順序（環理論）

数学では、一部の体の特定の部分集合は位数と呼ばれます。整数の集合は有理数における位数です（唯一の位数です）。代数体 ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$において、位数は分数の体が⁠ ⁠である代数的整数の環であり、最大位数（しばしば⁠ ⁠と表記）は⁠ ⁠内のすべての代数的整数の環です。非アルキメデス的局所体⁠ ⁠において、位数は有限個の非負値の元によって生成される部分環です。その場合、最大位数（⁠ ⁠と表記）はすべての非負値の元によって形成される付値環です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

一見異なる概念に同じ名前を付ける理由は、数体の特性とそのすべての局所体の特性とを関連付ける局所-大域原理によるものです。

定義

順序の定義は文脈に依存する。最も単純な定義は代数体におけるもので、ここで順序とは有限生成加群 の部分環であり、の有理基底を含む。すなわち、 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} R=F.}$

一方、 が非アルキメデス的局所体である場合、 の位数はのコンパクト開部分環となる。この場合の最大位数は、の付値環である。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$

より一般的には、これら2つの特殊なケースの両方を含む、分数体 を持つ整域の場合、有限次元 -代数における-位数は、が完全 -格子である部分環である、つまり という性質を持つ有限 -加群である。^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes _{R}K=A}$

が可換環でない場合でも、順序の概念は重要ですが、現象は異なります。例えば、フルヴィッツ四元数は、有理座標を持つ四元数の中では最大順序を形成しますが、最も明白な意味での整数座標を持つ四元数ではありません。最大順序は一般に存在しますが、必ずしも一意である必要はありません。一般に、最大の順序はなく、最大順序は複数存在します。重要な例として、整群環が挙げられます。 ${\displaystyle A}$

例

命令の例としては次のようなものがある: ^[2]

• が上の行列環であるとき、上の行列環は の-位数である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M_{n}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$
• が整域で の有限可分拡大である場合、におけるの整閉包はにおける -位数です。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$
• が 上の整元である場合、多項式環は代数における -階である。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[a]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K[a]}$
• が有限群の群環である場合、 は-位数である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K[G]}$

-階数の基本的な性質は、-階数のどの要素もに対して整列であるということである。^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

におけるの整閉包が -階数であれば、あらゆる -階数のすべての元の整式は、が における唯一の最大 -階数でなければならないことを示す。しかし、は常に-階数である必要はない。実際、は環である必要はなく、が環であっても（例えば が可換な場合）、 は-格子である必要はない。^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

代数的数論

代表的な例は、が数体でがその整数環である場合です。代数的整数論では、有理体以外で整数環の真部分環が位数でもある場合の例があります。例えば、上のガウス有理数の体拡大において、 の整閉包はガウス整数 環であるため、これは唯一の最大-位数です。つまり、 の他のすべての位数はこれに含まれます。例えば、との整数を含むの形の複素数の部分環を取ることができます。^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A=\mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a+2bi}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

最大順序問題は局所体レベルで検証することができる。この手法は代数的数論とモジュラー表現論に応用されている。

参照

• ハーヴィッツ四元数順序– 環順序の例

注記

1. ライナー（2003）108ページ
2. ライナー（2003）108～109頁
3. ライナー (2003) p. 110
4. ポストとザッセンハウス（1989）22ページ

参考文献

• Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989).アルゴリズム的代数的数論. 数学とその応用百科事典. 第30巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-33060-2. Zbl  0685.12001.
• ライナー, I. (2003).最大順序. ロンドン数学会モノグラフ. 新シリーズ. 第28巻.オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-852673-3. Zbl  1024.16008。

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