開水路の流れ

流体力学および水力学において、開水路流れは、水路と呼ばれる自由表面を持つ導管内における液体の流れの一種です。^{[ 1 ] [ 2 ]}導管内のもう1つの流れは管路流れです。これら2つの流れは多くの点で類似していますが、重要な点が1つ異なります。開水路流れには自由表面がありますが、管路流れには自由表面がないため、流れは重力によって支配され、水圧によって支配されません。

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フローの分類

開水路の流れは、時間と空間に対する流れの深さの変化に基づいて様々な方法で分類および記述できます。^{[ 3 ]}開水路水理学で扱われる基本的な流れの種類は次のとおりです。

• 基準としての時間
  • 安定した流れ
    • 流れの深さは時間の経過とともに変化しません。または、検討中の時間間隔中は一定であると想定できます。
  • 不安定な流れ
    • 流れの深さは時間とともに変化します。
• 基準としての空間
  • 均一な流れ
    • 流路のどの部分でも流れの深さは同じです。均一流は、深さが時間とともに変化するかどうかによって、定常流にも非定常流にもなります（ただし、非定常な均一流はまれです）。
  • 多様な流れ
    • 流れの深さは水路の長さに沿って変化します。変動する流れは、技術的には定常流と非定常流に分類されます。変動する流れはさらに、急激に変化する流れと徐々に変化する流れに分類されます。
      • 急速に変化する流れ
        • 比較的短い距離で水深が急激に変化します。流れが急激に変化する現象は局所的な現象として知られています。例としては、跳水現象や水力降下現象が挙げられます。
      • 徐々に変化する流れ
        • 距離が長いほど深さが変化します。
  • 連続フロー
    • 対象とする水路全域において、流量は一定です。これは定常流の場合によく見られます。この流れは連続的とみなされるため、連続定常流の連続の式を用いて記述できます。
  • 空間的に変化する流れ
    • 定常流の流量は水路に沿って不均一です。これは、水が流れの経路に沿って水路に出入りするときに発生します。水路に流入する流れの例としては、道路脇の側溝が挙げられます。水路から流出する流れの例としては、灌漑用水路が挙げられます。この流れは、連続の非定常流の連続の式を用いて記述できます。連続の非定常流は時間効果を考慮する必要があり、時間要素を変数として含みます。

フロー状態

開水路流れの挙動は、流れの慣性力に対する粘性と重力の影響によって決まります。表面張力の寄与はわずかで、ほとんどの場合、支配的な要因となるほど大きな役割を果たしません。自由表面が存在するため、一般に重力が開水路流れの最も重要な駆動力となります。したがって、慣性力と重力の比が最も重要な無次元パラメータです。^{[ 4 ]}このパラメータはフルード数と呼ばれ、次のように定義されます。ここで、 は平均速度、は水路の深さを表す特性長さスケール、は重力加速度です。レイノルズ数で表される慣性に対する粘性の影響に応じて、流れは層流、乱流、または遷移流のいずれかになります。ただし、レイノルズ数は粘性力を無視できるほど十分に大きいと仮定することが一般的に受け入れられます。^{[ 4 ]} $${\displaystyle {\text{Fr}}={U \over {\sqrt {gD}}}}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle g}$

処方

開水路流れにおいて有用な3つの量、すなわち質量、運動量、エネルギーの保存則を記述する方程式を定式化することが可能であり、これらの支配方程式は、成分 を持つ流速ベクトル場 の力学を考慮することで得られる。直交座標系において、これらの成分はそれぞれx軸、y軸、z軸の流速に対応する。 ${\displaystyle {\bf {v}}}$ ${\displaystyle {\bf {v}}={\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}}^{T}}$

方程式の最終的な形を単純化するために、いくつかの仮定を置くことは許容されます。

1. 流れは非圧縮性である（これは急速に変化する流れに対しては良い仮定ではない）
2. レイノルズ数は十分に大きいので粘性拡散は無視できる。
3. 流れはx軸に沿って1次元的である

連続方程式

質量保存を記述する 一般的な連続の方程式は、次の形式をとります。ここでは流体の密度、は発散演算子です。一定の制御体積を持つ非圧縮性の流れを仮定すると、この方程式は という簡単な式になります。ただし、断面積はチャネル内で時間と空間の両方によって変化する可能性があります。連続の方程式の積分形式から始めると、体積積分を断面積と長さに分解することができ、次の形式になります。非圧縮性の 1D 流れを仮定すると、この方程式は次のようになります。に注目し、体積流量を定義すると、方程式は次のように簡約されます。最終的に、これは非圧縮性の 1D 開チャネル流れの連続の方程式につながります。 $${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nabla \cdot ()}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {v}}=0}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV}$$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx}$$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx}$$ ${\displaystyle \int _{A}dA=A}$ ${\displaystyle Q=\int _{A}u\;dA}$ $${\displaystyle \int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx}$$

${\displaystyle {\partial A \over {\partial t}}+{\partial Q \over {\partial x}}=0}$

運動量方程式

開水路流れの運動量方程式は、非圧縮性ナビエ・ストークス方程式から始めることで求めることができます 。ここでは圧力、は動粘性、はラプラス演算子、は重力ポテンシャルです。高レイノルズ数と 1D 流れの仮定を適用すると、次の方程式が得られます。2 番目の方程式は静水圧を意味し、水路深は自由表面標高と水路底の差です。最初の方程式に代入すると、次の式が得られます。ここで水路床の勾配 です。水路の堤防に沿ったせん断応力を考慮するために、力の項を次のように定義できます。ここではせん断応力、は水力半径です。摩擦損失を定量化する方法として摩擦勾配 を定義すると、最終的な運動量方程式の形が得られます。 $${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{Inertial Acceleration}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{Diffusion}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{Gravity}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{Forces}}\end{smallmatrix}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi =gz}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p=\rho g\zeta }$ ${\displaystyle \eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z_{b}}$ $${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}}$$ ${\displaystyle S=-dz_{b}/dx}$ $${\displaystyle F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S_{f}=\tau /\rho gR}$

${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}+g(S_{f}-S)=0}$

エネルギー方程式

エネルギー方程式 を導くために、移流加速項は以下のように分解できることに注意されたい。ここで、 は流れの渦度、 はユークリッドノルムである。これは、外力項を無視した運動量方程式の形につながり、以下のように表される。をこの方程式とドット積すると、次のようになる。 この方程式は、スカラー三重積を用いて得られた。をエネルギー密度と定義する。が時間に依存しないことに注意すると、次の方程式が得られる。エネルギー密度が時間に依存せず、流れが 1 次元であると仮定すると、次のように簡略化される。 が定数である状態で、これはベルヌーイの定理と同等である。開水路流れにおいて特に重要なのは比エネルギーであり、これは以下のように定義される水頭を計算するために使用される。 ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf {v}}\|^{2}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}}$$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0}$$ $${\displaystyle E+p=C}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e=E/\rho g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e+{p \over {\rho g}}\\&={u^{2} \over {2g}}+z+{p \over {\gamma }}\end{aligned}}}$

は比重です。しかし、現実的なシステムでは、運動量方程式の外力項を無視することで無視される摩擦と乱流によるエネルギー損失を考慮するために、損失水頭項を追加する必要があります。 ${\displaystyle \gamma =\rho g}$ ${\displaystyle h_{f}}$

参照

• HEC-RAS
• 流量
• 研究分野
  • 計算流体力学
  • 流体力学
  • 油圧
  • 水文学
• 流体の流れの種類
  • 層流
  • パイプフロー
  • 遷移の流れ
  • 乱流
• 流体特性
  • フルード数
  • レイノルズ数
  • 粘度
• その他の関連記事
  • シェジー式
  • ダルシー・ワイスバッハ方程式
  • 油圧ジャンプ
  • マニング式
  • サン・ヴナン方程式
  • 標準ステップ法

参考文献

1. Chow, Ven Te (2008).開水路水理学(PDF) . カルドウェル, ニュージャージー州: ブラックバーン・プレス. ISBN 978-1932846188。
2. Battjes, Jurjen A.; Labeur, Robert Jan (2017).開水路における非定常流れ. ケンブリッジ大学出版局, イギリス. ISBN 9781316576878。
3. Jobson, Harvey E.; Froehlich, David C. (1988).開水路流の基本水理原理(PDF) . バージニア州レストン：米国地質調査所.
4. スターム、テリー・W. (2001).開水路水理学(PDF) . ニューヨーク、NY: マグロウヒル. p. 2. ISBN 9780073397870。

さらに読む

• 根津家久、中川博司 (1993).開水路流れにおける乱流. IAHRモノグラフ. ロッテルダム、オランダ: AA Balkema. ISBN 9789054101185。
• Syzmkiewicz, Romuald (2010).開水路水理における数値モデリング. 水科学技術図書館. ニューヨーク: Springer. ISBN 9789048136735。

外部リンク

• カリフォルニア工科大学の講義ノート:
  • 開水路流れ方程式の導出
  • 定常流路流れの表面プロファイル
• 開水路の流れ
• 開水路流れの概念
• ハイドロリックジャンプとは何ですか?
• 開水路の流れの例
• 乱流のシミュレーション（p. 26-38）

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