Set of coordinates where the coordinate hypersurfaces all meet at right angles
数学 において 、 直交座標は、 すべての座標 超曲面が 直角 に交わる d 座標 の集合として定義されます (上付き文字は 指数で はなく 添え字であることに注意してください)。特定の座標 q k の座標面とは、 q k が 定数である 曲線 、 面 、または 超曲面 です 。たとえば、3 次元の 直交座標 ( x 、 y 、 z ) は、その座標面 x = 定数、 y = 定数、および z =定数が互いに直角に交わる、つまり垂直な平面であるため、直交座標系です。直交座標は、 曲線座標 の特殊ですが、非常に一般的なケースです 。 q = ( q 1 , q 2 , … , q d ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q^{1},q^{2},\dots ,q^{d})}
モチベーション 長方形グリッド上に作用する等角写像 。 曲線グリッドの直交性が保持されていることに注意してください。 ベクトル演算と物理法則は通常、 直交座標で導くのが最も簡単ですが、 量子力学 、 流体の流れ、電気力学 、 プラズマ 物理 学 、 化学種 や 熱 の 拡散 などの場の理論で生じる問題など、特に 境界値問題 などのさまざまな問題の解決には、非直交座標系がよく使用されます 。
非直交座標系の主な利点は、問題の対称性に合わせて選択できることです。たとえば、地面（またはその他の障壁）から遠く離れた場所での爆発による圧力波は、直交座標系では 3D 空間に依存しますが、圧力は主に中心から遠ざかる方向に移動するため、 球面座標系 では問題はほぼ 1 次元になります（圧力波は主に時間と中心からの距離のみに依存するため）。もう 1 つの例は、まっすぐな円管内の（遅い）流体です。直交座標系では、偏微分方程式を伴う（難しい） 2 次元境界値問題を解く必要がありますが、 円筒座標系では、 偏微分方程式 ではなく 常微分方程式 を伴う 1 次元の問題になります 。
一般曲線座標系 ではなく直交座標系が好まれる理由は 単純さである。座標系が直交していないと多くの複雑な問題が生じる。例えば、直交座標系では 変数の分離 によって多くの問題を解くことができる。変数の分離とは、複雑な d 次元問題を既知の関数で解ける d次元問題に変換する数学的手法である。多くの方程式は ラプラス方程式 または ヘルムホルツ方程式 に簡約できる 。 ラプラス方程式は13 個の直交座標系（下の表に トーラス座標 系を除いて 14 個を挙げている）で分離可能であり 、 ヘルムホルツ方程式は 11 個の直交座標系で分離可能である。 [1] [2]
直交座標は、計量テンソル に非対角項を持ちません 。言い換えれば、無限小二乗距離 ds 2 は 常に、無限小座標変位の二乗のスケール和として表すことができます。
d s 2 = ∑ k = 1 d ( h k d q k ) 2 {\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}} ここで、 d は次元とスケーリング関数（またはスケール係数）です。
h k ( q ) = d e f g k k ( q ) = | e k | {\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|} 計量テンソルの対角成分の平方根、または 後述する局所基底ベクトルの長さに等しい。これらのスケーリング関数 h i は、新しい座標における微分演算子（例えば、 勾配 、 ラプラシアン 、 発散 、 回転） を計算するために使用される。 e k {\displaystyle \mathbf {e} _{k}}
2次元で直交座標系を生成する簡単な方法は、 標準的な2次元グリッドの 直交座標 ( x , y )を 等角写像 で表現することです。実座標 x と yから 複素数 z = x + iy を形成できます。 ここで、 i は 虚数単位 を表します 。 複素導関数がゼロでない任意の 正則関数 w = f ( z ) は 等角写像 を生成します。結果として得られる複素数を w = u + iv と表記すると、定数u と定数 v の曲線は、元の定数 x と定数 y の直線と同様に直角に交差します 。
3次元以上の直交座標は、直交2次元座標系から、それを新しい次元（ 円筒座標 ）に投影するか、2次元座標系をその対称軸の1つを中心に回転させることによって生成できます。ただし、楕円体座標など、2次元座標系の投影や回転では得られない3次元の直交座標系もあります 。より一般的な直交座標は、必要な座標面をいくつか用意し、それらの 直交軌道を 考慮することで得られます 。
基底ベクトル
共変基底 直交座標系 では 、 基底ベクトル は固定（定数）です。より一般的な 曲線座標 系では、空間内の点が座標によって指定され、各点には基底ベクトルの集合が束縛されます。これらの基底ベクトルは一般に定数ではありません。これが曲線座標系の本質であり、非常に重要な概念です。直交座標系の特徴は、基底ベクトルは変化しますが、常に互いに 直交している 点です。言い換えれば、
e i ⋅ e j = 0 if i ≠ j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j} これらの基底ベクトルは、定義により、 他の座標を固定したまま 1 つの座標を変化させることによって得られる曲線の 接線ベクトルです。
2次元直交座標の可視化。1つを除くすべての座標を定数として得られる曲線と基底ベクトルを示します。基底ベクトルの長さは必ずしも等しくなく、直交していればよいことに注意してください。 e i = ∂ r ∂ q i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}} ここで、 r はある点、 q i は基底ベクトルが抽出される座標です。言い換えれば、曲線は1つの座標を除くすべての座標を固定することで得られます。固定されていない座標は パラメトリック曲線 のように変化し、曲線のパラメータ（変化する座標）に対する微分がその座標の基底ベクトルとなります。
ベクトルの長さは必ずしも等しくないことに注意してください。座標のスケール係数と呼ばれる便利な関数は、単に 基底ベクトルの長さです （下の表を参照）。スケール係数は ラメ係数と呼ばれることもありますが、 ラメパラメータ（固体力学） と混同しないでください 。 h i {\displaystyle h_{i}} e i {\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}}
正規 化された 基底ベクトルはハット記号で表記され、長さで割ることで得られます。
e ^ i = e i h i = e i | e i | {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}} ベクトル 場は、 その成分を基底ベクトルまたは正規化基底ベクトルに関して指定することができますが、どちらの場合を指すのかを明確にする必要があります。正規化基底の成分は、応用において量の明確化のために最もよく使用されます（例えば、接線速度とスケール係数の積ではなく、接線速度のみを扱いたい場合など）。一方、微分においては、正規化基底はより複雑なため、あまり一般的ではありません。
反変基底 上に示した基底ベクトルは 共変 基底ベクトルです（ベクトルと「共変」するため）。直交座標の場合、反変基底ベクトルは共変ベクトルと同じ方向を向き、 長さが逆数 となるため、簡単に見つけることができます（このため、2組の基底ベクトルは互いに逆数であると言われています）。
e i = e ^ i h i = e i h i 2 {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}} これは、定義により、クロネッカーのデルタ を用いて、 となることから導かれます 。次の点に注意してください。 e i ⋅ e j = δ i j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}}
e ^ i = e i h i = h i e i ≡ e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}\equiv {\hat {\mathbf {e} }}^{i}} ここで、直交座標系におけるベクトルを記述するために一般的に用いられる3つの異なる基底関数系、すなわち共変基底 e i 、反変基底 e i 、そして正規化基底 ê i について見ていきましょう。ベクトルは 目的関数 であり、その単位元はどの座標系にも依存しませんが、ベクトルの成分は、ベクトルがどの基底で表現されるかによって異なります。
混乱を避けるために、 e i 基底に関する ベクトル xの成分は x i と表され、 e i 基底に関する成分は x i と表されます 。
x = ∑ i x i e i = ∑ i x i e i {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}} 添え字の位置は、各要素の計算方法を表します（上付き添え字は 指数 と混同しないでください）。 加算 記号 Σ （大文字の シグマ）と、すべての基底ベクトル（ i = 1, 2, ..., d ） にわたる加算範囲は 省略さ れることが多いことに注意してください。各要素は、単純に次のように関連しています。
h i 2 x i = x i {\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}} 正規化された基底に関して、ベクトル成分を区別する広く普及した表記法は存在しません。この記事では、ベクトル成分に下付き文字を使用し、成分は正規化された基底で計算されることに注意します。
ベクトル代数 ベクトルの加算と否定は、直交座標の場合と同様に、要素ごとに複雑な処理なしで実行されます。その他のベクトル演算については、追加の考慮が必要になる場合があります。
ただし、これらの操作はすべて、 ベクトル場内 の2つのベクトルが同じ点に束縛されている（つまり、ベクトルの両端が一致している）ことを前提としていることに注意してください。基底ベクトルは一般に直交座標系で変化するため、空間内の異なる点で計算された成分を持つ2つのベクトルを加算する場合は、異なる基底ベクトルを考慮する必要があります。
ドット積 直交座標 （ 直交 基底を持つ ユークリッド空間 ）における 内積 は、単に成分の積の和です。直交座標では、2つのベクトル x と y の内積は、 ベクトルの成分が正規化された基底で計算される場合、次のようなよく知られた形になります。
x ⋅ y = ∑ i x i e ^ i ⋅ ∑ j y j e ^ j = ∑ i x i y i {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}} これは、正規化された基底が、ある時点で直交座標系を形成できるという事実から直接導かれる結果です。つまり、基底セットは 直交 です。
共変基底または反変基底の成分については、
x ⋅ y = ∑ i h i 2 x i y i = ∑ i x i y i h i 2 = ∑ i x i y i = ∑ i x i y i {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}} これは、ベクトルを成分形式で書き出し、基底ベクトルを正規化し、内積を取ることで簡単に導出できます。例えば、2次元では次のようになります。
x ⋅ y = ( x 1 e 1 + x 2 e 2 ) ⋅ ( y 1 e 1 + y 2 e 2 ) = ( x 1 h 1 e ^ 1 + x 2 h 2 e ^ 2 ) ⋅ ( y 1 e ^ 1 h 1 + y 2 e ^ 2 h 2 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}} ここでは、正規化された共変基数と反変基数が等しいという事実が使用されています。
外積 3D デカルト座標における 外積 は次のようになります。
x × y = ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) e ^ 1 + ( x 3 y 1 − x 1 y 3 ) e ^ 2 + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) e ^ 3 {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}} 上記の式は、正規化された基底で成分が計算される場合、直交座標でも有効なままです。
共変基底または反変基底を持つ直交座標で外積を構築するには、基底ベクトルを正規化する必要があります。例:
x × y = ∑ i x i e i × ∑ j y j e j = ∑ i x i h i e ^ i × ∑ j y j h j e ^ j {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}} これを拡張して書くと、
x × y = ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) h 2 h 3 h 1 e 1 + ( x 3 y 1 − x 1 y 3 ) h 1 h 3 h 2 e 2 + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) h 1 h 2 h 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}\right){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}\right){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}\right){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}} 直交座標や高次元への一般化を簡素化する外積の簡潔な表記は、 レヴィ・チヴィタ テンソル で可能であり、スケール係数がすべて 1 に等しくない場合は 0 と 1 以外の成分を持つことになります。
ベクトル計算
差別化 ある点からの微小変位を見ると、
d r = ∑ i ∂ r ∂ q i d q i = ∑ i e i d q i {\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}} 定義 により 、関数の勾配は次式を満たす必要がある（この定義は、 ƒ が 任意の テンソル であっても成り立つ）
d f = ∇ f ⋅ d r ⇒ d f = ∇ f ⋅ ∑ i e i d q i {\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}} したがって、 del 演算子は 次のようになります。
∇ = ∑ i e i ∂ ∂ q i {\displaystyle \nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}} そして、これは一般曲線座標系でも成り立ちます。 勾配 や ラプラシアン といった量は、この演算子を適切に適用することで得られます。
d r と正規化された基底ベクトル ê i から 、以下を構築できる。 [3] [4]
差動要素 ベクトル スカラー 線要素 座標曲線 q i への接線ベクトル: d ℓ = h i d q i e ^ i = ∂ r ∂ q i d q i {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}=h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}dq^{i}}
無限小の 長さ d ℓ = d r ⋅ d r = ( h 1 d q 1 ) 2 + ( h 2 d q 2 ) 2 + ( h 3 d q 3 ) 2 {\displaystyle d\ell ={\sqrt {d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} }}={\sqrt {(h_{1}\,dq^{1})^{2}+(h_{2}\,dq^{2})^{2}+(h_{3}\,dq^{3})^{2}}}}
表面要素 座標面の法線 q k = 定数: d S = ( h i d q i e ^ i ) × ( h j d q j e ^ j ) = d q i d q j ( ∂ r ∂ q i × ∂ r ∂ q j ) = h i h j d q i d q j e ^ k {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {S} &=(h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\times (h_{j}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\\&=dq^{i}dq^{j}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)\\&=h_{i}h_{j}dq^{i}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\end{aligned}}}
微小 表面 d S k = h i h j d q i d q j {\displaystyle dS_{k}=h_{i}h_{j}\,dq^{i}\,dq^{j}}
体積要素 該当なし 微小 体積 d V = | ( h 1 d q 1 e ^ 1 ) ⋅ ( h 2 d q 2 e ^ 2 ) × ( h 3 d q 3 e ^ 3 ) | = | e ^ 1 ⋅ e ^ 2 × e ^ 3 | h 1 h 2 h 3 d q 1 d q 2 d q 3 = h 1 h 2 h 3 d q 1 d q 2 d q 3 = J d q 1 d q 2 d q 3 {\displaystyle {\begin{aligned}dV&=|(h_{1}\,dq^{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1})\cdot (h_{2}\,dq^{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2})\times (h_{3}\,dq^{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3})|\\&=|{\hat {\mathbf {e} }}_{1}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{3}|h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=J\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\end{aligned}}}
どこ
J = | ∂ r ∂ q 1 ⋅ ( ∂ r ∂ q 2 × ∂ r ∂ q 3 ) | = | ∂ ( x , y , z ) ∂ ( q 1 , q 2 , q 3 ) | = h 1 h 2 h 3 {\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}} はヤコビ行列式 であり、直交座標における微小立方体 d x d y d z から微小曲面体積へ の体積変形の幾何学的解釈を持ちます。
統合 上記の線要素を使用すると、 ベクトル F のパスに沿った 線積分は 次のようになります。 P {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}
∫ P F ⋅ d r = ∫ P ∑ i F i e i ⋅ ∑ j e j d q j = ∑ i ∫ P F i d q i {\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}} 1つの座標q k を 一定に保って記述される表面の面積の無限小要素は 次のようになります。
d A k = ∏ i ≠ k d s i = ∏ i ≠ k h i d q i {\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}} 同様に、ボリューム要素は次のようになります。
d V = ∏ i d s i = ∏ i h i d q i {\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}} ここで、大きな記号 Π （大文字の Pi ）は 積 を表します。これは、大きな記号 Σ が和を表すのと同じです。すべてのスケール係数の積が ヤコビ行列式 であることに注意してください。
例として、 3D の q 1 = 定数 面上 のベクトル関数 Fの 面積分は 次のようになります。 S {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}
∫ S F ⋅ d A = ∫ S F ⋅ n ^ d A = ∫ S F ⋅ e ^ 1 d A = ∫ S F 1 h 2 h 3 h 1 d q 2 d q 3 {\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}} F 1 / h 1は、 F の表面法線方向 の成分である ことに注意してください。
3次元の微分作用素 これらの演算はアプリケーションでよく使用されるため、このセクションのすべてのベクトル成分は正規化された基底に関して表されます 。 F ^ i = F ⋅ e ^ i {\displaystyle {\hat {F}}_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}
オペレーター 表現 スカラー場 の 勾配 ∇ ϕ = e ^ 1 h 1 ∂ ϕ ∂ q 1 + e ^ 2 h 2 ∂ ϕ ∂ q 2 + e ^ 3 h 3 ∂ ϕ ∂ q 3 {\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}} ベクトル場 の 発散 ∇ ⋅ F = 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ q 1 ( F ^ 1 h 2 h 3 ) + ∂ ∂ q 2 ( F ^ 2 h 3 h 1 ) + ∂ ∂ q 3 ( F ^ 3 h 1 h 2 ) ] {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\hat {F}}_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\hat {F}}_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\hat {F}}_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]} ベクトル場の 回転 ∇ × F = e ^ 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ q 2 ( h 3 F ^ 3 ) − ∂ ∂ q 3 ( h 2 F ^ 2 ) ] + e ^ 2 h 3 h 1 [ ∂ ∂ q 3 ( h 1 F ^ 1 ) − ∂ ∂ q 1 ( h 3 F ^ 3 ) ] + e ^ 3 h 1 h 2 [ ∂ ∂ q 1 ( h 2 F ^ 2 ) − ∂ ∂ q 2 ( h 1 F ^ 1 ) ] = 1 h 1 h 2 h 3 | h 1 e ^ 1 h 2 e ^ 2 h 3 e ^ 3 ∂ ∂ q 1 ∂ ∂ q 2 ∂ ∂ q 3 h 1 F ^ 1 h 2 F ^ 2 h 3 F ^ 3 | {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}{\hat {F}}_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}{\hat {F}}_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}{\hat {F}}_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}{\hat {F}}_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}{\hat {F}}_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}{\hat {F}}_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}{\hat {F}}_{1}&h_{2}{\hat {F}}_{2}&h_{3}{\hat {F}}_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} スカラー場の ラプラシアン ∇ 2 ϕ = 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ q 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ ϕ ∂ q 1 ) + ∂ ∂ q 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ ϕ ∂ q 2 ) + ∂ ∂ q 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ ϕ ∂ q 3 ) ] {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]}
上記の式は、繰り返しの添字の合計を前提として、 レヴィ・チヴィタ記号 とヤコビ行列式 を使用して、より簡潔な形式で記述できます。 ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} J = h 1 h 2 h 3 {\displaystyle J=h_{1}h_{2}h_{3}}
オペレーター 表現 スカラー場 の 勾配 ∇ ϕ = e ^ k h k ∂ ϕ ∂ q k {\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}} ベクトル場 の 発散 ∇ ⋅ F = 1 J ∂ ∂ q k ( J h k F ^ k ) {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_{k}}}{\hat {F}}_{k}\right)} ベクトル場の 回転（3Dのみ） ∇ × F = h k e ^ k J ϵ i j k ∂ ∂ q i ( h j F ^ j ) {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{J}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}{\hat {F}}_{j}\right)} スカラー場の ラプラシアン ∇ 2 ϕ = 1 J ∂ ∂ q k ( J h k 2 ∂ ϕ ∂ q k ) {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)}
また、スカラー場の勾配は、標準偏微分を含む ヤコビ行列 J で表現できることにも注意してください。
J = [ ∂ ϕ ∂ q 1 , ∂ ϕ ∂ q 2 , ∂ ϕ ∂ q 3 ] {\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]} 基準の変更 により ：
∇ ϕ = S R J T {\displaystyle \nabla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} \mathbf {J} ^{T}} ここで、回転行列とスケーリング行列は次のようになります。
R = [ e 1 , e 2 , e 3 ] {\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]} S = d i a g ( [ h 1 − 1 , h 2 − 1 , h 3 − 1 ] ) . {\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).}
2次元直交座標表
3次元直交座標表 通常の直交座標の他に、13個の他の座標が以下に表形式で示されています。 [6]
曲線座標 ( q 1 , q 2 , q 3 ) 直交座標（ x , y , z ）
からの変換 スケール係数 球座標 ( r , θ , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , π ] × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}
x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}} h 1 = 1 h 2 = r h 3 = r sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}} 放物線座標 ( u , v , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}
x = u v cos ϕ y = u v sin ϕ z = 1 2 ( u 2 − v 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}} h 1 = h 2 = u 2 + v 2 h 3 = u v {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}} 双極円筒座標 ( u , v , z ) ∈ [ 0 , 2 π ) × ( − ∞ , ∞ ) × ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )}
x = a sinh v cosh v − cos u y = a sin u cosh v − cos u z = z {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}} h 1 = h 2 = a cosh v − cos u h 3 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}} 楕円体座標 ( λ , μ , ν ) ∈ [ 0 , c 2 ) × ( c 2 , b 2 ) × ( b 2 , a 2 ) λ < c 2 < b 2 < a 2 , c 2 < μ < b 2 < a 2 , c 2 < b 2 < ν < a 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,c^{2})\times (c^{2},b^{2})\times (b^{2},a^{2})\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}}
x 2 a 2 − q i + y 2 b 2 − q i + z 2 c 2 − q i = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1} どこ ( q 1 , q 2 , q 3 ) = ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )}
h i = 1 2 ( q j − q i ) ( q k − q i ) ( a 2 − q i ) ( b 2 − q i ) ( c 2 − q i ) {\displaystyle h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}} 放物面座標 ( λ , μ , ν ) ∈ [ 0 , b 2 ) × ( b 2 , a 2 ) × ( a 2 , ∞ ) b 2 < a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,b^{2})\times (b^{2},a^{2})\times (a^{2},\infty )\\&b^{2}<a^{2}\end{aligned}}}
x 2 q i − a 2 + y 2 q i − b 2 = 2 z + q i {\displaystyle {\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}} どこ ( q 1 , q 2 , q 3 ) = ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )}
h i = 1 2 ( q j − q i ) ( q k − q i ) ( a 2 − q i ) ( b 2 − q i ) {\displaystyle h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}} 円筒極座標 ( r , ϕ , z ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) × ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (r,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )}
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}} h 1 = h 3 = 1 h 2 = r {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end{aligned}}} 楕円円筒座標 ( u , v , z ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) × ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )}
x = a cosh u cos v y = a sinh u sin v z = z {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}} h 1 = h 2 = a sinh 2 u + sin 2 v h 3 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}} 扁平回転楕円体座標 ( ξ , η , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ − π 2 , π 2 ] × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )}
x = a cosh ξ cos η cos ϕ y = a cosh ξ cos η sin ϕ z = a sinh ξ sin η {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}} h 1 = h 2 = a sinh 2 ξ + sin 2 η h 3 = a cosh ξ cos η {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}} 長球座標 ( ξ , η , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , π ] × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}
x = a sinh ξ sin η cos ϕ y = a sinh ξ sin η sin ϕ z = a cosh ξ cos η {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}} h 1 = h 2 = a sinh 2 ξ + sin 2 η h 3 = a sinh ξ sin η {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}} 二球座標 ( u , v , ϕ ) ∈ ( − π , π ] × [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}
x = a sin u cos ϕ cosh v − cos u y = a sin u sin ϕ cosh v − cos u z = a sinh v cosh v − cos u {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} h 1 = h 2 = a cosh v − cos u h 3 = a sin u cosh v − cos u {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} トーラス座標 ( u , v , ϕ ) ∈ ( − π , π ] × [ 0 , ∞ ) × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}
x = a sinh v cos ϕ cosh v − cos u y = a sinh v sin ϕ cosh v − cos u z = a sin u cosh v − cos u {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} h 1 = h 2 = a cosh v − cos u h 3 = a sinh v cosh v − cos u {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}} 放物面円筒座標 ( u , v , z ) ∈ ( − ∞ , ∞ ) × [ 0 , ∞ ) × ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )}
x = 1 2 ( u 2 − v 2 ) y = u v z = z {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}} h 1 = h 2 = u 2 + v 2 h 3 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}} 円錐座標 ( λ , μ , ν ) ν 2 < b 2 < μ 2 < a 2 λ ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}}
x = λ μ ν a b y = λ a ( μ 2 − a 2 ) ( ν 2 − a 2 ) a 2 − b 2 z = λ b ( μ 2 − b 2 ) ( ν 2 − b 2 ) b 2 − a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{b^{2}-a^{2}}}}\end{aligned}}} h 1 = 1 h 2 2 = λ 2 ( μ 2 − ν 2 ) ( μ 2 − a 2 ) ( b 2 − μ 2 ) h 3 2 = λ 2 ( μ 2 − ν 2 ) ( ν 2 − a 2 ) ( ν 2 − b 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}}
より一般的だが解析的な直交座標系の例としては、相似偏球面（SOS）系 [7] [8] があり、この系では、直交座標からの変換とスケール係数は、一般化二項係数を用いた無限収束和として表現されます。
参照
注記
参考文献 Korn GA と Korn TM . (1961) 科学者とエンジニアのための数学ハンドブック 、McGraw-Hill、pp. 164–182。 モースとフェシュバッハ (1953). 理論物理学の方法, 第1巻 . マグロウヒル. Margenau H. と Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry 、第 2 版、Van Nostrand、pp. 172–192。 Leonid P. Lebedev と Michael J. Cloud (2003) Tensor Analysis 、pp. 81 – 88。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b967298ef8aa5d1b20f98c99698d74ed639bbcae)
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\hat {F}}_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\hat {F}}_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\hat {F}}_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd8dd4ce2332d2f245d0b36104cfdcb7c8bb506)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}{\hat {F}}_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}{\hat {F}}_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}{\hat {F}}_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}{\hat {F}}_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}{\hat {F}}_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}{\hat {F}}_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}{\hat {F}}_{1}&h_{2}{\hat {F}}_{2}&h_{3}{\hat {F}}_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a79e822064987e8f991bfe825abe1ee4e80843d)
![{\displaystyle \nabla^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36a46d097a001f5efcd7baeb71a704a4b7d12a7)
![{\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3d1780fdf3a08972f06460f5741be18d7bd6fe)
![{\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28fd2e72b24c18b1b2b140ee915554865ec5c6a5)
![{\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}])。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974cf3b8344f1c1effd1f000b64a2ac21b104055)
![{\displaystyle (r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f80374da8b4cc0a2a38db8d858474b585b0574)
![{\displaystyle (\xi,\eta,\phi)\in[0,\infty)\times \left[-{\frac {\pi}{2}},{\frac {\pi}{2}}\right]\times [0,2\pi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93628d06c8efe1c6f60365cc5f80f615c07bca13)
![{\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c343b31aeed0f8843151e697f796a225a14491)
![{\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000c3d0efd5294a2c0d125ea8f4a1052147fc971)
