多項式の次数が異なる場合でも、等式は常に成立します。例えば、 の次数は3で、 3 = max{3, 2} となります。 ${\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}$

乗算

多項式と非ゼロスカラーの積の次数は多項式の次数に等しい。つまり、

${\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}$。

たとえば、 の次数は2 であり、 の次数と等しくなります。 ${\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}$ ${\displaystyle x^{2}+3x-2}$

したがって、次数が与えられた数n以下である多項式（与えられた体Fからの係数を持つ）の集合はベクトル空間を形成します。詳細については、「ベクトル空間の例」を参照してください。

より一般的には、体または整域上の 2 つの多項式の積の次数は、それらの次数の和です。

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}$。

たとえば、 の次数は 5 = 3 + 2 です。 ${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$

任意の環上の多項式の場合、2つの非零定数を乗じる際に相殺が生じる可能性があるため、上記の規則は適用できない場合があります。例えば、 4を法とする整数環ではとなりますが、は因数の次数の和と等しくありません。 ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \deg(2x)=\deg(1+2x)=1}$ ${\displaystyle \deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1}$

構成

2つの非定数多項式と体または積分領域上の合成次数は、それらの次数の積です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).}$$

たとえば、が次数 3 で が次数 2 の場合、それらの合成は となり、次数 6 になります。 ${\displaystyle P=x^{3}+x}$ ${\displaystyle Q=x^{2}-1}$ ${\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)=x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2,}$

任意の環上の多項式の場合、合成の次数は次数の積よりも小さくなる場合があることに注意してください。例えば、多項式と（どちらも次数1）の合成において、 は次数0の定数多項式です。 ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 1+2x}$ ${\displaystyle 2x\circ (1+2x)=2+4x=2,}$

零多項式の次数

零多項式の次数は定義されないか、負の値（通常は−1または）として定義されます。^[7] ${\displaystyle -\infty }$

任意の定数と同様に、値 0 は（定数）多項式とみなすことができ、零多項式と呼ばれます。零でない項は存在しないため、厳密に言えば次数も存在しません。したがって、次数は通常定義されていません。上記の節における多項式の和​​と積の次数に関する命題は、関係する多項式のいずれかが零多項式である場合は適用されません。^[8]

しかし、零多項式の次数を負の無限大と定義し、算術規則^{[9]を導入すると便利である。} ${\displaystyle -\infty ,}$

${\displaystyle \max(a,-\infty )=a,}$

そして

${\displaystyle a+(-\infty )=-\infty .}$

以下の例は、この拡張機能が上記の動作ルールをどのように満たしているかを示しています。

• 和の次数は 3 です。これは、 という予想される動作を満たします。 ${\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}$ ${\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}$
• 差の度合いは です。これは、 という期待される動作を満たしています。 ${\displaystyle (x)-(x)=0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty \leq \max(1,1)}$
• 積の次数は です。これは、 という期待される動作を満たします。 ${\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty =-\infty +2}$

関数値から計算される

多項式関数fの次数を評価する公式は数多く存在する。漸近解析に基づく公式の一つは

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}}$;

これは、両対数プロットの傾きを推定する方法とまったく同じです。

この式は、次数の概念を多項式以外の関数にも一般化します。例えば、

• 逆数の次数は−1 です。 ${\displaystyle \ 1/x}$
• 平方根の次数は1/2 です。 ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
• 対数の次数は0です。 ${\displaystyle \ \log x}$
• 指数関数の次数、は、 ${\displaystyle \exp x}$ ${\displaystyle \infty .}$

この式は、このような関数の多くの組み合わせに対しても適切な結果をもたらします。たとえば、 の次数はです。 ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}}$ ${\displaystyle -1/2}$

fの値からfの次数を計算する別の式は次の通りである。

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}}$;

この2番目の式は、ロピタルの定理を最初の式に適用することで得られる。しかし直感的には、これはむしろ次数dをの微分 における追加の定数因子として示すことに関係している。 ${\displaystyle dx^{d-1}}$ ${\displaystyle x^{d}}$

関数の漸近挙動を、単純な数値次数よりもきめ細かく記述するには、ビッグオー記法を用いる。例えば、アルゴリズムの解析においては、上式によればどちらも同じ次数となる との成長率を区別することがしばしば重要となる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\log x}$

2つ以上の変数を持つ多項式への拡張

2変数以上の多項式において、項の次数は、その項に含まれる変数の指数の和です。多項式の次数（総次数と呼ばれることもあります）は、多項式に含まれるすべての項の次数のうち最大のものです。例えば、多項式x ² y ² + 3 x ³ + 4 yの次数は4で、項x ² y ²と同じ次数です。

しかし、変数xとyの多項式は、係数がyの多項式であるxの多項式であり、また係数がxの多項式であるyの多項式でもあります。多項式

${\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})}$

xの次数は 3 、 yの次数は 2 です。

抽象代数における次数関数

環 Rが与えられたとき、多項式環 R [ x ] は、 x に属する多項式のうち Rに係数を持つもの全体の成す集合である。Rが体でもある特別な場合、多項式環R [ x ] は主イデアル領域であり、ここでの議論においてより重要なのは、ユークリッド領域である。

体上の多項式の次数は、ユークリッド領域におけるノルム関数のすべての要件を満たすことが示されます。つまり、2つの多項式f ( x ) とg ( x ) が与えられたとき、積f ( x ) g ( x )の次数は、fとgのそれぞれの次数よりも大きくなければなりません。実際、より強い次数が成り立ちます。

${\displaystyle \deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))}$

体ではない環に対して次数関数が失敗する理由の例として、次の例を挙げます。R = 、つまり4を法とする整数環とします。この環は体ではなく（整域でもありません）、2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4) です。したがって、f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1 とします。すると、f ( x ) g ( x ) = 4 x ² + 4 x + 1 = 1 となります。したがって、deg( f ⋅ g ) = 0 となり、これはfとgの次数（それぞれ次数1）より大きくなりません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

環の零元に対してノルム関数は定義されていないため、多項式f ( x )=0の次数も未定義であるとみなし、ユークリッド領域におけるノルムの規則に従います。

参照

• アベル・ルフィニの定理
• 代数学の基本定理

注記

1. 簡単にするために、これは両方の変数が別々に等しい次数を持つ同次多項式です。

1. Gullberg, Jan (1997), 数の誕生からの数学、WW Norton & Company、p. 128、ISBN 9780393040029
2. Mac LaneとBirkhoff（1999）は「線形」、「二次」、「三次」、「四次」、「五次」を定義している。（p. 107）
3. King (2009) は、「2次式」、「3次式」、「4次式」、「5次式」、「6次式」、「7次式」、「8次式」を定義しています。
4. ジェームズ・コックルは1851年に「sexic」、「septic」、「octic」、「nonic」、「decic」という名称を提案した。（Mechanics Magazine、第5巻、171ページ）
5. Shafarevich (2003)は、0次の多項式について次のように述べています。 「このような多項式は定数と呼ばれます。なぜなら、異なるxの値を代入しても同じ値が得られるからです。」(p. 23) ${\displaystyle f(x)=a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}}$
6. Lang、Serge (2005)、Algebra (第 3 版)、Springer、p. 100、ISBN 978-0-387-95385-4
7. Shafarevich (2003) は零多項式について次のように述べています。「この場合、多項式の次数は定義されていないとみなします。」(p. 27)
   Childs (1995) は −1 を使用しています。(p. 233)
   Childs (2009) は −∞ を使用していますが (p. 287)、命題 1 (p. 288) では零多項式を除外しており、その後、この命題は「任意の整数mに対して+ m = 、またはm = 」という合理的な仮定の下で、零多項式に対して成立すると説明しています。Axler (1997) は −∞ を使用しています。(p. 64) Grillet (2007) は次のように述べています。「零多項式 0 の次数は、定義されない場合もあれば、すべてのA ≠ 0 に対して deg 0 < deg Aである限り、 −1 ∈またはとして様々に定義される場合もあります。」 （Aは多項式である。）しかし、彼は命題5.3において零多項式を除外している。（p.121） ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$
   
   ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -\infty }$
8. Caldwell, William (2009)、「概念マッピングの代数Iへの適用」、Afamasaga-Fuata'i, Karoline (ed.)、数学における概念マッピング：実践研究、Springer、pp.  217– 234、doi :10.1007/978-0-387-89194-1_11、ISBN 9780387891941; 225～226 ページの「多項式の次数」セクションを参照してください。「零多項式と他の任意の多項式との積は常に零多項式であるため、このような次数の特性 (積の次数は 2 つの因子の次数の合計) は、2 つの多項式のうちの 1 つが多項式 0 である場合は成立しません。そのため、零多項式には次数を割り当てません。」
9. Axler (1997)はこれらの規則を示し、「0多項式は次数を持つと宣言されているため、さまざまな合理的な結果を得るために例外は必要ありません。」(p. 64) ${\displaystyle -\infty }$

参考文献

• アクラー、シェルドン（1997年）、線形代数を正しく行う（第2版）、シュプリンガーサイエンス＆ビジネスメディア、ISBN 9780387982595
• チャイルズ、リンゼイ・N.（1995）、高等代数学への具体的な入門（第2版）、シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、ISBN 9780387989990
• チャイルズ、リンゼイ・N.（2009）、高等代数学への具体的な入門（第3版）、シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、ISBN 9780387745275
• グリエ、ピエール・アントワーヌ（2007年）、抽象代数（第2版）、Springer Science & Business Media、ISBN 9780387715681
• キング、R.ブルース（2009年）、四次方程式を超えて、シュプリンガーサイエンス＆ビジネスメディア、ISBN 9780817648497
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) 『代数学』（第3版）アメリカ数学会、ISBN 9780821816462
• シャファレヴィッチ、イゴール・R.（2003）、代数学に関する講話、シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、ISBN 9783540422532

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