アレクサンドロフ拡張

Way to extend a non-compact topological space

数学の位相幾何学の分野において、アレクサンドロフ拡大は、単一の点を接合して結果の空間がコンパクトになるようにすることで、非コンパクトな位相空間を拡張する方法である。これは、ロシアの数学者パベル・アレクサンドロフにちなんで名付けられている。より正確には、位相空間Xとする。すると、 Xのアレクサンドロフ拡大は、X *におけるXの補集合が単一の点 (通常は∞と表記) で構成されるような、開埋め込みc  :  X  →  X * を伴う特定のコンパクト空間X * である。写像cがハウスドルフ・コンパクト化である場合、かつその場合のみ、X は局所コンパクトで非コンパクトなハウスドルフ空間である。このような空間では、アレクサンドロフ拡大は1 点コンパクト化またはアレクサンドロフ・コンパクト化と呼ばれる。アレクサンドロフ・コンパクト化の利点は、その単純で多くの場合幾何学的に意味のある構造と、すべてのコンパクト化の中で正確な意味で最小であるという事実にある。欠点は、任意の位相空間に対して存在するストーン-チェフのコンパクト化とは異なり、局所コンパクトで非コンパクトであるハウスドルフ空間のクラスに対してのみハウスドルフのコンパクト化を与えるという点です（ただし、ティコノフ空間に対しては正確に埋め込みを提供します）。

例: 逆立体投影

1 点コンパクト化の幾何学的に魅力的な例は、逆ステレオ射影によって与えられます。ステレオ射影S は、単位球面から北極 (0,0,1) を除いたものからユークリッド平面への明示的な同相写像を与えることを思い出してください。逆ステレオ射影は、追加点 を接合することによって得られるコンパクト ハウスドルフ空間への開いた稠密な埋め込みです。ステレオ射影の下では、緯度円は平面円 にマッピングされます。したがって、穴の開いた球面キャップによって与えられたの削除された近傍基底は、閉じた平面ディスク の補集合に対応します。より定性的に言うと、 における近傍基底は、Kがのコンパクト部分集合を通る集合によって与えられます。この例には、一般的な場合の重要な概念がすでに含まれています。 ${\displaystyle S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}}$ ${\displaystyle \infty =(0,0,1)}$ ${\displaystyle z=c}$ ${\textstyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle c\leq z<1}$ ${\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

モチベーション

を位相空間Xからコンパクト ハウスドルフ位相空間Yへの埋め込みとし、ここで は稠密像 と 1 点剰余 とする。このとき、c ( X ) はコンパクト ハウスドルフ空間で開であり、したがって局所コンパクト ハウスドルフであるため、その同相逆像Xも局所コンパクト ハウスドルフである。さらに、Xがコンパクトであれば、 c ( X ) はYで閉じているため稠密ではない。したがって、空間がハウスドルフ 1 点コンパクト化を許容できるのは、局所コンパクト、非コンパクト、かつハウスドルフである場合のみである。さらに、このような 1 点コンパクト化では、Xにおけるxの近傍基底の像はc ( X )におけるc ( x )の近傍基底を与え、コンパクト ハウスドルフ空間の部分集合がコンパクトであるためには、かつそれが閉じている場合のみであるので、 の開近傍は、コンパクト補集合を持つXの部分集合のcによる像に隣接させることによって得られるすべての集合でなければならない。 ${\displaystyle c:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle \{\infty \}=Y\setminus c(X)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

アレクサンドロフ拡張

を位相空間とする。Xのすべての開集合と、C が X において閉コンパクトとなる形の集合をすべて開集合としてとり、を位相化する。ここで、 はにおけるの補集合を表す。は の開近傍であり、したがって の 任意の開被覆は のコンパクト部分集合を除くすべてを含むことに 注意すること。つまり、 はコンパクトであることを意味する(Kelley 1975, p. 150)。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle \{\infty \}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X^{*},}$ ${\displaystyle X^{*}}$

この空間はXのアレクサンドロフ拡大と呼ばれる（Willard, 19A）。包含写像にも同じ名前が使われることがある。 ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle c:X\to X^{*}.}$

上記の説明から、以下の特性がわかります。

• 写像cは連続かつ開写像である: Xを の開部分集合として埋め込みます。 ${\displaystyle X^{*}}$
• スペースはコンパクトです。 ${\displaystyle X^{*}}$
• Xが非コンパクトである場合、像c ( X ) は において稠密です。 ${\displaystyle X^{*}}$
• 空間がハウスドルフである場合、かつその場合のみ、Xはハウスドルフかつ局所コンパクトである。 ${\displaystyle X^{*}}$
• XがT ₁である場合に限り、空間は T ₁です。 ${\displaystyle X^{*}}$

一点コンパクト化

特に、アレクサンドロフ拡大がXのハウスドルフ・コンパクト化であることと、Xがハウスドルフかつ非コンパクトかつ局所コンパクトであることは同値である。この場合、これはXの一点コンパクト化またはアレクサンドロフ・コンパクト化と呼ばれる。 ${\displaystyle c:X\rightarrow X^{*}}$

上の議論から、1点剰余を持つ任意のハウスドルフ・コンパクト化は、必然的にアレクサンドロフ・コンパクト化と同型であることを思い出してください。特に、がコンパクト・ハウスドルフ空間であり、がの極限点（すなわちの孤立点ではない）である場合、は のアレクサンドロフ・コンパクト化です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$

X を任意の非コンパクト・ティコノフ空間とする。コンパクト化の同値類の集合上の自然な半順序のもとで、任意の極小元はアレクサンドロフ拡大と同値である (Engelking, 定理 3.5.12)。したがって、非コンパクト・ティコノフ空間が極小コンパクト化を許容することと、それが局所コンパクトであることは同値である。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$

非ハウスドルフ1点コンパクト化

を任意の非コンパクト位相空間とします。単一の点を追加することで得られる のすべてのコンパクト化（必ずしもハウスドルフではない）を決定したい場合があります。これは、この文脈では1 点コンパクト化とも呼ばれます。つまり、 が で稠密で、から誘導される上の部分空間位相が元の位相と同じであるようなコンパクト位相を与えるすべての可能な方法を決定したいことになります。位相に関する最後の適合性条件は、 がコンパクトでないため、 がで稠密であることを自動的に意味し、したがって、コンパクト空間で閉じることはできません。また、包含写像は必然的に開埋め込みであること、つまり はで開いていて、 上の位相はのすべての要素を含まなければならないことも事実です。^[1]したがって 上の位相はの近傍によって決定されます。 の任意の近傍は、前述のように、の閉じたコンパクト部分集合の における補集合でなければなりません。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c:X\to X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

をコンパクト化するトポロジーは次のとおりです。 ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

• 上で定義したのアレクサンドロフ拡大。ここで のすべての閉コンパクト部分集合の補集合を の近傍としてとります。これはの一点コンパクト化を実現する最大の位相です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$
• 開拡張位相。ここでは の近傍、すなわち空間 全体を追加します。これはの一点コンパクト化を実現する最小の位相です。 ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$
• 上記の2つの位相の中間の位相。近傍に対しては、のすべての閉コンパクト部分集合の補集合の適切な部分族を選ぶ必要がある。例えば、すべての有限閉コンパクト部分集合の補集合、あるいはすべての可算閉コンパクト部分集合の補集合などである。 ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X}$

その他の例

離散空間のコンパクト化

• 正の整数の集合の1点コンパクト化は、順序位相を持つK = {0} U {1/ n | nは正の整数}からなる空間に同相です。
• 位相空間 における数列が内の点に収束することと、におけるに対してで与えられる写像が連続であることは同値である。ここでは離散位相 を持つ。 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X}$ ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(\infty )=a}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• 多項式空間は、離散的かつ局所的にコンパクトなハウスドルフ空間の 1 点コンパクト化の累乗の連続像である位相空間として定義されます。

連続空間のコンパクト化

• n次元ユークリッド空間R ⁿの一点コンパクト化は、 n次元球面S ⁿに同相である。上述のように、写像はn次元逆立体射影として明示的に与えることができる。
• 半閉区間 [0,1) のコピーの積、つまり の 1 点コンパクト化は、 （と同相） です。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle [0,1)^{\kappa }}$ ${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$
• 連結部分集合の閉包は連結であるため、非コンパクト連結空間のアレクサンドロフ拡大は連結である。しかし、一点コンパクト化は連結されていない空間を「連結」することがある。例えば、区間 (0,1) の有限個のコピーの非連結和の一点コンパクト化は、円の楔形となる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• 区間 (0,1) の可算個数の重複部分を互いに素な和集合として一点にコンパクト化したものがハワイアンイヤリングである。これは、コンパクトではない可算個数の円の楔形とは異なる。
• コンパクトハウスドルフと の任意の閉部分集合が与えられたとき、 の1点コンパクト化はであり、ここでスラッシュは商空間を表す。^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle X/C}$
• とが局所コンパクトハウスドルフであるならば、スマッシュ積はとなる。スマッシュ積の定義を思い出してほしい。はウェッジ和であり、また / は商空間を表す。^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)}$ ${\displaystyle A\vee B}$

関数として

アレクサンドロフ拡大は、真連続写像を射とする位相空間の圏から、連続写像を対象とし、かつ から への射がとなる連続写像の対となるような圏への関手として捉えることができる。特に、同相空間は同型アレクサンドロフ拡大を持つ。後者は位相空間の矢印圏であり、区間圏 からの関手の圏として構成されることが多い。ここで、区間圏とは、2つの対象が単一の矢印で結ばれた圏である。 ${\displaystyle c\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}}$ ${\displaystyle f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}}$ ${\displaystyle f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}}$ ${\textstyle \operatorname {Arr} (\mathrm {Top} )=\operatorname {Func} (\mathrm {I} ,\mathrm {Top} )}$

参照

• ボーアのコンパクト化
• コンパクト空間 – 数学的空間の種類
• コンパクト化（数学）  - 位相空間をコンパクト空間に稠密な部分集合として埋め込む
• 終了（トポロジー）
• 拡張実数直線 – + と - の無限大が追加された実数
• 通常空間 – 位相空間の種類
• 尖端集合 – 集合論の基本概念
• リーマン球面 – 拡張された複素平面と無限遠点のモデル
• 立体投影 – 球面を平面に投影する特定のマッピング
• ストーン・チェフのコンパクト化 – 位相幾何学における概念
• ウォールマンコンパクト化– T ₁位相空間 のコンパクト化

注記

1. 「一般位相幾何学 - 非ハウスドルフ一点コンパクト化」。
2. Joseph J. Rotman , An Introduction to Algebraic Topology (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (証明については第 11 章を参照してください。)

参考文献

• Alexandroff、Pavel S. (1924)、「Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume」、Mathematische Annalen、92 ( 3–4 ): 294– 301、doi :10.1007/BF01448011、JFM  50.0128.04、S2CID  121699713
• ブラウン、ロナルド（1973）、「順次適切な写像と順次コンパクト化」、ロンドン数学会誌、シリーズ2、7 （ 3）：515-522、doi：10.1112/jlms/s2-7.3.515、Zbl  0269.54015

• Engelking、Ryszard (1989)、General Topology、Helderman Verlag Berlin、ISBN 978-0-201-08707-9、MR  1039321
• Fedorchuk, VV (2001) [1994]、「アレクサンドロフのコンパクト化」、数学百科事典、EMS Press
• ケリー、ジョン・L.（1975）、一般位相幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90125-1、MR  0370454
• マンクレス、ジェームズ（1999）、トポロジー（第2版）、プレンティスホール、ISBN 0-13-181629-2、Zbl  0951.54001
• ウィラード、スティーブン（1970）、一般位相幾何学、アディソン・ウェスレー、ISBN 3-88538-006-4、MR  0264581、Zbl  0205.26601

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