p進評価

Highest power of p dividing a given number

数論において、整数nのp進評価値またはp進順序は、 nを割り切る素数pの最大のべき乗の指数です。これは と表記されます。同様に、は の素因数分解に現れるの指数です。 ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

p進付値は付値であり、通常の絶対値の類似値を生み出す。通常の絶対値に関して有理数を完備化すると実数 が得られるのに対し、 -進絶対値に関して有理数を完備化するとp進数 が得られる。^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

自然数の分布を2進数で表し、対応する2の累乗を10進数で表記しています。ゼロは無限大の値を持ちます。

定義と特性

pを素数とします。

整数

整数のp進値は次のように定義される。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

ここで は自然数（ゼロを含む）の集合を表し、は が で割り切れることを表す。特に、は関数 である。^[2] ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle m\mid n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \nu _{p}}$ ${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$

たとえば、、およびのようになります。 ${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$ ${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$ ${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$ ${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$

この表記は、 という意味で使われることもある。^[3] ${\displaystyle p^{k}\parallel n}$ ${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$

が正の整数の場合、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$;

これは から直接導かれます。 ${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$

有理数

p進評価は有理数に拡張することができ、関数

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^{[4] [5]}

定義

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}$

たとえば、であり、のためです。 ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$ ${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$ ${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$

いくつかのプロパティは次のとおりです。

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

さらに、 ならば、 ${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

ここで、 は最小値（つまり、 2 つのうち小さい方）です。 ${\displaystyle \min }$

の式p整数の - 進評価

ルジャンドルの公式によれば、 となります。 ${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}}}$

任意の正の整数nに対して、となります。 ${\displaystyle n={\frac {n!}{(n-1)!}}}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)=\nu _{p}(n!)-\nu _{p}((n-1)!)}$

したがって、。 ${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}}$

この無限和は まで減らすことができます。 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(n)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}}$

この式は負の整数値に拡張でき、次のようになります。

${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(|n|)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {|n|}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {|n|-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}}$

p-進絶対値

p進絶対値（またはp進ノルム^[6] 、解析的な意味でのノルムではない）は、関数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

定義

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$

これにより、すべての人にとって、そして例えば、そして ${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}$

p進絶対値は次の特性を満たします。

非否定性	${\displaystyle |r|_{p}\geq 0}$
正定値性	${\displaystyle |r|_{p}=0\iff r=0}$
乗法性	${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$
非アルキメデス的	${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

乗法的性質 から、単位根と に対してが成り立ち、したがって も成り立ちます。非アルキメデスの三角形の不等式から、劣加法性が成り立ちます。 ${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$ ${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

指数関数における底pの選択は、ほとんどの特性に影響を与えませんが、積の式をサポートします。 ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

ここで、積はすべての素数pと通常の絶対値について取られます。これは単純に素因数分解を行うことで得られます。つまり、各素因数はその逆数をp進絶対値に寄与し、通常のアルキメデスの絶対値がそれらすべてをキャンセルします。 ${\displaystyle |r|_{0}}$ ${\displaystyle p^{k}}$

距離空間は、（非アルキメデス的、並進不変な）距離 を持つ集合上に形成される。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

定義

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

この測定基準に関してを完成させると、 p進数の集合が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

参照

• p進数
• 評価（代数）
• アルキメデスの性質
• 多重性（数学）
• オストロフスキーの定理
• ルジャンドルの公式、 -進評価 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n!}$
• 指数持ち上げ補題、 -進評価の ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$

参考文献

1. ダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2003).抽象代数（第3版）. Wiley. pp.  758– 759. ISBN 0-471-43334-9。
2. アイルランド, K.; ローゼン, M. (2000). 『現代数論への古典的入門』 ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. p. 3.^{[ ISBN がありません]}
3. ニーヴン、イヴァン、ザッカーマン、ハーバート・S、モンゴメリー、ヒュー・L (1991). 『数論入門』（第5版）.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 4. ISBN 0-471-62546-9。
4. 通常の順序関係、すなわち

   ${\displaystyle \infty >n}$、

   算術演算のルール

   ${\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty }$、

   延長された数直線上。
5. Khrennikov, A.; Nilsson, M. (2004). p進決定論的およびランダムダイナミクス. Kluwer Academic Publishers. p. 9.^{[ ISBN がありません]}
6. Murty, M. Ram (2001).解析的数論の問題. 大学院数学テキスト. 第206巻. Springer-Verlag, ニューヨーク. pp.  147– 148. doi :10.1007/978-1-4757-3441-6. ISBN 0-387-95143-1. MR  1803093。

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