The number of partitions of an integer
パーティション関数の値 (1、2、3、5、7、11、15、22)は 、1 から 8 までの数字のパーティションの ヤング図を数えることによって決定できます。 p ( 1 ) , … , p ( 8 ) {\displaystyle p(1),\dots ,p(8)} 数論 において 、 分割関数 p ( n ) は非負整数 n の可能な 分割 数 を表します 。例えば、整数 4 には 1 + 1 + 1 + 1 、 1 + 1 + 2 、 1 + 3 、 2 + 2 、 4 の5つの分割数があるため、 p (4) = 5 となります 。
分配関数の 閉形式の表現は 知られていないが、 正確に近似する漸近展開と、 厳密に計算できる 漸化式の 両方が存在する。分配関数は、その引数の 平方根 の 指数関数 として増加する。 その 生成関数の 逆関数は オイラー関数 である 。オイラーの 五角数定理 によれば、この関数は引数の 五角数 乗の交代和となる。
シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、 モジュラー算術 において分割関数が非自明なパターンを持つことを初めて発見しました。これは現在 、ラマヌジャン合同式 として知られています 。例えば、 nの10進表現が4または9で終わる場合、 n の分割数は 5で割り切れます。
定義と例 正の整数 n について、 p ( n )は n を正の整数の 和 として 表す異なる方法の数です 。この定義においては、和における項の順序は無関係です。同じ項が異なる順序で表された2つの和（例： 1 + 1 + 2 と 1 + 2 + 1 ）は、異なるものとはみなされません。 [a]
慣例により、 p (0) = 1 となります 。これは、0を正の整数の和（ 空和 ）として表す方法が1つあるためです。さらに、 n が負の場合、 p ( n ) = 0 となります 。
分割関数の最初のいくつかの値は、 p (0) = 1 から始まり、
1、1、2、3、5、7、11、15、22、30、42、56、77、101、135、176、231、297、385、490、627、792、1002、1255、1575、1958、2436、3010、3718、4565、5604、...（ OEIS のシーケンス A000041 ）。 n が大きい場合の p ( n ) の正確な値としては [1] が挙げられる。 p ( 100 ) = 190 , 569 , 292 p ( 1000 ) = 24 , 061 , 467 , 864 , 032 , 622 , 473 , 692 , 149 , 727 , 991 ≈ 2.40615 × 10 31 p ( 10000 ) = 36 , 167 , 251 , 325 , … , 906 , 916 , 435 , 144 ≈ 3.61673 × 10 106 {\displaystyle {\begin{aligned}p(100)&=190,\!569,\!292\\p(1000)&=24,\!061,\!467,\!864,\!032,\!622,\!473,\!692,\!149,\!727,\!991\approx 2.40615\times 10^{31}\\p(10000)&=36,\!167,\!251,\!325,\!\dots ,\!906,\!916,\!435,\!144\approx 3.61673\times 10^{106}\end{aligned}}}
母関数 オイラー法を用いてp を求める （40） ：プラスとマイナスの符号が付いた定規（灰色のボックス）を下方向にスライドさせ、対応する項を加算または減算します。符号の位置は、自然数（青）と奇数（オレンジ）の交互の差で表されます。SVGファイルでは、画像にマウスポインタを置くと定規が移動します。 p ( n )の 生成 関数は [2] で与えられます。 この式の 1 行目と 2 行目の積が等式であることは、各因数を 等比級数 に展開することによって得られます 。 展開された積が 1 行目の和に等しいことを確認するには、積 に分配法則 を適用します。これにより、積は、 係数 のシーケンス に対して の形式の 単項式 の和に展開されます。このシーケンスで、非ゼロになるのは有限個だけです。 項の指数は であり、この和は を 各数 のコピー に分割したもの として表現できるものです 。 したがって、指数を持つ積の項の数は であり、 これは左側の和 の の係数と同じです。 したがって、和は積に等しくなります。 ∑ n = 0 ∞ p ( n ) x n = ∏ k = 1 ∞ ( 1 1 − x k ) = ( 1 + x + x 2 + ⋯ ) ( 1 + x 2 + x 4 + ⋯ ) ( 1 + x 3 + x 6 + ⋯ ) ⋯ = 1 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 − ⋯ = 1 / ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k x k ( 3 k − 1 ) / 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)\\&=\left(1+x+x^{2}+\cdots \right)\left(1+x^{2}+x^{4}+\cdots \right)\left(1+x^{3}+x^{6}+\cdots \right)\cdots \\&={\frac {1}{1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots }}\\&=1{\Big /}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{k(3k-1)/2}.\end{aligned}}} 1 / ( 1 − x k ) {\displaystyle 1/(1-x^{k})} ( 1 + x k + x 2 k + x 3 k + ⋯ ) . {\displaystyle (1+x^{k}+x^{2k}+x^{3k}+\cdots ).} x a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 ⋯ {\displaystyle x^{a_{1}}x^{2a_{2}}x^{3a_{3}}\cdots } a i {\displaystyle a_{i}} n = ∑ i a i {\textstyle n=\sum ia_{i}} n {\displaystyle n} a i {\displaystyle a_{i}} i {\displaystyle i} n {\displaystyle n} p ( n ) {\displaystyle p(n)} x n {\displaystyle x^{n}}
式の3行目と4行目の分母に現れる関数は オイラー関数 です。1行目の積と3行目と4行目の式が等式となっているのは、オイラーの 五角数定理 です。これらの行 の の指数は 、の五 角数です（ の 正の値に対して同じ式から得られる通常の五角数をいくらか一般化したものです ）。3 行目の正負の符号のパターンは、 4行目の項 に由来します。 つまり、 を偶数に選択すると正の項が生成され、奇数に選択すると負の項が生成されます。 x {\displaystyle x} P k = k ( 3 k − 1 ) / 2 {\displaystyle P_{k}=k(3k-1)/2} k ∈ { 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , … } {\displaystyle k\in \{0,1,-1,2,-2,\dots \}} k {\displaystyle k} ( − 1 ) k {\displaystyle (-1)^{k}} k {\displaystyle k}
より一般的には、 を正の整数の集合から選んだ数に 分割する生成関数は、 となる最初の積の項だけを取ることで求めることができます。この結果は レオンハルト・オイラー によるものです 。 [3] オイラーの生成関数の定式化は -ポッホハマー記号の特殊なケースであり、多くの モジュラー形式 、特に デデキントのイータ関数 の積の定式化に似ています 。 n {\displaystyle n} A {\displaystyle A} k ∈ A {\displaystyle k\in A} q {\displaystyle q}
再帰関係 同じ五角数列は、 分配関数の 漸化式にも現れる。 [4] 基本ケースとして、 は に等しく 、 が 負の場合は 0 となる 。右辺の和は無限大に見えるが、 の範囲における
の非零値に由来する有限個の非零項しか持たない。 この漸化式は、等価な形で書くこともできる。 p ( n ) = ∑ k ∈ Z ∖ { 0 } ( − 1 ) k + 1 p ( n − k ( 3 k − 1 ) / 2 ) = p ( n − 1 ) + p ( n − 2 ) − p ( n − 5 ) − p ( n − 7 ) + p ( n − 12 ) + p ( n − 15 ) − p ( n − 22 ) − ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}p(n)&=\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}(-1)^{k+1}p(n-k(3k-1)/2)\\&=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-p(n-22)-\cdots \end{aligned}}} p ( 0 ) {\displaystyle p(0)} 1 {\displaystyle 1} p ( k ) {\displaystyle p(k)} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} − 24 n + 1 − 1 6 ≤ k ≤ 24 n + 1 + 1 6 . {\displaystyle -{\frac {{\sqrt {24n+1}}-1}{6}}\leq k\leq {\frac {{\sqrt {24n+1}}+1}{6}}.} p ( n ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( p ( n − k ( 3 k − 1 ) / 2 ) + p ( n − k ( 3 k + 1 ) / 2 ) ) . {\displaystyle p(n)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\big (}p(n-k(3k-1)/2)+p(n-k(3k+1)/2){\big )}.}
の別の再帰関係は、 約数関数 σ の和によって表すことができる 。 [5] が繰り返し部分のない分割数を表す 場合 、各分割を偶数部分と奇数部分に分割し、偶数部分を2で割ると、 [6] p ( n ) {\displaystyle p(n)} p ( n ) = 1 n ∑ k = 0 n − 1 σ ( n − k ) p ( k ) . {\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sigma (n-k)p(k).} q ( n ) {\displaystyle q(n)} n {\displaystyle n} p ( n ) = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ q ( n − 2 k ) p ( k ) . {\displaystyle p(n)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }q(n-2k)p(k).}
合同性 シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、分割関数が モジュラー算術 において非自明なパターンを持つことを発見した人物として知られています 。例えば、 の十進表現が 数字の 4 か 9 で終わるときはいつでも、分割の数は 5 で割り切れます。これは合同式 [7] で表現されます
。例えば、整数 4 の分割数は 5 です。整数 9 の場合、分割数は 30 です。整数 14 の場合は 135 の分割があります。この合同性は、ラマヌジャンによるより一般的な恒等式 [8] [9] からも示唆されます 。ここで、表記は 、によって定義される積を表します。 この結果の簡単な証明は、 分割関数生成関数から得ることができます。 n {\displaystyle n} p ( 5 k + 4 ) ≡ 0 ( mod 5 ) {\displaystyle p(5k+4)\equiv 0{\pmod {5}}} ∑ k = 0 ∞ p ( 5 k + 4 ) x k = 5 ( x 5 ) ∞ 5 ( x ) ∞ 6 , {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)x^{k}=5~{\frac {(x^{5})_{\infty }^{5}}{(x)_{\infty }^{6}}},} ( x ) ∞ {\displaystyle (x)_{\infty }} ( x ) ∞ = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x m ) . {\displaystyle (x)_{\infty }=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{m}).}
ラマヌジャンは7と11を法とする合同式も発見した。 [7] 最初のものはラマヌジャンの恒等式から来ている [9] p ( 7 k + 5 ) ≡ 0 ( mod 7 ) , p ( 11 k + 6 ) ≡ 0 ( mod 11 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}} ∑ k = 0 ∞ p ( 7 k + 5 ) x k = 7 ( x 7 ) ∞ 3 ( x ) ∞ 4 + 49 x ( x 7 ) ∞ 7 ( x ) ∞ 8 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)x^{k}=7~{\frac {(x^{7})_{\infty }^{3}}{(x)_{\infty }^{4}}}+49x~{\frac {(x^{7})_{\infty }^{7}}{(x)_{\infty }^{8}}}.}
5、7、11 は連続する 素数なので、ある素数 a に対して 、次の素数 13 にも同様の合同式があると考えるかもしれません。しかし、 5、7、11 以外の 素数 b に対して、 の形の合同式は存在しません。 [10] その代わり、合同式を得るためには、 の議論は ある に対して の 形を取る必要があります 。1960 年代に、 シカゴのイリノイ大学 の AOL Atkin は、 小さな素数を法として、この形の合同式をさらに発見しました。例えば、 p ( 13 k + a ) ≡ 0 ( mod 13 ) {\displaystyle p(13k+a)\equiv 0{\pmod {13}}} p ( b k + a ) ≡ 0 ( mod b ) {\displaystyle p(bk+a)\equiv 0{\pmod {b}}} p {\displaystyle p} c b k + a {\displaystyle cbk+a} c > 1 {\displaystyle c>1} p ( 11 3 ⋅ 13 ⋅ k + 237 ) ≡ 0 ( mod 13 ) . {\displaystyle p(11^{3}\cdot 13\cdot k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}
ケン・オノ （2000）は、3より大きいすべての素数を法としてそのような合同式が存在することを証明した。その後、アールグレンとオノ（2001）は、 6と互いに素で あるすべての整数を法として分割合同式が存在することを示した。 [11] [12]
ニューマン予想は 、分配関数の合同性に関する未解決問題です。任意の整数 r , m （ ただし）が与えられたとき 、非負の n （ただし ）が無限に存在すると仮定します 。 0 ≤ r ≤ m − 1 {\displaystyle 0\leq r\leq m-1} p ( n ) ≡ r ( mod m ) {\displaystyle p(n)\equiv r{\pmod {m}}}
上記の正確な式よりも速く計算できる近似式が存在します。
p ( n )の漸近表現は 次 のように与えられる 。
p ( n ) ∼ 1 4 n 3 exp ( π 2 n 3 ) {\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right)} として 。 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } この 漸近式は、1918 年に GH ハーディ と ラマヌジャン によって初めて得られ、 1920 年に JV ウスペンスキー によって独立に得られました。を考慮すると 、漸近式は約 を与え 、上記の正確な答えにかなり近くなります (真の値より 1.415% 大きい)。 p ( 1000 ) {\displaystyle p(1000)} 2.4402 × 10 31 {\displaystyle 2.4402\times 10^{31}}
ハーディとラマヌジャンは、 この近似を第一項とする 漸近展開を得た。 [13] ここ で、 の表記は、 と互いに素 で ある の値についてのみ和が取られることを意味する 。関数は デデキント和 である 。 p ( n ) ∼ 1 2 π 2 ∑ k = 1 v A k ( n ) k ⋅ d d n ( 1 n − 1 24 exp [ π k 2 3 ( n − 1 24 ) ] ) , {\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{v}A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\exp \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right),} A k ( n ) = ∑ 0 ≤ m < k , ( m , k ) = 1 e π i ( s ( m , k ) − 2 n m / k ) . {\displaystyle A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k,\;(m,k)=1}e^{\pi i\left(s(m,k)-2nm/k\right)}.} ( m , k ) = 1 {\displaystyle (m,k)=1} m {\displaystyle m} k {\displaystyle k} s ( m , k ) {\displaystyle s(m,k)}
項の後の誤差は 次の項のオーダーであり、 のオーダーであるとみなすことができます 。例として、ハーディとラマヌジャンは、 が級数の 最初の項の和に最も近い整数であることを示しました。 [13] v {\displaystyle v} v {\displaystyle v} n {\displaystyle {\sqrt {n}}} p ( 200 ) {\displaystyle p(200)} v = 5 {\displaystyle v=5}
1937年、 ハンス・ラーデマッハーは ハーディとラマヌジャンの結果をさらに改良し、の 収束級数 表現を与えた 。これは [14] [15]である。 p ( n ) {\displaystyle p(n)} p ( n ) = 1 π 2 ∑ k = 1 ∞ A k ( n ) k ⋅ d d n ( 1 n − 1 24 sinh [ π k 2 3 ( n − 1 24 ) ] ) . {\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right).}
ラデマッハの公式の証明には、 フォード円 、 ファレー列 、 モジュラー対称性 、および デデキントのイータ関数 が関係します。
ラデマッハ級数の番目の項は、最初の項がハーディ・ラマヌジャン漸近近似を与えるような 順序である ことが示され得る。 ポール・エルデシュ （1942）は、の漸近公式の初等的証明を発表した 。 [16] [17] k {\displaystyle k} exp ( π k 2 n 3 ) , {\displaystyle \exp \left({\frac {\pi }{k}}{\sqrt {\frac {2n}{3}}}\right),} p ( n ) {\displaystyle p(n)}
ハーディ・ラマヌジャン・ラーデマッハの公式をコンピュータ上で効率的に実装する手法はヨハンソン（2012）によって議論されており、 任意のに対して が100万 回で計算できることが示されている 。これは、結果の桁数と一致するという点でほぼ最適である。 [18] 正確に計算された分割関数の最大値は であり 、その桁数は110億桁をわずかに上回る。 [19] p ( n ) {\displaystyle p(n)} O ( n 1 / 2 + ε ) {\displaystyle O(n^{1/2+\varepsilon })} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} p ( 10 20 ) {\displaystyle p(10^{20})}
厳密な分割関数
定義と特性 どの部分も2回以上出現しない分割は 厳密な分割、あるいは 異なる部分への 分割と呼ばれます 。関数 q ( n ) は、与えられた和 n のこのような厳密な分割の数を与えます 。例えば、 q (3) = 2 となるのは、分割 3 と 1 + 2 は厳密であるのに対し、3 の3番目の分割 1 + 1 + 1 には重複部分があるためです。q ( n ) という 数は、 n において奇数の被加数のみが許される 分割の数にも等しくなります。 [20]
q ( n )の値 と関連するパーティション
の例 n q ( n ) 厳密なパーティション 奇数部分のみのパーティション 0 1 () 空のパーティション () 空のパーティション 1 1 1 1 2 1 2 1+1 3 2 1+2、3 1+1+1、3 4 2 1+3、4 1+1+1+1、1+3 5 3 2+3、1+4、5 1+1+1+1+1、1+1+3、5 6 4 1+2+3、2+4、1+5、6 1+1+1+1+1+1、1+1+1+3、3+3、1+5 7 5 1+2+4、3+4、2+5、1+6、7 1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+3、1+3+3、1+1+5、7 8 6 1+3+4、1+2+5、3+5、2+6、1+7、8 1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+3、1+1+3+3、1+1+1+5、3+5、1+7 9 8 2+3+4、1+3+5、4+5、1+2+6、3+6、2+7、1+8、9 1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+3、1+1+1+3+3、3+3+3、1+1+1+1+5、1+3+5、1+1+7、9
母関数 数 q ( n )の生成関数は単純な無限積で与えられる: [21] ここで、表記は ポッホハマー記号 を表す。 この式から、最初の数項( OEIS のシーケンス A000009 )を簡単に得ることができる。
この級数は、 シータ関数 で次 のよう
に書くこともできる。 ここで 、および 比較すると、通常の分割数 p ( n )の生成関数は、シータ関数に関して次の恒等式を持つ: ∑ n = 0 ∞ q ( n ) x n = ∏ k = 1 ∞ ( 1 + x k ) = ( x ; x 2 ) ∞ − 1 , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1+x^{k})=(x;x^{2})_{\infty }^{-1},} ( a ; b ) ∞ {\displaystyle (a;b)_{\infty }} ( a ; b ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a b k ) . {\displaystyle (a;b)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-ab^{k}).} ∑ n = 0 ∞ q ( n ) x n = 1 + 1 x + 1 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + 4 x 6 + 5 x 7 + 6 x 8 + 8 x 9 + 10 x 10 + … . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=1+1x+1x^{2}+2x^{3}+2x^{4}+3x^{5}+4x^{6}+5x^{7}+6x^{8}+8x^{9}+10x^{10}+\ldots .} ∑ n = 0 ∞ q ( n ) x n = ϑ 00 ( x ) 1 / 6 ϑ 01 ( x ) − 1 / 3 { 1 16 x [ ϑ 00 ( x ) 4 − ϑ 01 ( x ) 4 ] } 1 / 24 , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/24},} ϑ 00 ( x ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ x n 2 {\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}} ϑ 01 ( x ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x n 2 . {\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}.} ∑ n = 0 ∞ p ( n ) x n = ( x ; x ) ∞ − 1 = ϑ 00 ( x ) − 1 / 6 ϑ 01 ( x ) − 2 / 3 { 1 16 x [ ϑ 00 ( x ) 4 − ϑ 01 ( x ) 4 ] } − 1 / 24 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=(x;x)_{\infty }^{-1}=\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1/24}.}
厳密な分割数に関する同一性 Pochhammer 製品には次の ID が有効です。
( x ; x ) ∞ − 1 = ( x 2 ; x 2 ) ∞ − 1 ( x ; x 2 ) ∞ − 1 {\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=(x^{2};x^{2})_{\infty }^{-1}(x;x^{2})_{\infty }^{-1}} この等式から次の式が導き出されます。
[ ∑ n = 0 ∞ p ( n ) x n ] = [ ∑ n = 0 ∞ p ( n ) x 2 n ] [ ∑ n = 0 ∞ q ( n ) x n ] {\displaystyle {\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}{\biggr ]}={\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{2n}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}{\biggr ]}} したがって、これらの2つの式は数列p(n)の合成に有効です。
p ( 2 n ) = ∑ k = 0 n p ( n − k ) q ( 2 k ) {\displaystyle p(2n)=\sum _{k=0}^{n}p(n-k)q(2k)} p ( 2 n + 1 ) = ∑ k = 0 n p ( n − k ) q ( 2 k + 1 ) {\displaystyle p(2n+1)=\sum _{k=0}^{n}p(n-k)q(2k+1)} 次の 2 つの例は正確に実行されています。
p ( 8 ) = ∑ k = 0 4 p ( 4 − k ) q ( 2 k ) = {\displaystyle p(8)=\sum _{k=0}^{4}p(4-k)q(2k)=} = p ( 4 ) q ( 0 ) + p ( 3 ) q ( 2 ) + p ( 2 ) q ( 4 ) + p ( 1 ) q ( 6 ) + p ( 0 ) q ( 8 ) = {\displaystyle =p(4)q(0)+p(3)q(2)+p(2)q(4)+p(1)q(6)+p(0)q(8)=} = 5 × 1 + 3 × 1 + 2 × 2 + 1 × 4 + 1 × 6 = 22 {\displaystyle =5\times 1+3\times 1+2\times 2+1\times 4+1\times 6=22} p ( 9 ) = ∑ k = 0 4 p ( 4 − k ) q ( 2 k + 1 ) = {\displaystyle p(9)=\sum _{k=0}^{4}p(4-k)q(2k+1)=} = p ( 4 ) q ( 1 ) + p ( 3 ) q ( 3 ) + p ( 2 ) q ( 5 ) + p ( 1 ) q ( 7 ) + p ( 0 ) q ( 9 ) = {\displaystyle =p(4)q(1)+p(3)q(3)+p(2)q(5)+p(1)q(7)+p(0)q(9)=} = 5 × 1 + 3 × 2 + 2 × 3 + 1 × 5 + 1 × 8 = 30 {\displaystyle =5\times 1+3\times 2+2\times 3+1\times 5+1\times 8=30}
制限付きパーティション関数 より一般的には、自然数の部分集合A の要素のみに制限された分割 （例えば、分割部分の最大値に関する制限）や、分割部分の数や分割部分間の最大差に関する制限を伴う分割を考えることができます。それぞれの制限は、特定の特性を持つ分割関数を伴います。以下にいくつかの一般的な例を示します。
オイラーとグライシャーの定理 2 つの重要な例として、奇数部分のみ、または偶数部分のみに制限されたパーティションがあり、対応するパーティション関数は、多くの場合、 およびと表記されます 。 p o ( n ) {\displaystyle p_{o}(n)} p e ( n ) {\displaystyle p_{e}(n)}
オイラーの定理によれば、厳密な分割の数は、すべての n に対して、奇数部分のみを含む分割の数に等しい 。これは グライシャーの定理として一般化され、任意の部分の繰り返しが d-1 回 以下である分割の数は、 d で割り切れる部分が存在しない分割の数に等しいと述べている 。 q ( n ) = p o ( n ) {\displaystyle q(n)=p_{o}(n)}
ガウス二項係数 n を最大 M 個の部分に分割し、各部分が N 以下である 場合 、 の生成関数は 次の ガウス二項係数 になります。 p ( N , M , n ) {\displaystyle p(N,M,n)} p ( N , M , n ) {\displaystyle p(N,M,n)}
∑ n = 0 ∞ p ( N , M , n ) q n = ( N + M M ) q = ( 1 − q N + M ) ( 1 − q N + M − 1 ) ⋯ ( 1 − q N + 1 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ⋯ ( 1 − q M ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(N,M,n)q^{n}={N+M \choose M}_{q}={\frac {(1-q^{N+M})(1-q^{N+M-1})\cdots (1-q^{N+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{M})}}}
漸近解析 制限された分割関数の漸近的性質に関する一般的な結果がいくつか知られている。p A ( n ) を 自然数の
サブセット A の要素のみに制限した分割の分割関数とすると、次の式が成り立つ。
Aが正の 自然密度 α を持つ 場合 、 log p A ( n ) ∼ C α n {\displaystyle \log p_{A}(n)\sim C{\sqrt {\alpha n}}} C = π 2 3 {\displaystyle C=\pi {\sqrt {\frac {2}{3}}}}
逆に、この漸近的性質が p A ( n )に対して成り立つ場合、 Aは 自然密度αを持つ。 この結果は、エルデシュによって1942年に証明の概要とともに述べられた。 [16]
A が有限集合の場合 、この解析は適用されない（有限集合の密度は0である）。Aに 最大公約数 が1である k 個の元がある場合、
p A ( n ) = ( ∏ a ∈ A a − 1 ) ⋅ n k − 1 ( k − 1 ) ! + O ( n k − 2 ) . {\displaystyle p_{A}(n)=\left(\prod _{a\in A}a^{-1}\right)\cdot {\frac {n^{k-1}}{(k-1)!}}+O(n^{k-2}).}
参考文献 ^ 順序が考慮される対応するオブジェクトは、 コンポジション と呼ばれます。 ^ Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A070177」、整数シーケンスの オンライン 百科事典 、OEIS Foundation ^ アブラモウィッツ、ミルトン 、 ステガン、アイリーン （1964年）、 数式、グラフ、数学表付き数学関数ハンドブック 、米国商務省、国立標準局、p. 825、 ISBN 0-486-61272-4 ^ オイラー、レオンハルト (1753)、「De Partitione numerorum」、 Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (ラテン語)、 3 : 125–169、2023 年 8 月 5 日にオリジナルからアーカイブ 、 2018 年 12 月 17 日に取得 ^ Ewell, John A. (2004)、「分割関数とその類似体の再帰」、 ロッキーマウンテン数学ジャーナル 、 34 (2): 619– 627、 doi : 10.1216/rmjm/1181069871 、 JSTOR 44238988、 MR 2072798 ^ ウィルフ、ハーバート・S. (1982)、「答えとは何か？」 アメリカ数学月刊誌 、 89 (5): 289–292 、 doi :10.2307/2321713、 JSTOR 2321713、 MR 0653502 ^ Al, Busra; Alkan, Mustafa (2018), "A note on relations among partitions", Proc. Mediterranean Int. Conf. Pure & Applied Math. and Related Areas (MICOPAM 2018), pp. 35– 39, 2024年4月27日時点のオリジナルよりアーカイブ , 2018年12 月17日閲覧 ^ ab ハーディ、GH ; ライト、EM (2008) [1938]、 「数論入門 （第6版）」、 オックスフォード大学出版局 、p. 380、 ISBN 978-0-19-921986-5 、 MR 2445243、 Zbl 1159.11001 ^ Berndt, Bruce C. ; Ono, Ken (1999)、「Ramanujan's unpublished manuscript on the partition and tau functions with proofs and commentary」 （PDF） 、 The Andrews Festschrift（Maratea、1998） 、 Séminaire Lotharingien de Combinatoire 、vol. 42、Art. B42c、63、 MR 1701582、 2019年3月4日に オリジナル （PDF）からアーカイブ、 2018 年12月17日取得 ^ ab 小野健 (2004)、 「モジュラリティのウェブ：モジュラー形式と -級数 の係数の算術」 、CBMS Regional Conference Series in Mathematics、第102巻、プロビデンス、ロードアイランド： アメリカ数学会 、p. 87、 ISBN q {\displaystyle q} 0-8218-3368-5 、 Zbl 1119.11026 ^ Ahlgren, Scott; Boylan, Matthew (2003), "Arithmetic properties of the partition function" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 153 (3): 487– 502, Bibcode :2003InMat.153..487A, doi :10.1007/s00222-003-0295-6, MR 2000466, S2CID 123104639, 2008年7月19日時点 のオリジナル (PDF)からアーカイブ, 2018年 12月17日取得 ^ 小野健 (2000)、「分配関数のモジュロ分布 」、 Annals of Mathematics 、 151 (1): 293– 307、 arXiv : math/0008140 、 Bibcode :2000math......8140O、 doi :10.2307/121118、 JSTOR 121118、 MR 1745012、 S2CID 119750203、 Zbl 0984.11050 m {\displaystyle m} ^ Ahlgren, Scott; Ono, Ken (2001), "Congruence properties for the partition function" (PDF) , Proceedings of the National Academy of Sciences , 98 (23): 12882– 12884, Bibcode :2001PNAS...9812882A, doi : 10.1073/pnas.191488598 , MR 1862931, PMC 60793 , PMID 11606715, 2019年3月4日時点 のオリジナル (PDF)からアーカイブ、2018年12 月17日 取得 ^ ab ハーディ, GH ; ラマヌジャン, S. (1918)、「組合せ解析における漸近公式」、 ロンドン数学会報 、第2シリーズ、 17 ( 75– 115) . Collected papers of Srinivasa Ramanujan 、Amer. Math. Soc. (2000)、pp. 276–309 に転載。 ^ アンドリュース、ジョージ・E. （1976）、 分割理論 、ケンブリッジ大学出版局、69ページ、 ISBN 0-521-63766-X 、 MR 0557013 ^ ラデマッハー、ハンス （1937）、「分配関数について 」、 ロンドン数学会報 、第2シリーズ、 43 （4）： 241-254 、 doi ：10.1112/plms/s2-43.4.241、 MR 1575213 p ( n ) {\displaystyle p(n)} ^ ab Erdős, P. (1942)、「分割理論におけるいくつかの漸近公式の基本的証明について」 (PDF) 、 Annals of Mathematics 、第2シリーズ、 43 (3): 437– 450、 doi :10.2307/1968802、 JSTOR 1968802、 MR 0006749、 Zbl 0061.07905 ^ Nathanson, MB (2000), 数論における初等的方法 , 大学院数学テキスト , 第195巻, Springer-Verlag , p. 456, ISBN 0-387-98912-9 、 Zbl 0953.11002 ^ Johansson, Fredrik (2012)、「ハーディ・ラマヌジャン・ラーデマッハ式の効率的な実装」、 LMS Journal of Computation and Mathematics 、 15 : 341–59 、 arXiv : 1205.5991 、 doi :10.1112/S1461157012001088、 MR 2988821、 S2CID 16580723 ^ Johansson, Fredrik (2014年3月2日) 新しいパーティション関数の記録: p(1020) の計算 ^ スタンリー、リチャード・P. （1997）、 列挙的組合せ論1 、ケンブリッジ高等数学研究、第49巻、ケンブリッジ大学出版局、命題1.8.5、 ISBN 0-521-66351-2 ^ スタンレー、リチャード・P. （1997）、 列挙的組合せ論1 、ケンブリッジ高等数学研究、第49巻、ケンブリッジ大学出版局、命題1.8.5の証明、 ISBN 0-521-66351-2
外部リンク 
![{\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{v}A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\exp \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ceae2693bf7f43119090335f73b00f55c9c3bf)
![{\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a531a51cf48ba80587a05f67f44d390aba14fc)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\bigl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/24},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6cfb3c0159d770c315b22b90316bfb8ae22033)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=(x;x)_{\infty }^{-1}=\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1/24}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1197f6f79095ff46af1d8a9bb5617f18d2beec4)
![{\displaystyle {\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}{\biggr ]}={\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{2n}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539815eff209a5f350ab0768f832f31724971e1e)
