Operation in differential geometry
数学 において 、 ジェットとは、 微分可能関数 fを取り、その定義域の各点において f のテイラー 多項式 （切断テイラー級数）である 多項式 を生成する 演算である 。これはジェットの定義であるが、ジェット理論ではこれらの多項式は 多項式関数ではなく 抽象多項式とみなされる
本稿では、まず1つの実変数を持つ実数値関数のジェットの概念を考察し、次に複数の実変数への一般化について議論する。次に、 ユークリッド空間間のジェットとジェット空間の厳密な構成を示す。最後に、 多様体 間のジェットと、これらのジェットが本質的にどのように構築できるかを説明する。このより一般的な文脈において、 微分幾何学 と 微分方程式 論へのジェットの応用のいくつかを要約 する
ユークリッド空間間の関数のジェット ジェットの厳密な定義を与える前に、いくつかの特殊な場合を検討することは有用である。
1次元の場合 が点 の 近傍 U に 少なくとも k + 1 本の導関数を持つ 実数値関数 である とする 。テイラーの定理により、 f : R → R {\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }} x 0 {\displaystyle x_{0}}
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + ⋯ + f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k + R k + 1 ( x ) ( k + 1 ) ! ( x − x 0 ) k + 1 {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}(x-x_{0})^{k+1}} ここで
| R k + 1 ( x ) | ≤ sup x ∈ U | f ( k + 1 ) ( x ) | . {\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq \sup _{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|.} すると、 点 における f の k ジェットは 、多項式 と定義される x 0 {\displaystyle x_{0}}
( J x 0 k f ) ( z ) = ∑ i = 0 k f ( i ) ( x 0 ) i ! z i = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) z + ⋯ + f ( k ) ( x 0 ) k ! z k . {\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}z^{i}=f(x_{0})+f'(x_{0})z+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}z^{k}.} ジェットは通常、変数 zの 抽象的な多項式 と見なされ 、その変数の実際の多項式関数とは見なされません。言い換えれば、 zは 不定変数 であり、ジェット間で様々な 代数演算 を実行できます。実際、これは ジェットが 関数従属性 を導出する基点です 。したがって、基点を変化させることで、ジェットはすべての点で最大 k次 の多項式を生成します。これは、ジェットと切断 テイラー級数 の重要な概念的な違いを示しています。通常、テイラー級数は基点ではなく変数に関数的に依存すると見なされます。一方、ジェットはテイラー級数の代数的性質と関数的性質を分離します。この分離の理由と応用については、この記事の後半で説明します。 x 0 {\displaystyle x_{0}}
あるユークリッド空間から別のユークリッド空間への写像 が少なくとも( k + 1)本の導関数を持つ、あるユークリッド空間から別のユークリッド空間への関数であると仮定します 。この場合、 テイラーの定理は 次のように主張します f : R n → R m {\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}
f ( x ) = f ( x 0 ) + ( D f ( x 0 ) ) ⋅ ( x − x 0 ) + 1 2 ( D 2 f ( x 0 ) ) ⋅ ( x − x 0 ) ⊗ 2 + ⋯ ⋯ + D k f ( x 0 ) k ! ⋅ ( x − x 0 ) ⊗ k + R k + 1 ( x ) ( k + 1 ) ! ⋅ ( x − x 0 ) ⊗ ( k + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{}&{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots \\[4pt]&\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}.\end{aligned}}} f の k ジェット は、多項式として定義されます
( J x 0 k f ) ( z ) = f ( x 0 ) + ( D f ( x 0 ) ) ⋅ z + 1 2 ( D 2 f ( x 0 ) ) ⋅ z ⊗ 2 + ⋯ + D k f ( x 0 ) k ! ⋅ z ⊗ k {\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot z+{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot z^{\otimes k}} において 、ここで 。 R [ z ] {\displaystyle {\mathbb {R} }[z]} z = ( z 1 , … , z n ) {\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})}
ジェットの代数的性質 ジェットが持つことができる基本的な代数的構造は2つあります。1つ目は積構造ですが、これは最終的には最も重要ではないことがわかります。2つ目はジェットの合成構造です。
が実数値関数のペアである場合 、それらのジェットの積は次のように定義できます f , g : R n → R {\displaystyle f,g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}
J x 0 k f ⋅ J x 0 k g = J x 0 k ( f ⋅ g ) . {\displaystyle J_{x_{0}}^{k}f\cdot J_{x_{0}}^{k}g=J_{x_{0}}^{k}(f\cdot g).} ここでは、ジェットが形式多項式であることが理解されているため、不定項 zを省略しています。この積は、 を法とする z の 通常の多項式の積に過ぎません 。言い換えれば、これは環 における乗算であり 、は k + 1以上の位数を持つ同次多項式によって生成される イデアル です 。 z k + 1 {\displaystyle z^{k+1}} R [ z ] / ( z k + 1 ) {\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})} ( z k + 1 ) {\displaystyle (z^{k+1})}
ここで、ジェットの合成について見ていきましょう。不必要な専門用語を避けるため、原点を原点に写す関数のジェットを考えます。f ( 0) = 0、 g (0) = 0 のとき、 と なります 。 ジェットの合成 は で定義されます
。 連鎖律 を用いて、これが原点におけるジェット空間上の結合的非可換演算を構成することは 容易に検証できます。 f : R m → R ℓ {\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }} g : R n → R m {\displaystyle g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}} f ∘ g : R n → R ℓ {\displaystyle f\circ g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }} J 0 k f ∘ J 0 k g = J 0 k ( f ∘ g ) . {\displaystyle J_{0}^{k}f\circ J_{0}^{k}g=J_{0}^{k}(f\circ g).}
実際、 kジェットの合成は、次数 ≥ k + 1 の斉次多項式のイデアルを法とする多項式の合成に他なりません。
例：
1次元において、 と とします 。すると f ( x ) = log ( 1 − x ) {\displaystyle f(x)=\log(1-x)} g ( x ) = sin x {\displaystyle g(x)=\sin \,x} ( J 0 3 f ) ( x ) = − x − x 2 2 − x 3 3 {\displaystyle (J_{0}^{3}f)(x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}} ( J 0 3 g ) ( x ) = x − x 3 6 {\displaystyle (J_{0}^{3}g)(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}} と
( J 0 3 f ) ∘ ( J 0 3 g ) = − ( x − x 3 6 ) − 1 2 ( x − x 3 6 ) 2 − 1 3 ( x − x 3 6 ) 3 ( mod x 4 ) = − x − x 2 2 − x 3 6 {\displaystyle {\begin{aligned}&(J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}{\pmod {x^{4}}}\\[4pt]={}&-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}\end{aligned}}}
ユークリッド空間のある点におけるジェット：厳密な定義
解析的定義 以下の定義では、 数学的解析の考え方を用いてジェットとジェット空間を定義します。これは、 バナッハ空間 間の 滑らかな関数 、 実数または 複素数領域間の 解析関数 、 p進解析 、およびその他の解析分野に 一般化できます
を滑らかな関数 の ベクトル空間 とする 。k を 非負 整数と し 、 p を の点とする 。 この空間における 同値関係を定義すると、2つの関数 f と g は p において同じ値を持ち、それらのすべての 偏微分が pにおいて k 次微分まで（ k 次微分を含む） 一致する 場合、 k 次 まで同値であるとする 。つまり、 k 次 までと 必ず一致する。 C ∞ ( R n , R m ) {\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})} f : R n → R m {\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}} R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} E p k {\displaystyle E_{p}^{k}} f ∼ g {\displaystyle f\sim g\,\!} f − g = 0 {\displaystyle f-g=0}
p における の k 次ジェット空間は 、 の同値類の集合として定義され 、 と表記される 。 C ∞ ( R n , R m ) {\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})} E p k {\displaystyle E_{p}^{k}} J p k ( R n , R m ) {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
滑らかな関数の p における k 次ジェットは 、 における f の同値類として定義される 。 f ∈ C ∞ ( R n , R m ) {\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})} J p k ( R n , R m ) {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
代数幾何学的定義 以下の定義は、 代数幾何学 と 可換代数 の考え方を用いて、ジェットとジェット空間の概念を確立する。この定義は代数幾何学そのものでの使用には特に適しているわけではないが、滑らかな圏に当てはめられているため、そのような用途に容易に適応させることができる。
の点 p における 滑らかな関数 の 芽 の ベクトル空間 をと する 。を p で消滅する関数の芽からなるイデアルとする 。（これは 局所環 の 最大イデアル である。）すると、イデアルは p で k の 位数まで消滅するすべての関数芽からなる。ここで、 p における ジェット空間 を によって 定義できる。 C p ∞ ( R n , R m ) {\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})} f : R n → R m {\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}} R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} m p {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}} C p ∞ ( R n , R m ) {\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})} m p k + 1 {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}
J p k ( R n , R m ) = C p ∞ ( R n , R m ) / m p k + 1 {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})=C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}} が滑らかな関数である場合、 p における f の k -ジェットをと設定することによって の元として 定義できる。 f : R n → R m {\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}} J p k ( R n , R m ) {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}
J p k f = f ( mod m p k + 1 ) {\displaystyle J_{p}^{k}f=f{\pmod {{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}}} これはより一般的な構成である。 -空間 に対して 、 を における 構造層 の 茎 とし 、 を 局所環 の 最大イデアル とする 。 における k 番目のジェット空間は、環 （ は イデアルの積 ）と定義される 。 F {\displaystyle \mathbb {F} } M {\displaystyle M} F p {\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}} p {\displaystyle p} m p {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}} F p {\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}} p {\displaystyle p} J p k ( M ) = F p / m p k + 1 {\displaystyle J_{p}^{k}(M)={\mathcal {F}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}} m p k + 1 {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}
テイラーの定理 定義にかかわらず、テイラーの定理は と の間のベクトル空間の標準同型を確立する 。 したがって、ユークリッドの文脈では、ジェットは通常、この同型の下での多項式表現と同一視される J p k ( R n , R m ) {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})} R m [ z 1 , … , z n ] / ( z 1 , … , z n ) k + 1 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z_{1},\dotsc ,z_{n}]/(z_{1},\dotsc ,z_{n})^{k+1}}
点から点へのジェット空間 点におけるジェット 空間を定義しました 。この部分空間は、 f ( p )= q となる関数 f のジェットから成り、次のように表されます
。 J p k ( R n , R m ) {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})} p ∈ R n {\displaystyle p\in {\mathbb {R} }^{n}}
J p k ( R n , R m ) q = { J k f ∈ J p k ( R n , R m ) ∣ f ( p ) = q } {\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})_{q}=\left\{J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})\mid f(p)=q\right\}}
2つの多様体間の関数のジェット M と Nが 2つの 滑らかな多様体 である場合 、関数のジェットをどのように定義するのでしょうか？おそらく、 M と N 上の 局所座標 を用いてそのようなジェットを定義しようと試みることができるでしょう 。この欠点は、ジェットを不変な方法で定義できないことです。ジェットは テンソル として変換されません。代わりに、2つの多様体間の関数のジェットは ジェットバンドル に属します。 f : M → N {\displaystyle f:M\rightarrow N}
実数直線から多様体への関数のジェット M が 点 p を 含む滑らかな多様体であると仮定します。p を 通る 曲線 のジェットを定義します。これは、 f (0) = p となる 滑らかな関数 を意味します。同値関係を 次のように定義します。f と g を p を通る曲線のペアとします 。p の 近傍 U が存在し、任意の滑らかな関数 に対して となるとき 、 f と g は p において k 位 に同値であるとします。合成関数と は 実数直線 からそれ自身への写像であるため 、 これらのジェットは明確に定義されていることに注意してください 。この同値関係は、 p における曲線間の k 位 接触の 関係と呼ばれることもあります。 f : R → M {\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow M} E p k {\displaystyle E_{p}^{k}} φ : U → R {\displaystyle \varphi :U\rightarrow {\mathbb {R} }} J 0 k ( φ ∘ f ) = J 0 k ( φ ∘ g ) {\displaystyle J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \circ g)} φ ∘ f {\displaystyle \varphi \circ f} φ ∘ g {\displaystyle \varphi \circ g}
ここで、 p を通る 曲線 fの k 位 ジェット を、または と 表記される、 の下での f の同値類と 定義します 。k 位 ジェット空間は 、 p における k 位ジェットの集合です E p k {\displaystyle E_{p}^{k}} J k f {\displaystyle J^{k}\!f\,} J 0 k f {\displaystyle J_{0}^{k}f} J 0 k ( R , M ) p {\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
p が M 上で変化する と 、 M 上の ファイバー束、すなわち k 次接束 を 形成します 。 これは文献ではしばしば T k Mと表記されます（ただし、この表記は混乱を招くことがあります） 。k = 1の場合 、1 次接束は通常の接束、つまり T 1 M = TM です。 J 0 k ( R , M ) p {\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}
T k M が 実際にファイバー束である ことを証明するには、 局所座標における の性質を調べることが有益です。( x i )= ( x 1 ,..., x n ) をp の 近傍 Uにおける M の局所座標系とします 。 表記法を少し乱用すると、( x i ) を局所微分同相写像 と 見なすことができます 。 J 0 k ( R , M ) p {\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}} ( x i ) : M → R n {\displaystyle (x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
主張。2 つの曲線 f と gが p を 法として 同値である ための必要十分条件は、 です E p k {\displaystyle E_{p}^{k}} J 0 k ( ( x i ) ∘ f ) = J 0 k ( ( x i ) ∘ g ) {\displaystyle J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\right)}
実際、 n 個の関数 x 1 ,..., x n のそれぞれがMから M への 滑らかな関数であるため、 唯一の条件 部分は明らかです。したがって、同値関係の定義により 、2つの同値な曲線は必ずMを持つ必要があります 。 R {\displaystyle {\mathbb {R} }} E p k {\displaystyle E_{p}^{k}} J 0 k ( x i ∘ f ) = J 0 k ( x i ∘ g ) {\displaystyle J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)} 逆に、 Mが p の近傍における M 上の滑らかな実数値関数であると仮定します 。すべての滑らかな関数は局所座標表現を持つため、Mを 座標内の関数として表すことができます。具体的には、 qが Mの p に近い 点である場合 、 φ {\displaystyle \varphi } φ {\displaystyle \varphi } φ ( q ) = ψ ( x 1 ( q ) , … , x n ( q ) ) {\displaystyle \varphi (q)=\psi (x^{1}(q),\dots ,x^{n}(q))} n 個の実変数の滑らかな実数値関数ψに対して。したがって、 pを 通る 2つの曲線 f と g に対して、次の式が成り立ちます。 φ ∘ f = ψ ( x 1 ∘ f , … , x n ∘ f ) {\displaystyle \varphi \circ f=\psi (x^{1}\circ f,\dots ,x^{n}\circ f)} φ ∘ g = ψ ( x 1 ∘ g , … , x n ∘ g ) {\displaystyle \varphi \circ g=\psi (x^{1}\circ g,\dots ,x^{n}\circ g)} 連鎖律は、主張の「 もし」 部分を証明します。例えば、 f と gが 実変数 t の関数である場合、 d d t ( φ ∘ f ) ( t ) | t = 0 = ∑ i = 1 n d d t ( x i ∘ f ) ( t ) | t = 0 ( D i ψ ) ∘ f ( 0 ) {\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\left(\varphi \circ f\right)(t)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x^{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_{i}\psi )\circ f(0)} これは、 f (0)= g (0)=pであり、 f と g が座標系( xi ) でk 次接触している ことを思い出すと、 f では なく g に対して評価した場合と同じ式になります したがって、表向きのファイバー束 T k Mは、 各座標近傍において局所自明化を許容する。この時点で、この表向きのファイバー束が実際にファイバー束であることを証明するには、座標変換の下で非特異な遷移関数を持つことを証明すれば十分である。を 異なる座標系とし、をユークリッド空間のそれ自身への 関連する 座標変換 微分同相写像とするとする。の アフィン変換 により、 一般性を失うことなく ρ(0)=0と仮定することができる 。この仮定のもとで、がジェット合成の下で可逆な変換であることを証明すれば十分である 。（ ジェット群 も参照。）しかし、ρは微分同相 写像であるため、も滑らかな写像である。したがって、 ( y i ) : M → R n {\displaystyle (y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}} ρ = ( x i ) ∘ ( y i ) − 1 : R n → R n {\displaystyle \rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}} R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} J 0 k ρ : J 0 k ( R n , R n ) → J 0 k ( R n , R n ) {\displaystyle J_{0}^{k}\rho :J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\rightarrow J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})} ρ − 1 {\displaystyle \rho ^{-1}}
I = J 0 k I = J 0 k ( ρ ∘ ρ − 1 ) = J 0 k ( ρ ) ∘ J 0 k ( ρ − 1 ) {\displaystyle I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})} これは 非特異であることを証明している。さらに、ここではその事実を証明しないが、滑らかである。 J 0 k ρ {\displaystyle J_{0}^{k}\rho }
直感的に、これは曲線のジェットを pを通して M 上の局所座標におけるテイラー級数で表すことができることを意味 する
ローカル座標の例:
前述のように、 p を通る曲線の 1 ジェット は接ベクトルです。p における接ベクトルは 、 p における滑らかな実数値関数に作用する 1 階微分 演算子 です。局所座標では、すべての接ベクトルは次の形をとります。 v = ∑ i v i ∂ ∂ x i {\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} このような接ベクトル v が与えられたとき、 f を x i 座標系 で で与えられる曲線とします 。φ が pの近傍で φ ( p ) = 0 となる 滑らかな関数である場合、 x i ∘ f ( t ) = t v i {\displaystyle x^{i}\circ f(t)=tv^{i}} φ ∘ f : R → R {\displaystyle \varphi \circ f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }} は 1 変数の滑らかな実数値関数であり、その 1 ジェットは で与えられます。 J 0 1 ( φ ∘ f ) ( t ) = ∑ i t v i ∂ φ ∂ x i ( p ) . {\displaystyle J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=\sum _{i}tv^{i}{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}(p).} これは、ある点における接ベクトルを、その点を通る曲線の 1 ジェットと自然に同一視できることを証明しています。 点 p を中心とする局所座標系 x i において、 p を通る曲線 f ( t ) の 2 階テイラー多項式は で表すことができます J 0 2 ( x i ( f ) ) ( t ) = t d x i ( f ) d t ( 0 ) + t 2 2 d 2 x i ( f ) d t 2 ( 0 ) . {\displaystyle J_{0}^{2}(x^{i}(f))(t)=t{\frac {dx^{i}(f)}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}(f)}{dt^{2}}}(0).} したがって、 x座標系では、 p を通る曲線の2次元ジェット は実数のリストと同一視されます 。点における接ベクトル（曲線の1次元ジェット）と同様に、曲線の2次元ジェットは座標遷移関数を適用すると変換則に従います。 ( x ˙ i , x ¨ i ) {\displaystyle ({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{i})} ( y i )を別の座標系とします。連鎖律により、 d d t y i ( f ( t ) ) = ∑ j ∂ y i ∂ x j ( f ( t ) ) d d t x j ( f ( t ) ) d 2 d t 2 y i ( f ( t ) ) = ∑ j , k ∂ 2 y i ∂ x j ∂ x k ( f ( t ) ) d d t x j ( f ( t ) ) d d t x k ( f ( t ) ) + ∑ j ∂ y i ∂ x j ( f ( t ) ) d 2 d t 2 x j ( f ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t))\\[5pt]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{k}(f(t))+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x^{j}(f(t))\end{aligned}}} したがって、変換則は、これらの2つの式を t = 0で評価することによって与えられます。 y ˙ i = ∑ j ∂ y i ∂ x j ( 0 ) x ˙ j y ¨ i = ∑ j , k ∂ 2 y i ∂ x j ∂ x k ( 0 ) x ˙ j x ˙ k + ∑ j ∂ y i ∂ x j ( 0 ) x ¨ j . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {y}}^{i}=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}\\[5pt]&{\ddot {y}}^{i}=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{j}.\end{aligned}}} 2次元ジェットの変換則は、座標遷移関数において2次であることに注意してください。
多様体から多様体への関数のジェット これで、多様体から多様体への関数のジェットを定義する準備ができました
M と N が 2つの滑らかな多様体であると仮定します 。p を M の点とします 。p のある近傍で定義された 滑らかな写像からなる 空間を考えます。次のよう に 同値関係を定義します 。2つの写像 f と gが 同値 であるとは、 p を通る任意の曲線 γ に対して （慣例により、これは となる写像であることを思い出してください ）、 0 のある近傍で が成り立つことを意味 し
ます C p ∞ ( M , N ) {\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)} f : M → N {\displaystyle f:M\rightarrow N} E p k {\displaystyle E_{p}^{k}} C p ∞ ( M , N ) {\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)} γ : R → M {\displaystyle \gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M} γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p} J 0 k ( f ∘ γ ) = J 0 k ( g ∘ γ ) {\displaystyle J_{0}^{k}(f\circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )}
ジェット空間は、 同値関係を法とする の同値類の集合として定義されます 。対象空間 N は 代数構造を持つ必要がないため、 もそのような構造を持つ必要がないことに注意してください。これは実際、ユークリッド空間の場合とは対照的です。 J p k ( M , N ) {\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)} C p ∞ ( M , N ) {\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)} E p k {\displaystyle E_{p}^{k}} J p k ( M , N ) {\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}
がp の 近くで定義された滑らかな関数である 場合 、 p 、 における f の k -ジェットを を法とする f の同値類と定義します 。 f : M → N {\displaystyle f:M\rightarrow N} J p k f {\displaystyle J_{p}^{k}f} E p k {\displaystyle E_{p}^{k}}
マルチジェット ジョン・マザーは マルチジェット 概念を導入しました 。大まかに言えば、マルチジェットとは、異なる基点上のジェットの有限リストです。マザーはマルチジェット 横断定理 を証明し、これを安定写像の研究で使用しました。
セクションのジェット Eが多様体 M 上の有限次元滑らかなベクトル束で 、射影が であると 仮定する 。すると、 E の切断は滑らかな関数であり 、 は M の 恒等自己 同型となる。点 p の近傍上の切断 s のジェットは、 この滑らかな関数の p における Mから E へのジェットである 。 π : E → M {\displaystyle \pi :E\rightarrow M} s : M → E {\displaystyle s:M\rightarrow E} π ∘ s {\displaystyle \pi \circ s}
p における切断のジェット空間 は で表される 。この表記は、2つの多様体間のより一般的な関数のジェット空間と混同される可能性があるが、文脈によって通常、そのような曖昧さは排除される。 J p k ( M , E ) {\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}
ある多様体から別の多様体への関数のジェットとは異なり、 p における切断のジェット空間は、切断自体のベクトル空間構造から継承されたベクトル空間の構造を持つ。p が M 上で変化すると 、 ジェット 空間 は M 上のベクトル束 、つまり E の k 次 ジェット束を形成し、 J k ( E ) で表される。 J p k ( M , E ) {\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}
ある点における局所座標で作業し、 アインシュタインの記法 を使用します。ベクトル場を考えてみましょう v = v i ( x ) ∂ / ∂ x i {\displaystyle v=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i}} M における p の近傍。 v の 1 ジェットは、 ベクトル場 の係数の 1 次テイラー多項式を取ることで得られる 。 J 0 1 v i ( x ) = v i ( 0 ) + x j ∂ v i ∂ x j ( 0 ) = v i + v j i x j . {\displaystyle J_{0}^{1}v^{i}(x)=v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}^{i}x^{j}.} x 座標において 、ある点における1次元ジェットは実数のリストと同一視できます。ある点における接ベクトルが、座標遷移における特定の変換則に従ってリスト( v i )と同一視できるのと同様に 、リストが 遷移によってどのように影響を受けるかを知る必要があります。 ( v i , v j i ) {\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})} ( v i , v j i ) {\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})} そこで、別の座標系 y i への変換則を考えてみましょう。w k を y 座標におけるベクトル場 v の係数とします 。すると、 y座標において、 v の1次元ジェット は実数の新しいリストになります 。 ( w i , w j i ) {\displaystyle (w^{i},w_{j}^{i})} v = w k ( y ) ∂ / ∂ y k = v i ( x ) ∂ / ∂ x i , {\displaystyle v=w^{k}(y)\partial /\partial y^{k}=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i},} となるので、 w k ( y ) = v i ( x ) ∂ y k ∂ x i ( x ) . {\displaystyle w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x).} したがって、 w k ( 0 ) + y j ∂ w k ∂ y j ( 0 ) = ( v i ( 0 ) + x j ∂ v i ∂ x j ) ∂ y k ∂ x i ( x ) {\displaystyle w^{k}(0)+y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)} したがって、 w k = ∂ y k ∂ x i ( 0 ) v i {\displaystyle w^{k}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(0)v^{i}} w j k = v i ∂ 2 y k ∂ x i ∂ x j + v j i ∂ y k ∂ x i . {\displaystyle w_{j}^{k}=v^{i}{\frac {\partial ^{2}y^{k}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+v_{j}^{i}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}.} テイラー級数で展開すると、
座標遷移関数において、変換則は2次であることに注意してください。
さらに詳しい情報：微分作用素 § 座標非依存記述
ラグランジアン系 参考文献 Krasil'shchik, I.S.、Vinogradov, AM, [et al.], Symmetries and conservative law for different equations of several several several languages , American Mathematical Society , Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X 。 Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Natural operations in different geometric. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4 、 ISBN 0-8218-0958-X 0-387-56235-4 Saunders, DJ, The Geometry of Jet Bundles , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7 Olver, PJ , Equivalence, Invariants and Symmetry , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1 サルダナシュヴィリー、G. 、 『理論家のための上級微分幾何学：ファイバー束、ジェット多様体、ラグランジアン理論』 、ランバート・アカデミック・パブリッシング、2013年、 ISBN 978-3-659-37815-7 
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{}&{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots \\[4pt]&\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b5c8ff0d19b07ea49c6f6b7d46cb12c1b6ae97)
![{\displaystyle {\mathbb {R} }[z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f283b3de3ace6a12d199a7262b90c365edfe8b9)
![{\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae48e6d04effad9c23264ba2f40e44d4fa4cc41)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}{\pmod {x^{4}}}\\[4pt]={}&-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a847a729fe937a7aa7d66f4bf115c9c73cabb4bd)
![{\displaystyle {\mathbb{R}}^{m}[z_{1},\dotsc,z_{n}]/(z_{1},\dotsc,z_{n})^{k+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ce9ccb81a146f7d4b12360ad7df9bddb598708)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t))\\[5pt]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{k}(f(t))+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x^{j}(f(t))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c225267e18a85ebcf7d831f796cfde342c7ed76)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {y}}^{i}=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}\\[5pt]&{\ddot {y}}^{i}=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{j}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8111a480dd176fc64defb48b1eee7fb8ef7afcc)
