反対グループ

これは、ある群からその反対の群への二項演算の自然な変換です。⟨ g ₁、g ₂ ⟩は、2つの群の要素の順序付きペアを表します。*' は、+ の自然に誘導される加算と見なすことができます。

数学の一分野である群論において、反対群とは、別の群から群を構築し、右作用を左作用の特殊なケースとして定義できるようにする方法である。

モノイド、群、環、代数は、単一の対象を持つ圏として見ることができます。反対圏の構成は、反対群、反対環など を一般化します。

意味

を演算による群とする。の反対群 はと同じ基礎集合を持ち、その群演算は によって定義される。^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathbin {\ast '}}}$ ${\displaystyle g_{1}{\mathbin {\ast '}}g_{2}=g_{2}*g_{1}}$

がアーベル群ならば、その反対群 と等しい。また、すべての群（必ずしもアーベル群ではない）は、その反対群 と自然に同型である。同型は によって与えられる。より一般的には、任意の反自己同型はを介し​​て対応する同型を生じる。なぜなら、 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi :G\to G^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle \varphi (x)=x^{-1}}$ ${\displaystyle \psi :G\to G}$ ${\displaystyle \psi ':G\to G^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle \psi '(g)=\psi (g)}$

${\displaystyle \psi '(g*h)=\psi (g*h)=\psi (h)*\psi (g)=\psi (g){\mathbin {\ast '}}\psi (h)=\psi '(g){\mathbin {\ast '}}\psi '(h).}$

集団行動

を何らかのカテゴリの対象とし、を右作用とする。すると、 は、 、またはによって定義される左作用 となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (X)}$ ${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }:G^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Aut} (X)}$ ${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }(g)x=x\rho (g)}$ ${\displaystyle g^{\mathrm {op} }x=xg}$

参照

1. クラーク、アラン『​​抽象代数の要素』ドーバー出版、18ページ、ISBN 0-486-64725-0。

参照

• 反対側のリング
• 反対のカテゴリー

外部リンク

• http://planetmath.org/oppositegroup

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