円分的特徴

数論において、円分指標（きんぶんしきひょう）とは、単位根群へのガロア作用を与えるガロア群の指標である。環 $R$ 上の1次元表現として、その表現空間は一般に $R$ $(1)$ で表される（つまり、 $χ :$ $G$ $\to Aut$ $R$ $($ $R$ $(1)) \approx GL(1,$ $R$ $)$ という表現である）。

p-進円分性

$p$ を素数とし、を有理数の絶対ガロア群とします。単位根はの位数の巡回群を形成し、これは $p$ $n$ 乗の原始単位根 $ζ$ $p$ $n$ の任意の選択によって生成されます。 $G_{\mathbf {Q} }$ $\mu _{p^{n}}=\left\{\zeta \in {\bar {\mathbf {Q} }}^{\times }\mid \zeta ^{p^{n}}=1\right\}$ $p^{n}$

の原始根はすべてガロア共役なので、ガロア群は自己同型によってに作用します。を生成するの原始根を固定すれば、任意の元はのべき乗として表すことができます。ここで、指数はの唯一の元であり、も原始根である場合はの元はです。したがって、について、は次のように表すことができます。 $\mu _{p^{n}}$ $G_{\mathbf {Q} }$ $\mu _{p^{n}}$ $\zeta _{p^{n}}$ $\mu _{p^{n}}$ $\zeta \in \mu _{p^{n}}$ $\zeta _{p^{n}}$ $\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z}$ $\zeta$ $\sigma \in G_{\mathbf {Q} }$

$\sigma .\zeta :=\sigma (\zeta )=\zeta _{p^{n}}^{a(\sigma ,n)}$

ここで、は上と同様に、との両方に依存した一意の元である。これは、mod $p$ $n$ 円分指標と呼ばれる群準同型を定義する。 $a(\sigma ,n)\in (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }$ $\sigma$ $p$

${\begin{aligned}{\chi _{p^{n}}}:G_{\mathbf {Q} }&\to (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\\\sigma &\mapsto a(\sigma ,n),\end{aligned}}$ これは、アクションが準同型に対応するため、文字として表示されます。 $G_{\mathbf {Q} }\to \mathrm {Aut} (\mu _{p^{n}})\cong (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathrm {GL} _{1}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )$

を固定し、を変化させると、はp進整数環の単位の逆極限の元を与えるという意味で両立する系を形成する。したがって、は $p$ 進円分指標と呼ばれる群準同型に組み立てられる。 $p$ $\sigma$ $n$ $a(\sigma ,n)$ $\varprojlim _{n}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathbf {Z} _{p}^{\times },$ ${\chi _{p^{n}}}$

${\begin{aligned}\chi _{p}:G_{\mathbf {Q} }&\to \mathbf {Z} _{p}^{\times }\cong \mathrm {GL_{1}} (\mathbf {Z} _{p})\\\sigma &\mapsto (a(\sigma ,n))_{n}\end{aligned}}$ の作用をすべての $p$ 進単位根 $に$ 同時に符号化する。実際、クルル位相とp進位相を備えることで、これは位相群の連続表現となる。 $G_{\mathbf {Q} }$ $\mu _{p^{n}}$ $G_{\mathbf {Q} }$ $\mathbf {Z} _{p}$

互換性のあるシステムとして $ℓ$ -進表現

$ℓ を$ すべての素数にわたって変化させることで、 $ℓ$ 進円分指標から、ℓ進表現の互換性のある体系が得られる（互換性のある表現体系を考える場合、標準的な用語法では素数を表すために $p$ ではなく記号 $ℓ$ を用いる）。つまり、 $χ = { χ$ $ℓ$ $}$ $ℓ$ $はℓ$ 進表現の「族」である。

\chi _{\ell }:G_{\mathbf {Q} }\rightarrow \operatorname {GL} _{1}(\mathbf {Z} _{\ell })

異なる素数間の一定の互換性を満たす。実際、 $χ ℓ は$ ℓ 進表現の厳密に互換性のあるシステムを形成する。

幾何学的実現

p進円分指標は、乗法群スキーム G m , Q 上の Q の p 進テイト加群である $。$ したがって $、$ $その$ $表現$ $空間$ は $Q$ における $p$ のn乗根群 $の$ $逆$ $極限$ と見ることができる。

コホモロジーの観点から見ると、 $p$ 進円分指標は $G$ $m$ の最初の $p$ 進エタールコホモロジー群の双対である。これは射影多様体のエタールコホモロジー、すなわち射影直線にも見られ、 $H$ $2$ $ét$ $($ $P$ $1$ $)$ の双対である。

モチーフの観点から見ると、 $p$ 進円分指標はテイトモチーフ $Z$ $(1)$ の $p進実現である。グロタンディークモチーフとしては、テイトモチーフは$ $H$ $2$ $($ $P$ $1$ $)$ の双対である。^[1]^[^{説明が必要}^]

プロパティ

p進円分特性 $は$ いくつかの優れた特性を満たします。

これはすべての素数 $ℓ \neq$ $p$ で非分岐です(つまり、 $ℓ$ での慣性部分群は自明に作用します)。
$Frob ℓ が$ $ℓ \neq$ $p$ のフロベニウス要素である場合、 $χ$ $p$ $(Frob$ $ℓ$ $) = ℓ と$ なります。
$p$ で結晶化します。

参照

テイトツイスト

参考文献

^ Deligne, Pierre (1979)「L関数の値と積分期間」(PDF)の第3節、Borel, Armand ; Casselman, William (編) 『保型形式、表現、およびL関数』、純粋数学シンポジウム紀要(フランス語)、第33巻、Providence, RI: AMS、325ページ、ISBN 0-8218-1437-0、MR 0546622、Zbl 0449.10022

[1] Deligne, Pierre (1979)「L関数の値と積分期間」(PDF)の第3節、Borel, Armand ; Casselman, William (編) 『保型形式、表現、およびL関数』、純粋数学シンポジウム紀要(フランス語)、第33巻、Providence, RI: AMS、325ページ、ISBN 0-8218-1437-0、MR 0546622、Zbl 0449.10022