順序ベクトル空間

Vector space with a partial order

の点と、 （赤で示した）を満たすすべての集合。ここでの順序は、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x_{1}\leq y_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}\leq y_{2}.}$

数学において、順序付きベクトル空間または半順序付きベクトル空間は、ベクトル空間演算と互換性のある半順序を備えたベクトル空間です。

意味

実数上のベクトル空間と集合上の順序が与えられたとき、そのペアは順序付きベクトル空間と呼ばれ、順序がベクトル空間構造と両立すると言い、すべてのに対して、かつ次の2つの公理が満たされるとき、ベクトル順序がベクトル空間構造と両立すると言い、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y,z\in X}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\geq 0}$

1. ${\displaystyle x\leq y}$暗示する ${\displaystyle x+z\leq y+z,}$
2. ${\displaystyle y\leq x}$暗示する ${\displaystyle ry\leq rx.}$

がベクトル空間構造と両立する半順序であるとき、は順序付きベクトル空間と呼ばれ、はベクトル半順序と呼ばれる。この2つの公理は、並進と正相似が順序構造の自己同型であり、写像が双対順序構造への同型であることを 意味する。順序付きベクトル空間は、加法演算の下で順序付き群である。 ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\mapsto -x}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle -y\leq -x.}$

正錐と順序付けとの同値性

ベクトル空間の部分集合 は、任意の実数 に対して であるとき円錐と呼ばれる。円錐が原点を含むとき、円錐は尖っていると呼ばれる。円錐が凸円錐であるとは、次の場合のみである。任意の空でない円錐族（それぞれ凸円錐）の共通部分は、やはり円錐（それぞれ凸円錐）である。同じことは、増加する（集合 に対する包含）円錐族（それぞれ凸円錐）の和集合についても成り立つ。ベクトル空間内の円錐が生成円錐であるとは^、[1]の場合に言う。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle rC\subseteq C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C+C\subseteq C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=C-C.}$

順序付けされたベクトル空間が与えられたとき、を満たすのすべての要素の部分集合は、の正錐と呼ばれる尖った凸錐（つまり、 を含む凸錐）であり、 で表記されます。 正錐の要素は正 と呼ばれます。と が順序付けされたベクトル空間の要素である場合、 であることと同値です。正錐が を生成することと同値です。 がの下での有向集合である場合、 任意の尖った凸錐が与えられたとき、のベクトル空間構造と互換性のある上の順序を、すべて に対して と宣言することによって定義できます 。この結果として生じる順序付けされたベクトル空間の正錐がである場合と同値です。したがって、尖った凸錐と^[1] 上のベクトル順序の間には 1 対 1 の対応があります。が順序付けされている 場合、と定義することによって上の同値関係を形成できます。は と同値であり、 が原点を含む同値類である 場合、 は のベクトル部分空間であり、は関係 の下で順序付けされたベクトル空間です。および が存在して、^[1]となる場合と ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {PosCone} X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y-x\in X^{+}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y-x\in C;}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x;}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/N}$ ${\displaystyle A\leq B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a\leq b.}$

ベクトル空間の部分集合が真錐であるとは、それが次を満たす凸錐であるときである 。明示的に、真錐とは(1) (2)がすべてのに対して成り立ち、(3) ^[2]が成り立つときである 。真錐の空でない族の交わりもまた真錐である。実ベクトル空間の各真錐は、次を定義することによってベクトル空間に順序を誘導する。すなわち、次が成り立つ。さらに、この順序付きベクトル空間の正錐は次になる。したがって、真凸錐とベクトル空間上のベクトル半順序との間には一対一対応が存在する。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C+C\subseteq C,}$ ${\displaystyle rC\subseteq C}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y-x\in C,}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

上の全ベクトル順序とは、のベクトル空間構造と互換性のある上の全順序を意味します。 ベクトル空間上の全ベクトル順序の族は、集合包含に関して最大​​となるすべての適切な錐の族と1対1に対応しています。^[1] 全ベクトル順序は、実数上のベクトル空間として考えた場合の次元が1より大きい場合、アルキメデス的ではありません^。[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

とがそれぞれ正錐と正錐を持つベクトル空間の2つの順序である場合、は^[2]の場合よりも優れていると言える。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\subseteq Q.}$

区間と順序制限双対

順序付きベクトル空間における順序区間は、 という形式の集合である。 上記の公理1と2から、およびは に属することが示され、 したがってこれらの順序区間は凸である。部分集合が何らかの順序区間に含まれる場合、その部分集合は順序が有界であるという。 ^[2] 順序付き実ベクトル空間において、 に対して ならば、という形式の区間は均衡 である。^[2]順序付きベクトル空間の 順序単位とは、集合がを吸収するような任意の元である。^[2] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x:a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ or }}\\]a,b[&=\{x:a<x<b\}.\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle tx+(1-t)y}$ ${\displaystyle [a,b];}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle [-x,x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [-x,x]}$

順序付きベクトル空間上のすべての線形関数の集合で、すべての順序区間を有界集合に写像するものは、 の順序境界双対と呼ばれ、 ^[2]で表されます 。空間が順序付けされている場合、その順序境界双対はその代数的双対のベクトル部分空間です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\operatorname {b} }.}$

順序ベクトル空間の部分集合が順序完備であるとは、任意の空でない部分集合に対して、とが存在し、の要素であるときである。順序ベクトル空間が順序完備であるとは、の順序完備部分集合であることを意味する^。[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sup B}$ ${\displaystyle \inf B}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

例

が実数上の順序付きベクトル空間で順序が1である場合、写像は部分線型関数である。^[4] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}}$

プロパティ

が前順序付きベクトル空間である場合、すべての ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$

• ${\displaystyle x\geq 0}$そして暗示する^[4] ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle x+y\geq 0.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$^[4]の場合のみ ${\displaystyle -y\leq -x.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$そして暗示する^[4] ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle rx\geq ry.}$
• ${\displaystyle x\leq y}$もし、もし、もし、もし、もし^[4] ${\displaystyle y=\sup\{x,y\}}$ ${\displaystyle x=\inf\{x,y\}}$
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$存在する場合にのみ存在する。その場合^[4] ${\displaystyle \inf\{-x,-y\}}$ ${\displaystyle \inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$存在する場合のみ存在し、その場合、すべての^[4] ${\displaystyle \inf\{x,y\}}$ ${\displaystyle z\in X,}$
  • ${\displaystyle \sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},}$そして
  • ${\displaystyle \inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}}$
  • ${\displaystyle x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle X}$はベクトル格子であるとき、かつその場合のみ、すべての^[4]に対して存在する。 ${\displaystyle \sup\{0,x\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

線型写像の空間

円錐は、ベクトル空間全体に等しいとき生成円錐と呼ばれます。 ^[2]とがそれぞれ正円錐を持つ2つの非自明な順序付きベクトル空間である 場合、が生成円錐であることは、集合がの真円錐である場合に限ります。真円錐は、 からへのすべての線型写像の空間です 。この場合、 によって定義される順序は、^[2]の標準順序と呼ばれます。 より一般的には、が真円錐である の任意のベクトル部分空間である場合、 によって定義される順序は、^[2]の標準順序と呼ばれます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C-C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\}}$ ${\displaystyle L(X;W),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L(X;W).}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L(X;W)}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle M.}$

正関数と順序双対

順序付きベクトル空間上の線形関数 は、次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 正であると呼ばれます。 ${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle x\geq 0}$暗示する ${\displaystyle f(x)\geq 0.}$
2. もしそうなら^[4] ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$

正錐を持つベクトル空間上のすべての正線型形式の集合は双対錐と呼ばれ、 で表され、 の極に等しい錐である。 双対錐によって 上の線型関数の空間上に誘導される前順序は と呼ばれる。 ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C^{*},}$ ${\displaystyle -C.}$ ${\displaystyle X}$二重予約注文。^[4]

順序ベクトル空間の順序双対は、 で表され、 で定義される集合である。 ただし、集合の等式が成立しない順序ベクトル空間も存在する。^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+},}$ ${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$ ${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b},}$

特別な種類の順序付きベクトル空間

を順序ベクトル空間とする。順序ベクトル空間がアルキメデス順序であり、の順序がアルキメデス的であるとは、が長子化される（つまり、すべての に対してとなるようなものが存在する）とき、^[2]を満たすことを言う。順序ベクトル空間である 位相ベクトル空間（TVS）は、その正錐が閉じているとき、必然的にアルキメデス的である。^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{nx:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle nx\leq y}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x\leq 0.}$

順序付きベクトル空間は規則的に順序付けられており、その順序が規則的であるとは、その空間がアルキメデス順序であり、^[2]内の点を区別する場合を言います 。この性質は、順序付きベクトル空間を研究するために双対性のツールをうまく使用できるようにするために十分な数の正の線型形式が存在することを保証します。^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X.}$

順序付きベクトル空間は、すべての元と最大値と最小値が存在するとき、ベクトル格子と呼ばれる。^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \sup(x,y)}$ ${\displaystyle \inf(x,y)}$

部分空間、商、積

全体にわたって、正の錐を持つ順序付きベクトル空間とする。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

部分空間

がのベクトル部分空間である場合、 の正錐によって誘導される上の標準順序は、が適切な場合この錐が適切な尖った凸錐によって誘導される半順序である。^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\cap M,}$ ${\displaystyle C}$

商空間

を順序付きベクトル空間のベクトル部分空間とし、を正準射影とし、を商空間に正準順序付けを誘導する の錐とします。を の真錐とする と、は 順序付きベクトル空間になります。 ^[2]が-飽和の 場合、の正準順序を定義します。 ^{[1] は、}が真錐ではない 順序付きベクトル空間の例を示している ことに注意してください。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$ ${\displaystyle \pi (C)}$

が位相ベクトル空間（TVS）であり、における原点の各近傍に対して、となるような原点の近傍が存在する場合、商位相に対する正規錐となる。^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [(U+N)\cap C]\subseteq V+N}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$

が位相ベクトル格子であり、が閉立体部分格子である場合、も位相ベクトル格子である。^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/L}$

製品

が任意の集合であるとき、からへのすべての関数の空間は適切な錐によって標準順序付けられる^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$

が順序付きベクトル空間の族であり、 の正錐がであるとする。 するとはの尖った凸錐であり、 が の標準順序を決定する。すべてが真錐であれば は真錐である。^[2] ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }.}$ ${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$

代数的直和

の代数的直和 は、 ^[2]から継承された標準的な部分空間順序が与えられた のベクトル部分空間です。が順序付きベクトル空間の順序付きベクトル部分空間である場合、 の標準的な代数的同型(標準的な積の順序を持​​つ) が順序同型 である場合、はこれらの部分空間の順序付き直和です。^[2] ${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$

例

• 通常の順序付けを持つ実数は、全順序ベクトル空間を形成する。すべての整数に対して、辞書式順序 付けを持つ実数上のベクトル空間として考えられたユークリッド空間は、前順序ベクトル空間を形成し、その順序がアルキメデス的であることは、 のときのみ可能である。^[4] ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$は、関係が次のいずれかの方法で定義される順序付きベクトル空間です（強度が増加する順序、つまりペアのセットが減少する順序）。 ${\displaystyle \,\leq \,}$
  • 辞書式順序：または の場合に限り、これは全順序です。正の円錐はまたは、つまり極座標において、と原点がともにを満たす角座標を持つ点の集合で与えられます。 ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ ${\displaystyle a<c}$ ${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b\leq d).}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle (x=0{\text{ and }}y\geq 0),}$ ${\displaystyle -\pi /2<\theta \leq \pi /2,}$
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$かつ（の2つのコピーの積の順序）であるとき、かつその場合に限ります。これは半順序です。正の円錐は で与えられ、つまり極座標ではと原点を合わせて となります。 ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle y\geq 0,}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2,}$
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$または（ "<"を伴う 2 つの の直積の反射閉包）のときのみ。これも半順序である。正錐は または、つまり極座標で原点とともに与えられる。 ${\displaystyle (a<c{\text{ and }}b<d)}$ ${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b=d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x>0{\text{ and }}y>0)}$ ${\displaystyle x=y=0),}$ ${\displaystyle 0<\theta <\pi /2,}$

2 番目の順序のみが、閉じたサブセットとして存在します。位相空間における部分順序を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

3 番目の順序では、2 次元の「間隔」はトポロジを生成する開集合です。 ${\displaystyle p<x<q}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は同様に定義された関係を持つ順序付きベクトル空間です。例えば、前述の2番目の順序の場合： ${\displaystyle \,\leq \,}$
  • ${\displaystyle x\leq y}$の場合のみ ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
• リース空間は、順序によって格子が生じる順序付きベクトル空間です。
• 上の連続関数の空間において、すべての ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,1].}$
• 実数成分を持つ対称行列を と表記する。2つの対称行列上のレーヴナー順序は によって定義され、半正定値行列となる。その正錐は、定義により、すべての正定値行列の成す集合である。さらに、対称行列に適用されるスペクトル定理により、この錐は生成行列であることが証明される。 ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \preccurlyeq }$ ${\displaystyle A,B\in {\mbox{Sym}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle A\preccurlyeq B\Leftrightarrow B-A}$

点ごとの順序

が任意の集合であり、が実数値関数の（実数上の）ベクトル空間である場合、上の点ごとの順序は、すべてのに対して、かつすべてのに対してであるときのみ、で与えられる^[4] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,g\in X,}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(s)\leq g(s)}$ ${\displaystyle s\in S.}$

通常この順序が割り当てられるスペースは次のとおりです。

• 有界実数値写像の空間 ${\displaystyle \ell ^{\infty }(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S.}$
• 収束する実数値列の空間 ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 0.}$
• 位相空間上の連続実数値関数の空間 ${\displaystyle C(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S.}$
• 任意の非負整数 に対して、ユークリッド空間 を離散位相が与えられた空間として考えたときのユークリッド空間。 ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C(\{1,\dots ,n\},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S=\{1,\dots ,n\}}$

上のすべての測定可能なほぼどこでも有界実数値写像の空間で、すべてのに対して事前順序がほぼどこでも によって定義される場合に限ります。[ 4 ^] ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(s)\leq g(s)}$

参照

• 順序位相（関数解析）  – 順序ベクトル空間の位相
• 順序体 – 順序構造を持つ代数的対象
• 順序付きグループ – 互換性のある半順序を持つグループPages displaying short descriptions of redirect targets
• オーダーリング
• 順序付き位相ベクトル空間
• 半順序空間 – 半順序位相空間
• 製品の注文
• リース空間 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間
• 位相ベクトル格子
• ベクトル格子 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

1. シェーファー＆ウォルフ 1999、250–257ページ。
2. シェーファー＆ウォルフ 1999、205–209ページ。
3. シェーファー＆ウォルフ 1999年、204～214頁。
4. Narici & Beckenstein 2011、139–153 ページ。

参考文献

• アリプランティス, チャラランボス D ; バーキンショー, オーウェン (2003). 『局所立体リース空間とその経済学への応用（第2版）』 プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会. ISBN 0-8218-3408-8。
• ブルバキ、ニコラ著；数学の原論：位相ベクトル空間；ISBN 0-387-13627-4。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• ウォン（1979）『シュワルツ空間、核空間、テンソル積』ベルリン・ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-09513-6OCLC  5126158 。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ordered_vector_space&oldid=1291430595"