フレドホルム演算子

Part of Fredholm theories in integral equations

数学において、フレドホルム作用素（フレドホルムこうそく）は、積分方程式のフレドホルム理論において現れる特定の作用素である。エリック・イヴァル・フレドホルムにちなんで名付けられた。定義により、フレドホルム作用素は、有限次元核と有限次元（代数的）余核を持ち、閉範囲を持つ2つのバナッハ空間間の有界線型作用素T  :  X  →  Yである。最後の条件は実際には冗長である。^[1] ${\displaystyle \ker T}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} T=Y/\operatorname {ran} T}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} T}$

フレドホルム演算子のインデックスは整数である

${\displaystyle \operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {codim} \operatorname {ran} T}$

言い換えれば、

${\displaystyle \operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {dim} \operatorname {coker} T.}$

プロパティ

直感的に言えば、フレドホルム作用素とは「有限次元効果を無視すれば」可逆な作用素である。形式的に正しい記述は以下の通りである。バナッハ空間 と間の有界作用素がフレドホルム作用素であるための必要十分条件は、それがコンパクト作用素を法として可逆であることである。つまり、有界線型作用素が存在する場合である。 ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle S:Y\to X}$

そういう

${\displaystyle \mathrm {Id} _{X}-ST\quad {\text{and}}\quad \mathrm {Id} _{Y}-TS}$

はそれぞれ、および上のコンパクト演算子です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

フレドホルム作用素はわずかに修正されてもフレドホルム作用素のままであり、その指数は変化しない。公式には、 からまでのフレドホルム作用素の集合は、作用素ノルムを備えた有界線型作用素のバナッハ空間において開であり、指数は局所的に一定である。より正確には、からまでの がフレドホルム作用素であるとき、 の任意の が存在し、がフレドホルムであり、 の指数と同じである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle ||T-T_{0}||<\varepsilon }$ ${\displaystyle T_{0}}$

Fredholmが からまでで、Fredholmがから までの場合、合成はFredholmが からまでで、 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U\circ T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \operatorname {ind} (U\circ T)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T).}$

がフレドホルムのとき、転置（または随伴）演算子はから へフレドホルムであり、 および です。とがヒルベルト空間のとき、エルミート随伴に対して同じ結論が成り立ちます。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle {\text{ind}}(T')=-{\text{ind}}(T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T^{*}}$

がフレドホルムであり、コンパクト作用素であるとき、はフレドホルムである。 の指数は、 のこのようなコンパクト摂動の下では変化しない。これは、指数が における任意の に対して定義される整数であり、局所的に一定であるという事実から導かれる。したがって、 である。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T+K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\text{ind}}(T+sK)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\text{ind}}(T+sK)}$ ${\displaystyle {\text{ind}}(T)={\text{ind}}(T+sK)}$

摂動による不変性は、コンパクト作用素のクラスよりも大きなクラスに対して成り立ちます。例えば、がフレドホルム作用素で、厳密に特異な作用素である場合、同じ添え字を持つフレドホルム が成り立ちます。^{[2]厳密に特異な作用素のクラスを適切に含む}非本質的作用素 のクラス は、フレドホルム作用素の「摂動クラス」です。これは、作用素が非本質的である場合、かつその場合のみ、任意のフレドホルム作用素 に対して がフレドホルムであることを意味します。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T+U}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle T+U}$ ${\displaystyle U\in B(X,Y)}$

例

とをヒルベルト空間とする。がフレドホルム分解であるとき、分解はと の間の双連続一対一であり、フレドホルム分解であるためには、両方とも有限次元でなければならない。適切な直交基底を選ぶことで、は行列表現 を持つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ $${\displaystyle X=\ker T\oplus (\ker T)^{\perp },\quad Y=\operatorname {ran} T\oplus (\operatorname {ran} T)^{\perp }}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (\ker T)^{\perp },\operatorname {ran} T}$ ${\displaystyle \ker T,(\operatorname {ran} T)^{\perp }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0_{\operatorname {dim} \operatorname {coker} T\times \dim \ker T}&0\\0&\ddots \end{bmatrix}}}$

非負整数で添​​え字付けされた直交基底を持つヒルベルト空間とする。H上の片側シフト作用素Sは次のように定義される。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{e_{n}\}}$

${\displaystyle S(e_{n})=e_{n+1},\quad n\geq 0.\,}$

この作用素Sは単射（実際には等長）であり、余次元1の閉範囲を持つため、Sは のフレドホルム作用素である。、、 のべき乗は の指数を持つフレドホルム作用素である。随伴作用素S*は左シフトである。 ${\displaystyle \operatorname {ind} (S)=-1}$ ${\displaystyle S^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle -k}$

${\displaystyle S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1.\,}$

左シフトS*はインデックス 1 の Fredholm です。

Hが複素平面上の単位円T上の古典的なハーディ空間 である場合、複素指数関数の直交基底に関するシフト演算子は ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle e_{n}:\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\in \mathbf {T} \mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt},\quad n\geq 0,\,}$

は関数 の乗算演算子M _φです。より一般的には、φ をT上の複素連続関数で上では零にならないものとし、T _φを記号φを持つテプリッツ演算子とします。これはφ を乗じて φを直交射影したものに等しいものとします。 ${\displaystyle \varphi =e_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle P:L^{2}(\mathbf {T} )\to H^{2}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle T_{\varphi }:f\in H^{2}(\mathrm {T} )\mapsto P(f\varphi )\in H^{2}(\mathrm {T} ).\,}$

すると、T _φは 上のフレドホルム演算子となり、そのインデックスは閉経路の 0 の周りの巻数に関連付けられます。この記事で定義されているT _φのインデックスは 、この巻数の逆になります。 ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]\mapsto \varphi (e^{it})}$

アプリケーション

閉多様体上の任意の楕円型作用素はフレドホルム作用素に拡張できる。偏微分方程式におけるフレドホルム作用素の使用は、パラメトリックス法の抽象形である。

アティヤ・シンガー指数定理は、多様体上の特定の演算子の指数の位相的な特徴付けを与えます。

アティヤ・イェーニヒの定理は、コンパクト位相空間XのK 理論 K ( X ) を、 Xからフレドホルム作用素H → Hの空間への連続写像のホモトピー類の集合と同一視する。ここで、Hは可分ヒルベルト空間であり、これらの作用素の集合は作用素ノルムを持つ。

一般化

セミフレドホルム演算子

有界線型作用素Tは、その値域が閉じており、 、 の少なくとも一方が有限次元である とき、半フレドホルム作用素と呼ばれる。半フレドホルム作用素の場合、指数は次のように定義される。 ${\displaystyle \ker T}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} T}$

${\displaystyle \operatorname {ind} T={\begin{cases}+\infty ,&\dim \ker T=\infty ;\\\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T,&\dim \ker T+\dim \operatorname {coker} T<\infty ;\\-\infty ,&\dim \operatorname {coker} T=\infty .\end{cases}}}$

無制限演算子

非有界フレドホルム作用素を定義することもできる。XとYを2つのバナッハ空間とする。

1. 閉線形演算子は 、その定義域が において稠密であり、その値域が閉じており、Tの核と余核が両方とも有限次元である場合にフレドホルム演算子と呼ばれます。 ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(T)}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle T:\,X\to Y}$は、その定義域が において稠密であり、その値域が閉じており、Tの核または余核のいずれか（または両方）が有限次元である場合、半フレドホルムと呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(T)}$ ${\displaystyle X}$

上で述べたように、閉じた演算子の値域は、コカーネルが有限次元である限り閉じています (Edmunds と Evans、定理 I.3.2)。

注記

1. アブラモビッチ、ユーリ・A.; アリプランティス、チャラランボス・D. (2002). 『作用素論への招待』 数学大学院研究科 第50巻 アメリカ数学会 p. 156. ISBN 978-0-8218-2146-6。
2. 加藤 俊雄 (1958). 「線型作用素のヌル性欠損とその他の量に関する摂動論」. Journal d'Analyse Mathématique . 6 : 273–322 . doi :10.1007/BF02790238. S2CID  120480871.

参考文献

• DE EdmundsとWD Evans（1987）『スペクトル理論と微分作用素』オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-853542-2。
• AG Ramm、「フレドホルム代替法の簡単な証明とフレドホルム演算子の特徴付け」、American Mathematical Monthly、108 (2001) p. 855 (注: この論文では、「フレドホルム演算子」という語は「指数 0 のフレドホルム演算子」を指します)。
• ワイスタイン、エリック・W.「フレドホルムの定理」。MathWorld。
• BV Khvedelidze (2001) [1994]、「フレドホルムの定理」、数学百科事典、EMSプレス
• Bruce K. Driver、「コンパクト演算子とフレドホルム演算子およびスペクトル定理」、Analysis Tools with Applications、第 35 章、pp. 579–600。
• Robert C. McOwen、「完全リーマン多様体上の偏微分方程式のフレドホルム理論」、Pacific J. Math. 87、第1号（1980年）、169-185。
• Tomasz Mrowka, 線型解析入門：フレドホルム演算子、多様体の幾何学、2004年秋（マサチューセッツ工科大学：MIT OpenCouseWare）

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