直交関数

Type of function

数学において、直交関数は、双線型形式を備えたベクトル空間である関数空間に属する。関数空間が定義域として区間を持つ場合、双線型形式は区間上の関数の積の積分となる。

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.}$

関数と は、この積分がゼロのとき、すなわち のときはいつでも直交する。有限次元空間におけるベクトルの基底と同様に、直交関数は関数空間の無限基底を形成することができる。概念的には、上記の積分はベクトルの内積と等価である。つまり、 2つのベクトルは、それらの内積がゼロであるとき、互いに独立（直交）である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \langle f,\,g\rangle =0}$ ${\displaystyle f\neq g}$

が非零のL ²ノルムの直交関数の列であるとする。したがって、この列はL ²ノルムが1の関数の列であり、直交列を形成する。定義されたL ²ノルムを持つためには、積分は有界でなければならない。そのため、関数は2乗積分可能となる。 ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$ ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}}$

三角関数

いくつかの直交関数の集合は、関数を近似するための標準的な基底となっている。例えば、正弦関数sin nxとsin mxは、 nとm が正の整数であるとき、区間上で直交する。 ${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle m\neq n}$

${\displaystyle 2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),}$

そして、2つの正弦関数の積の積分は0になる。^[1]これらの直交関数は、余弦関数と一緒に三角多項式に組み立てられ、そのフーリエ級数を持つ区間上の与えられた関数を近似することができる。

多項式

区間上の単項式列から始めてグラム・シュミット過程を適用すると、ルジャンドル多項式が得られます。直交多項式の別の集合として、ルジャンドル随伴多項式があります。 ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

直交多項式の研究では、双線形形式に挿入される重み関数が扱われます。 ${\displaystyle w(x)}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.}$

ラゲール多項式の場合、重み関数は です。 ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle w(x)=e^{-x}}$

物理学者と確率論者は両方とも上のエルミート多項式を使用します。ここで、重み関数はまたは です。 ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}$ ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}/2}}$

チェビシェフ多項式は で定義され、重みまたはを使用します。 ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

ゼルニケ多項式は単位円上で定義され、半径部分と角度部分の両方が直交します。

バイナリ値関数

Walsh 関数とHaar ウェーブレットは、離散範囲を持つ直交関数の例です。

有理関数

x=0.01 から 100 までの範囲における n=0、1、2、3、4 のチェビシェフ有理関数のプロット。

ルジャンドル多項式とチェビシェフ多項式は区間[−1, 1]の直交族を提供しますが、区間[0, ∞)の直交族が必要となる場合もあります。このような場合には、まずケーリー変換を適用して、引数を[−1, 1]にすると便利です。この手順により、ルジャンドル有理関数とチェビシェフ有理関数と呼ばれる有理直交関数の族が得られます。

微分方程式では

境界条件を持つ線形微分方程式の解は、多くの場合、直交解関数（別名、固有関数）の加重和として表すことができ、一般化フーリエ級数につながります。

参照

• 固有値と固有ベクトル
• ヒルベルト空間
• カルーネン・レーヴの定理
• ローリセラの定理
• ワニエ関数

参考文献

1. アントニ・ジグムント(1935)三角関数シリーズ、6ページ、ワルシャワ大学数学セミナー

• George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists、第 6 版、第 10 章: Sturm-Liouville 理論 - 直交関数、Academic Press。
• Price, Justin J. (1975). 「直交関数の話題」. American Mathematical Monthly . 82 : 594–609 . doi :10.2307/2319690. 2021年1月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年2月9日閲覧。
• ジョヴァンニ・サンソーネ （エインズリー・H・ダイアモンド訳）（1959）直交関数、インターサイエンス出版社。

外部リンク

• 直交関数、MathWorld にて。

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