直交基底

互いに直交するベクトルvの基底

数学、特に線型代数学において、内積空間の直交基底とは、ベクトルが互いに直交する基底のことである。直交基底のベクトルを正規化すると、得られる基底は直交基底となる。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

座標として

任意の直交基底を使用して、直交座標 系を定義できます。直交基底 (必ずしも直交基底である必要はありません) は、ユークリッド空間、リーマン多様体、擬リーマン多様体における曲線直交座標から出現するため重要です。 ${\displaystyle V.}$

関数解析では

関数解析において、直交基底とは、非ゼロのスカラーによる乗算を使用して直交基底 (またはヒルベルト基底) から得られる基底のことです。

拡張機能

対称双線形形式

直交基底の概念は、対称双線形形式⁠ ⁠を備えたベクトル空間 （任意の体上）に適用できます。ここで、2つのベクトルと⁠ ⁠ の直交性は⁠ ⁠を意味します。直交基底⁠ ⁠の場合：は（内積空間では⁠ ⁠ ）に関連付けられた二次形式です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ $${\displaystyle \langle e_{j},e_{k}\rangle ={\begin{cases}q(e_{k})&j=k\\0&j\neq k,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :}$ ${\displaystyle q(v)=\langle v,v\rangle }$ ${\displaystyle q(v)=\Vert v\Vert ^{2}}$

したがって、直交基底⁠ ⁠ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$の場合、 およびは基底 のおよびの成分です。 $${\displaystyle \langle v,w\rangle =\sum _{k}q(e_{k})v_{k}w_{k},}$$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

二次形式

直交性の概念は、二次形式⁠ ⁠ ${\displaystyle q(v)}$を備えた、特性数が2でない任意の体上のベクトル空間に拡張できます。基礎体の特性数が2でないとき、関連する対称双線型形式により、ベクトルとが⁠ ⁠のときに関して直交すると定義できるという観察から出発します。 ${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\tfrac {1}{2}}(q(v+w)-q(v)-q(w))}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q(v+w)-q(v)-q(w)=0}$

参照

• 基底（線形代数）  – 座標を定義するために使用されるベクトルの集合
• 直交基底 – 特定の線形基底（数学）
• 直交フレーム – 距離と角度のないユークリッド空間
• シャウダー基底 - 計算ツール
• 合計セット

参考文献

• ラング、セルジュ（2004）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（訂正第4刷、改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp.  572– 585、ISBN 978-0-387-95385-4
• ミルナー、Ｊ．ヒューゼモラー、D. (1973)。対称双線形形式。Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 73.シュプリンガー・フェルラークp. 6.ISBN​ 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W.「直交基底」。マスワールド。

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