カバー（トポロジー）

集合全体と等しい部分集合

数学、特に集合論において、集合の被覆（または被覆）^[1]とは、 の和集合全体が となるの部分集合の族のことである。より正式には、 が（集合 で添字付けされた）部分集合の族である場合 、が の被覆である。したがって、 の各要素が少なくとも1つの部分集合に属する場合、集合 はの被覆である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ ${\displaystyle U_{\alpha }\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=X.}$$ ${\displaystyle \lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

意味

被覆は位相幾何学の文脈でよく用いられる。集合 が位相空間である場合、 の被覆とはの部分集合の集合であり、その和は空間 全体となる。この場合、は を被覆する、あるいは集合 はを被覆すると言われる。^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$

が の（位相的）部分空間である場合、 の被覆はの部分集合の集合であり、その和集合には が含まれる。つまり、が の被覆である場合 、は の被覆となる。ここで、は自身の集合、または親空間 の集合で被覆される可能性がある。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

の被覆は、のすべての点がその被覆内の有限個の集合とのみ交差する近傍を持つとき、局所有限であると言われる。正式には、が局所有限であるとは、任意の に対して、集合が有限となるようなの近傍が存在するときである。 の被覆は、のすべての点が被覆内の有限個の集合のみに含まれるとき、点有限であると言われる。 ^[1]被覆は局所有限であれば点有限であるが、その逆は必ずしも真ではない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

サブカバー

を位相空間 の被覆とする。の部分被覆とは の部分集合であって を被覆するものをいう。この被覆は と呼ばれる。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$開被覆とは、その各要素が開集合。つまり、各要素がに含まれ、が 上の位相であることを意味する。^[1] ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

部分被覆を得るための簡単な方法は、被覆内の別の集合に含まれる集合を省略することです。特に開被覆を考えてみましょう。 を の位相基底とし、を の開被覆とします。まず、 を取ります。次に、を精緻化します。次に、 それぞれに対して、を含む を選択できます（選択公理が必要です）。次に、は の部分被覆です。したがって、開被覆の部分被覆の濃度は、任意の位相基底の濃度と同じくらい小さくすることができます。したがって、2番目の可算性は、空間がリンデレフ であることを意味します。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$

洗練

位相空間の被覆の精緻化とは、の任意の集合が の何らかの集合に含まれるようなの新しい被覆である。正式には、 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$は、すべての場合において、 ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \beta \in B}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

言い換えれば、任意のに対してを満たす細分化写像 が存在する。この写像は、例えば、 のチェフコホモロジーで使用されている。^[2] ${\displaystyle \phi :B\to A}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$ ${\displaystyle \beta \in B.}$ ${\displaystyle X}$

全てのサブカバーはリファインメントでもありますが、その逆は必ずしも真ではありません。サブカバーはカバーに含まれる集合から、その一部を省略して作成されます。一方、リファインメントはカバーに含まれる集合のサブセットである集合から作成されます。

の被覆集合上の細分関係は推移的かつ反射的、すなわち前順序関係である。これはに対して非対称となることはない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\neq \emptyset }$

一般的に言えば、ある構造の細分化とは、ある意味でその構造を含む別の構造のことです。例としては、区間の分割（の細分化の一つは）や位相（ユークリッド空間における標準位相は自明位相の細分化である）などが挙げられます。単体複体の細分化（単体複体の最初の重心細分化は細分化である）の場合、状況は少し異なります。より細かい複体のあらゆる単体は、より粗い複体のいずれかの単体の面であり、どちらも同じ基底多面体を持ちます。 ${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$

洗練のもう一つの概念は、スター洗練です。

コンパクトさ

被覆の言語は、コンパクト性に関連するいくつかの位相的性質を定義するためにしばしば用いられる。位相空間は次のように説明される。 ${\displaystyle X}$

• すべての開被覆に有限の部分被覆がある場合（または、すべての開被覆に有限の細分がある場合と同等）、コンパクトである。
• Lindelöf は、すべての開被覆に可算な部分被覆がある場合 (または、すべての開被覆に可算な細分がある場合) を示します。
• メタコンパクト: すべての開被覆が点有限の開細分化を持つ場合;
• パラコンパクト：すべての開被覆が局所有限開細分化を許容する場合；そして
• オルトコンパクト: すべての開被覆に内部を保存する開細分化がある場合。

その他のバリエーションについては上記の記事を参照してください。

カバー寸法

位相空間が被覆次元を持つとは、 のすべての開被覆が有限点開細分化を持ち、その細分化において以上の集合に の点が含まれず、かつ がこれが成り立つ最小値であることを意味する。^[3]そのような極小値が存在しない場合は、その空間は無限被覆次元を持つという。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

参照

• アトラス（位相幾何学）  – 多様体を説明する図表のセット
• ボルノロジー – 有界性の数学的一般化
• 被覆空間 – 位相における連続写像の種類
• グロタンディーク位相幾何学 – 数学的構造
• 集合の分割 – 集合の要素をグループ化する数学的な方法
• 集合被覆問題 – 組合せ論における古典的な問題
• スターの洗練
• サブ舗装 – 幾何学的オブジェクト

参考文献

1. ウィラード、スティーブン (1998). 一般位相幾何学.ドーバー出版. p. 104. ISBN 0-486-43479-6。
2. Bott, Tu (1982).代数的位相幾何学における微分形式. p. 111.
3. マンクレス、ジェームズ(1999).トポロジー（第2版）.プレンティス・ホール. ISBN 0-13-181629-2。

• 位相幾何学入門第2版、セオドア・W・ガメリン＆ロバート・エヴァリスト・グリーン著。ドーバー出版、1999年。ISBN 0-486-40680-6
• ケリー, ジョン・L. (1975) [1955].一般位相幾何学.大学院数学テキスト. 第27巻（第2版）. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  1365153。

外部リンク

• 「（集合の）被覆」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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