オービフォールド記法

Notation for 2-dimensional spherical, euclidean and hyperbolic symmetry groups

幾何学において、オービフォールド記法（オービフォールドシグネチャ）は、数学者ウィリアム・サーストンによって考案され、ジョン・コンウェイによって提唱された、定曲率二次元空間における様々な対称群を表すための体系である。この記法の利点は、これらの群の多くの性質を示す方法で記述できることである。特に、ユークリッド空間を対象群で割った商をとることで得られるオービフォールドを記述する点で、ウィリアム・サーストンの手法に従っている。

この表記法で表現できる群には、球面上の点群( )、ユークリッド平面上のフリーズ群と壁紙群( )、および双曲平面上のそれらの類似群( )が含まれます。 ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle E^{2}}$ ${\displaystyle H^{2}}$

表記法の定義

オービフォールド記法で記述されたグループでは、次のタイプのユークリッド変換が発生する可能性があります。

• 線（または平面）を通した反射
• ベクトルによる平行移動
• 点の周りの有限順序の回転
• 3次元空間における直線の周りの無限回転
• グライド反射、つまり反射の後に平行移動が行われます。

発生するすべての変換は、記述されているグループ対称性の離散サブグループを形成すると想定されます。

各グループは、次の記号から構成される有限の文字列によってオービフォールド表記で表されます。

• 正の整数 ${\displaystyle 1,2,3,\dots }$
• 無限大記号、 ${\displaystyle \infty }$
• アスタリスク、*
• 記号o（古い文献では実線の円）は、トーラス（1ハンドル）の閉面を位相的に表すため、不思議記号、あるいはハンドルとも呼ばれます。パターンは2回の移動で繰り返されます。
• このシンボル(古い文書では開いた円) は奇跡と呼ばれ、パターンが鏡像線と交差せずに鏡像として繰り返される位相的なクロスキャップを表します。 ${\displaystyle \times }$

太字で書かれた文字列は、ユークリッド三次元空間の対称性の群を表します。太字で書かれていない文字列は、ユークリッド平面の対称性の群を表し、2つの独立した並進を含むと仮定されます。

各シンボルは個別の変換に対応します。

• アスタリスクの左側の整数nは、回転点の周りのn次の回転を示す。
• アスタリスク*は反射を示す
• アスタリスクの右側の整数nは、万華鏡のような点の周りを回転し、直線（または平面）を介して反射する2n次の変換を示します。
• は滑走反射を示す ${\displaystyle \times }$
• この記号は直線を中心とした無限回転対称性を表します。これは太字のグループにのみ存在します。言葉の乱用により、このようなグループはユークリッド平面の対称性の、唯一の独立した並進運動を持つ部分群であると言えるかもしれません。フリーズグループはこのようにして発生します。 ${\displaystyle \infty }$
• 例外的な記号o は、正確に 2 つの線形独立な変換が存在することを示します。

良いオルビフォールド

オービフォールド記号は、 p、pq、 * p、 * pq （ p、q ≥ 2、p ≠ qの場合）のいずれにも該当しない場合に良好と呼ばれます。

キラリティーとアキラリティー

ある物体がカイラルであるのは、その対称群に反射が含まれない場合である。そうでない場合、その物体はアキラルである。対応するオービフォールドは、カイラルな場合には向き付け可能であり、そうでない場合は向き付け不可能である。

オイラー特性と順序

オービフォールドのオイラー特性は、コンウェイ記号から以下のように読み取ることができます。それぞれの特性には値があります。

• アスタリスクなしまたはアスタリスクの前のnは ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}}$
• アスタリスクの後のnは ${\displaystyle {\frac {n-1}{2n}}}$
• アスタリスクを付けて1としてカウント ${\displaystyle \times }$
• o は2 としてカウントされます。

これらの値の合計を 2 から引くと、オイラー特性が得られます。

特徴値の合計が2の場合、位数は無限大です。つまり、この表記法は壁紙グループまたはフリーズグループを表します。実際、コンウェイの「魔法の定理」によれば、17個の壁紙グループは、特徴値の合計が2であるグループと全く同じです。それ以外の場合、位数は2をオイラー標数で割った値になります。

平等なグループ

次のグループは同型です。

• 1*と*11
• 22と221
• *22と*221
• 2*と2*1。

これは、1 倍回転が「空の」回転であるためです。

2次元グループ

並進対称性を持たない2次元物体の対称性は、対称性を損なうことなく、また対称性を損なうことのない3次元を追加することで、3次元対称性型で記述できます。例えば、2次元画像の場合、その画像を片面に表示した段ボール箱を考えてみましょう。段ボール箱の形状は対称性を損なわない形状であるべきです。あるいは、無限に広がると想像できます。したがって、n • と * n • となります。1次元および2次元のグループに黒丸(•) を追加するのは、固定点の存在を示すためです。(3次元では、これらのグループはn次元の二角形オービフォールド内に存在し、nnおよび * nnと表されます。)

同様に、1次元の画像を段ボール箱に水平に描くこともできますが、画像の線に対する追加の対称性を避けるための措置、例えば画像の下に水平線を描くなどの措置が必要です。したがって、1次元における離散対称群は*•、*1•、∞•、*∞•です。

対称性を記述するために 1D または 2D オブジェクトから 3D オブジェクトを構築する別の方法は、それぞれオブジェクトと非対称の 2Dオブジェクトまたは 1D オブジェクトの直積を取ることです。

対応表

球状

反射3次元点群の基本領域

(*11) C 1v = C s	(*22) C 2v	(*33) C 3v	(*44)、C 4v	(*55)、C 5V	（*66）、C 6v
注文2	注文4	注文6	注文番号8	注文番号 10	注文番号12
(*221)、D 1h = C 2v	(*222)、D 2時間	(*223)、D 3時間	(*224)、D 4時間	(*225)、D 5時間	(*226)、D 6時間
注文4	注文番号8	注文番号12	命令16	注文番号20	命令24
(*332)、T d		(*432)、ああ		(*532)、私は
命令24		命令48		注文番号120

球対称群^[1]

オービフォールド 署名	コクセター	シェーンフライス	ヘルマン・モーガン	注文
多面体群
*532	[3,5]	私は	53分	120
532	[3,5] +	私	532	60
*432	[3,4]	おお​	m3m	48
432	[3,4] +	お	432	24
*332	[3,3]	T d	4 3m	24
3*2	[3 + ,4]	T h	立方メートル	24
332	[3,3] +	T	23	12
二面体群と巡回群: n = 3、4、5...
*22n	[2,n]	D nh	n/mmmまたは2 n m2	4n
2*n	[2 + ,2n]	D nd	2 n 2mまたはn m	4n
22n	[2,n] +	D n	n2	2n
*んん	[名詞]	C nv	ナノメートル	2n
n*	[n + ,2]	C nh	n/mまたは2 n	2n
n×	[2 + ,2n + ]	S 2n	2 nまたはn	2n
んん	[n] +	C n	n	n
特殊なケース
*222	[2,2]	D 2時間	2/mmmまたは2 2 m2	8
2*2	[2 + ,4]	D 2d	2 2 2mまたは2m	8
222	[2,2] +	D2​	22	4
*22	[2]	C 2v	2メートル	4
2*	[2 + ,2]	C 2時間	2/mまたは2 2	4
2×	[2 +、4 + ]	S4​	2 2または2	4
22	[2] +	C 2	2	2
*22	[1,2]	D 1h = C 2v	1/mmmまたは2 1 m2	4
2*	[2 + ,2]	D 1d = C 2h	2 1 2mまたは1m	4
22	[1,2] +	D 1 = C 2	12	2
*1	[ ]	C 1v = C s	1メートル	2
1*	[2,1 + ]	C 1h = C s	1/mまたは2 1	2
1×	[2 + ,2 + ]	S 2 = C i	2 1または1	2
1	[ ] +	C 1	1	1

ユークリッド平面

フリーズグループ

フリーズグループ

IUC	コックス。	シェーン。*	オービフォールド	図§	例と コンウェイのニックネーム[2]		説明
1ページ目	[∞] +	C ∞ Z ∞	∞∞			ホップ	(T) 移動のみ: このグループは、パターンが周期的になる最小の距離の移動によって単独で生成されます。
11ページ	[∞ + ,2 + ]	S ∞ Z ∞	∞×			ステップ	(TG) グライド反射と変換: このグループは、グライド反射によって単独で生成され、変換は 2 つのグライド反射を組み合わせることによって得られます。
p1m1	[∞]	C ∞v ディフ∞	*∞∞			横に	(TV) 垂直反射線と並進: この群は 1 次元の場合の非自明な群と同じで、並進と垂直軸の反射によって生成されます。
2ページ目	[∞,2] +	D ∞ ディフ∞	22∞			スピニングホップ	(TR) 平行移動と 180 度回転: グループは平行移動と 180 度回転によって生成されます。
p2mg	[∞,2 + ]	D ∞d ディフ∞	2*∞			スピニングサイドル	(TRVG) 垂直反射線、グライド反射、平行移動、および 180 度回転: ここでの平行移動はグライド反射から発生するため、このグループはグライド反射と回転または垂直反射によって生成されます。
p11m	[∞ + ,2]	C ∞h Z ∞ ×Dih 1	∞*			ジャンプ	(THG) 並進、水平反射、滑走反射： このグループは並進と水平方向の反射によって生成されます。ここでの滑走反射は、並進と水平反射の合成として生じます。
p2mm	[∞,2]	D ∞h Dih ∞ ×Dih 1	*22∞			回転ジャンプ	(TRHVG) 水平および垂直の反射線、変換、および 180 度回転: このグループには 3 つのジェネレータが必要です。1 つの生成セットは、変換、水平軸の反射、および垂直軸を越えた反射で構成されます。

^*シェーンフライスの点群記法は、ここでは同値な二面体点対称性の無限の場合として拡張される。

^§この図では、1 つの基本ドメインが黄色で示され、反射線が青色、グライド反射線が緑色の破線、並進法線が赤色、2 倍の回転点が小さな緑色の四角形で示されています。

壁紙グループ

ユークリッド反射群の基本領域

(*442)、p4m	(4*2)、p4g
(*333)、p3m	（632）、6ページ

17の壁紙グループ^[3]

オービフォールド 署名	コクセター	ヘルマン・ モーガン	シュパイザー・ ニグリ	ポリア ・グッゲンハイン	フェイェス・トス・ キャドウェル
*632	[6,3]	p6m	C （I）6v	D6​	W 1 6
632	[6,3] +	6ページ	C （I）6	C6​	W 6
*442	[4,4]	p4m	C （I）4	D * 4	W 1 4
4*2	[4 + ,4]	p4g	C II 4v	4回行う	W 2 4
442	[4,4] +	4ページ目	C （I）4	C4​	W 4
*333	[3 [3] ]	p3m1	C II 3v	D * 3	W 1 3
3*3	[3 + ,6]	p31m	C I 3v	3回行う	W 2 3
333	[3 [3] ] +	3ページ目	C I 3	C 3	W 3
*2222	[∞,2,∞]	午後	C I 2v	D 2 kkkk	W 2 2
2*22	[∞,2 + ,∞]	cmm	C IV 2v	D 2 kgkg	W 1 2
22*	[(∞,2) + ,∞]	午後	C III 2v	D 2 kkgg	W 3 2
22×	[∞ + ,2 + ,∞ + ]	pgg	C II 2v	D 2 gggg	W 4 2
2222	[∞,2,∞] +	2ページ目	C （I）2	C 2	W 2
**	[∞ + ,2,∞]	午後	C I s	D 1 kk	W 2 1
*×	[∞ + ,2 + ,∞]	cm	C III s	D 1kg​	W 1 1
××	[∞ + ,(2,∞) + ]	ページ	C II 2	D 1 gg	W 3 1
o	[∞ + ,2,∞ + ]	1ページ目	C （I）1	C 1	W 1

双曲面

基本領域三角形のポアンカレ円板モデル

直角三角形の例（*2pq）
*237	*238	*239	*23∞
*245	*246	*247	*248	*∞42
*255	*256	*257	*266	*2∞∞
一般的な三角形の例 (*pqr)
*334	*335	*336	*337	*33∞
*344	*366	*3∞∞	*6 3	*∞ 3
高次ポリゴンの例 (*pqrs...)
*2223	*(23) 2	*(24) 2	*3 4	*4 4
*2 5	*2 6	*2 7	*2 8
*222∞	*(2∞) 2	*∞ 4	*2 ∞	*∞ ∞

最初のいくつかの双曲群は、オイラー特性順に並べると次のようになります。

双曲対称群^[4]

−1/χ	オービフォールド	コクセター
84	*237	[7,3]
48	*238	[8,3]
42	237	[7,3] +
40	*245	[5,4]
36～26.4	*239、*2 3 10	[9,3], [10,3]
26.4	*2 3 11	[11,3]
24	*2 3 12、*246、*334、3*4、238	[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3 + ,8], [8,3] +
22.3–21	*2 3 13、*2 3 14	[13,3], [14,3]
20	*2 3 15、*255、5*2、245	[15,3], [5,5], [5 + ,4], [5,4] +
19.2	*2 3 16	[16,3]
18+2 ⁄ 3	*247	[7,4]
18	*2 3 18, 239	[18,3]、[9,3] +
17.5～16.2	*2 3 19、*2 3 20、*2 3 21、*2 3 22、*2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	*2 3 24、*248	[24,3]、[8,4]
15	*2 3 30、*256、*335、3*5、2 3 10	[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3 + ,10], [10,3] +
14+2 ⁄ 5 – 13+1 ⁄ 3	*2 3 36 ... *2 3 70、*249、*2 4 10	[36,3] ... [60,3]、[9,4]、[10,4]
13+1 ⁄ 5	*2 3 66, 2 3 11	[66,3], [11,3] +
12+8 ⁄ 11	*2 3 105、*257	[105,3], [7,5]
12+4 ⁄ 7	*2 3 132、*2 4 11 ...	[132,3]、[11,4]、…
12	*23∞、*2 4 12、*266、6*2、*336、3*6、*344、4*3、*2223、2*23、2 3 12、246、334	[∞,3] [12,4], [6,6], [6 + ,4], [(6,3,3)], [3 + ,12], [(4,4,3)], [4 + ,6], [∞,3,∞], [12,3] + , [6,4] + [(4,3,3)] +
...

参照

• オービフォールドの変異
• フィブリフォールド記法- 3次元空間群に対するオービフォールド記法の拡張

参考文献

1. 対称性、付録A、416ページ
2. フリーズパターン数学者ジョン・コンウェイは、各フリーズ グループの足跡に関連する名前を付けました。
3. 対称性、付録A、416ページ
4. 対称性、第18章、双曲群についてさらに、双曲群の列挙、p239

• ジョン・H・コンウェイ、オラフ・デルガド・フリードリヒス、ダニエル・H・ヒューソン、ウィリアム・P・サーストン。三次元空間群について。代数学と幾何学への貢献、42(2):475-507、2001年。
• JH Conway, DH Huson. 二次元群のためのオービフォールド記法. 構造化学, 13 (3-4): 247–257, 2002年8月.
• JH Conway (1992). 「曲面群のオービフォールド記法」MW Liebeck、J. Saxl編『群、組合せ論、幾何学』、LMSダーラムシンポジウム議事録、1990年7月5日～15日、英国ダーラム；ロンドン数学会講義ノートシリーズ165、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、pp. 438–447
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5
• ヒューズ、サム（2022）、「フックス群と非ユークリッド結晶群のコホモロジー」、Manuscripta Mathematica、170（3–4）：659–676、arXiv：1910.00519、Bibcode：2019arXiv191000519H、doi：10.1007/s00229-022-01369-z、S2CID  203610179

外部リンク

• オービフォールドのフィールドガイド（1991年6月17日から28日にかけてミネアポリスでジョン・コンウェイ、ピーター・ドイル、ジェーン・ギルマン、ビル・サーストンらと行った「幾何学と想像力」の授業のノート。2006年のPDFも参照）
• Tegula 平面、球面、双曲面の2次元タイリングを視覚化し、それらの対称群をオービフォールド記法で編集するためのソフトウェア

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