Group in group theory and physics
数学 において 、 ハイゼンベルク群は、 ヴェルナー・ハイゼンベルク にちなんで名付けられた 、 次の形式の 3×3 上三角行列の 群である。 H {\displaystyle H}
( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} 行列乗算 の演算の下では 、元 a、b 、 cは 単位元を持つ任意の可換環 から取ることができ、 実数 環（「連続ハイゼンベルク群」となる）または 整数 環 （「離散ハイゼンベルク群」となる）として扱われることが多い。
連続ハイゼンベルク群は、1次元量子力学 系の記述、特に ストーン・フォン・ノイマン定理 の文脈において現れる 。より一般的には、 n 次元系、そして最も一般的には 任意のシンプレクティックベクトル空間 に関連するハイゼンベルク群を考えることができる。
立体ケース 3次元の場合、2つのハイゼンベルク行列の積は次のように表される。
( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) ( 1 a ′ c ′ 0 1 b ′ 0 0 1 ) = ( 1 a + a ′ c + a b ′ + c ′ 0 1 b + b ′ 0 0 1 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+ab'+c'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.} ab ′ という項からわかるように 、この群は 非可換群 です。
ハイゼンベルク群の中立要素は 単位行列 であり、逆行列は次のように与えられる。
( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) − 1 = ( 1 − a a b − c 0 1 − b 0 0 1 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.} この群は2次元アフィン群Aff(2)の部分群である。 作用点は アフィン変換に対応する。 ( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} ( x → , 1 ) {\displaystyle ({\vec {x}},1)} ( 1 a 0 1 ) x → + ( c b ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}+{\begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}}.}
3次元の場合の顕著な例がいくつかあります。
連続ハイゼンベルク群 a 、 b 、 c が 実数 （環 R 内）である場合 、 連続ハイゼンベルク群 H 3 ( R ) が存在します。
これは 次元 3 の べき零 実 リー群です。
実 3×3 行列としての表現に加えて、連続ハイゼンベルク群には 関数空間 による異なる 表現 もいくつかあります。 ストーン–フォン ノイマンの定理により、同型性を除いて、 中心 が特定の非自明な 特性 によって作用するH の唯一の既約ユニタリ表現が存在します 。この表現には、いくつかの重要な実現化、つまりモデルがあります。 シュレーディンガー モデルでは、ハイゼンベルク群は 平方可積分 関数の空間に作用します 。 シータ表現では、ハイゼンベルク群は 上半平面 上の正則 関数 の空間に作用します。 シータ関数 との関連から、このように呼ばれています 。
離散ハイゼンベルク群 離散ハイゼンベルク群の ケーリーグラフ の一部。生成元はテキスト中の x 、 y 、 z である（色分けは視覚的な補助のためだけのものである）。 a , b , c が整数（環 Z ）のとき、 離散ハイゼンベルク群 H 3 ( Z )が成り立ちます 。これは 非可換冪 零群 です。2つの生成元を持ちます。
x = ( 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ) , y = ( 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ) {\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}} と関係
z = x y x − 1 y − 1 , x z = z x , y z = z y , {\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1},\quad xz=zx,\quad yz=zy,} どこ
z = ( 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}} はH 3の 中心 の生成元です。（ x 、 y 、 z の逆元は 対角線の上の 1 を -1 に置き換えることに注意してください。）
バスの定理 によれば 、多項式 成長率 は 4 次です。
あらゆる要素を生成できる
( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) = y b z c x a . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}.}
奇素数を法とするハイゼンベルク群 p 奇 素数 pに対して Z / p Z に a , b , c をとると 、 p を法とするハイゼンベルク群が得られる。これは 位数 p ≒ 3 の 群であり 、生成元は x , y で、関係は
z = x y x − 1 y − 1 , x p = y p = z p = 1 , x z = z x , y z = z y . {\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1},\quad x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\quad xz=zx,\quad yz=zy.} 奇素数位数 pの 有限 体上のハイゼンベルク群の類似物は、 超特殊群 、あるいはより正確には 指数 p の超特殊群と呼ばれる 。より一般的には、 群 Gの 導来部分群が G の 中心 Z に含まれる場合、写像 G / Z × G / Z → Z はアーベル群上の歪対称双線型作用素となる。
しかし、 G / Z が 有限 ベクトル空間であることを要求するには、 G の フラッティーニ部分群が 中心に含まれる 必要があり、また Z が Z / p Z 上の1次元ベクトル空間である ことを要求するには、 Z が位数 p を持つ必要がある ため、 G がアーベル群でない場合、 G は特別な群となる。G が特別な群であっても指数 p を持たない場合 、 以下 の 一般的な構成をシンプレクティックベクトル空間 G / Zに適用しても、 G と同型な群は得られない 。
ハイゼンベルク群の法2 2を法とするハイゼンベルク群は位数8で、 二面体群 D 4 （正方形の対称性）と同型である。
x = ( 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ) , y = ( 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ) , {\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}},} それから
x y = ( 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ) , {\displaystyle xy={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}},} そして
y x = ( 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ) . {\displaystyle yx={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}.} 要素 x と y は 鏡映（45°の角度差）に対応し、 xy と yx は 90°の回転に対応します。その他の鏡映は xyx と yxy で、180°の回転は xyxy (= yxyx ) です。
ハイゼンベルク代数 ハイゼンベルク群の リー代数 （実数上）はハイゼンベルク代数として知られている。 [1]
これは3×3行列の空間を用いて表現することができる。 [2] h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} H {\displaystyle H}
( 0 a c 0 0 b 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}}} と 。 a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }
以下の 3 つの要素が の基礎となります 。 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}}
X = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) , Y = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) , Z = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) . {\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.} これらの基底要素は交換関係を満たす
[ X , Y ] = Z , [ X , Z ] = 0 , [ Y , Z ] = 0. {\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0.} 「ハイゼンベルク群」という名前は、量子力学における 標準的な交換関係 と同じ形式を持つ前述の関係に由来しています。
[ x ^ , p ^ ] = i ℏ I , [ x ^ , i ℏ I ] = 0 , [ p ^ , i ℏ I ] = 0 , {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar I,\quad [{\hat {x}},i\hbar I]=0,\quad [{\hat {p}},i\hbar I]=0,} ここで 、 は位置演算子、 は運動量演算子、 はプランク定数です。 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} ℏ {\displaystyle \hbar }
ハイゼンベルク群 H は、指数写像がリー代数から群 H への1対1かつ全射写像であるという特別な性質を持つ ： [3] h {\displaystyle {\mathfrak {h}}}
exp ( 0 a c 0 0 b 0 0 0 ) = ( 1 a c + a b 2 0 1 b 0 0 1 ) . {\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a&c+{\frac {ab}{2}}\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}.}
共形場理論 において 、ハイゼンベルク代数という用語は、上記の代数の無限次元一般化を指すために使用される。これは、 交換関係を持つ
元によって張られる。 a n , n ∈ Z {\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }
[ a n , a m ] = δ n + m , 0 . {\displaystyle [a_{n},a_{m}]=\delta _{n+m,0}.} 再スケーリングすると、これは単に上記の代数の可算無限数のコピーになります。
高次元 より一般的なハイゼンベルク群は、 ユークリッド空間の高次元に対して定義され、より一般的には シンプレクティックベクトル空間 上で定義される。最も単純な一般例は、任意の 整数 に対して次元 の実ハイゼンベルク群である 。行列の群として （あるいは これが実数体上のハイゼンベルク群であることを示すために） 、 と を要素とする 群行列として定義され 、その形式は次のようになる。 H 2 n + 1 {\displaystyle H_{2n+1}} 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} H 2 n + 1 {\displaystyle H_{2n+1}} H 2 n + 1 ( R ) {\displaystyle H_{2n+1}(\mathbb {R} )} R {\displaystyle \mathbb {R} } ( n + 2 ) × ( n + 2 ) {\displaystyle (n+2)\times (n+2)} R {\displaystyle \mathbb {R} }
[ 1 a c 0 I n b 0 0 1 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}},} どこ
aは長さ n の 行ベクトル であり 、 bは長さ n の 列ベクトル であり 、 I n はサイズ nの 単位行列 です 。
グループ構造 これは、掛け算で示されるように、確かにグループです。
[ 1 a c 0 I n b 0 0 1 ] ⋅ [ 1 a ′ c ′ 0 I n b ′ 0 0 1 ] = [ 1 a + a ′ c + c ′ + a ⋅ b ′ 0 I n b + b ′ 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} '&c'\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} '\\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} +\mathbf {a} '&c+c'+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} +\mathbf {b} '\\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}} そして
[ 1 a c 0 I n b 0 0 1 ] ⋅ [ 1 − a − c + a ⋅ b 0 I n − b 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 I n 0 0 0 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-\mathbf {a} &-c+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {0} &I_{n}&-\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {0} &0\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {0} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}.}
リー代数 ハイゼンベルク群は 単連結 リー群であり、その リー代数 は行列から構成される。
[ 0 a c 0 0 n b 0 0 0 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &0_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &0\end{bmatrix}},} どこ
aは長さ n の行ベクトルであり 、 bは長さ n の列ベクトルであり 、 0 n はサイズ nの ゼロ行列 です 。 e 1 , ..., e n を R n の標準 基底とし、
p i = [ 0 e i T 0 0 0 n 0 0 0 0 ] , q j = [ 0 0 0 0 0 n e j 0 0 0 ] , z = [ 0 0 1 0 0 n 0 0 0 0 ] , {\displaystyle p_{i}={\begin{bmatrix}0&\operatorname {e} _{i}^{\mathrm {T} }&0\\\mathbf {0} &0_{n}&\mathbf {0} \\0&\mathbf {0} &0\end{bmatrix}},\quad q_{j}={\begin{bmatrix}0&\mathbf {0} &0\\\mathbf {0} &0_{n}&\operatorname {e} _{j}\\0&\mathbf {0} &0\end{bmatrix}},\quad z={\begin{bmatrix}0&\mathbf {0} &1\\\mathbf {0} &0_{n}&\mathbf {0} \\0&\mathbf {0} &0\end{bmatrix}},} 関連する リー代数は、 標準的な交換関係 によって特徴付けられる。
[ p i , q j ] = δ i j z , [ p i , z ] = 0 , [ q j , z ] = 0 , {\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{i},q_{j}\end{bmatrix}}=\delta _{ij}z,\quad {\begin{bmatrix}p_{i},z\end{bmatrix}}=0,\quad {\begin{bmatrix}q_{j},z\end{bmatrix}}=0,} 1
ここで 、p 1 、...、 p n 、 q 1 、...、 q n 、 z は代数生成子です。
特に、 zはハイゼンベルクのリー代数の 中心 元です 。ハイゼンベルク群のリー代数は冪零であることに留意してください。
指数マップ させて
u = [ 0 a c 0 0 n b 0 0 0 ] , {\displaystyle u={\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &0_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &0\end{bmatrix}},} を満たす 。 指数写像は 次のように評価される。 u 3 = 0 n + 2 {\displaystyle u^{3}=0_{n+2}}
exp ( u ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! u k = I n + 2 + u + 1 2 u 2 = [ 1 a c + 1 2 a ⋅ b 0 I n b 0 0 1 ] . {\displaystyle \exp(u)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}u^{k}=I_{n+2}+u+{\tfrac {1}{2}}u^{2}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}.} 任意の冪零リー代数の指数写像は、 リー代数と 、一意に関連付けられた 連結 な単連結 リー群
との間の 微分同相写像です。
この議論（次元とリー群に関する記述は別として）は、 Rを 任意の可換環 A に置き換えた場合にも当てはまる。対応する群は H n ( A )と表記される。
素数 2 が環 A において逆変換可能であるという追加の仮定の下では、指数写像も定義されます。これは有限和に簡約され、上記の形式を持つためです (たとえば、 A は 奇数の素数 p を持つ環 Z / p Z または 特性 0の任意の 体 になります )。
表現論 ハイゼンベルク群の ユニタリ 表現理論は非常に単純であり、後に マッキー理論 によって一般化され 、以下で説明するように、量子物理学に導入される動機となった。
非零の実数に対して、 ヒルベルト空間に作用する既約ユニタリ表現 を 次の式で 定義することができる [4]。 ℏ {\displaystyle \hbar } Π ℏ {\displaystyle \Pi _{\hbar }} H 2 n + 1 {\displaystyle H_{2n+1}} L 2 ( R n ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
[ Π ℏ ( 1 a c 0 I n b 0 0 1 ) ψ ] ( x ) = e i ℏ c e i b ⋅ x ψ ( x + ℏ a ) . {\displaystyle \left[\Pi _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}\psi \right](\mathbf {x} )=e^{i\hbar c}e^{i\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} }\psi (\mathbf {x} +\hbar \mathbf {a} ).} この表現は シュレーディンガー表現 として知られています。この表現の根拠は、 量子力学における指数化された 位置 演算子と 運動量演算子 の作用です。パラメータ は位置空間における並進を記述し、パラメータ は 運動量空間における並進を記述し、パラメータ は 全体の位相係数を与えます。位置空間における並進と運動量空間における並進は可換ではないため、位相係数は演算子群を得るために必要です。 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c}
鍵となる結果は ストーン・フォン・ノイマンの定理 であり、これは、中心が非自明に作用するハイゼンベルク群のすべての（強連続）既約ユニタリ表現が、 ある に対してと等価であることを述べている 。 [5] あるいは、それらはすべて、次元 2 nのシンプレクティック空間上の ワイル代数 （または CCR 代数 ）と等価である 。 Π ℏ {\displaystyle \Pi _{\hbar }} ℏ {\displaystyle \hbar }
ハイゼンベルク群は の 1 次元中心拡大であるため、その既約ユニタリ表現は の既約ユニタリ 射影表現 と見なすことができます 。概念的には、上記の表現は古典的な位相空間上の並進対称性の群 の量子力学的対応物を構成します。量子バージョンが の 射影 表現に すぎないという事実は、古典的なレベルで既に示唆されています。位相空間での並進のハミルトン生成元は、位置関数と運動量関数です。 ただし、 これらの関数の範囲は、次の理由により、 ポアソン括弧 の下でリー代数を形成しません。むしろ、位置関数と運動量関数 および定数の 範囲は、ポアソン括弧 の下でリー代数を形成します。このリー代数は、ハイゼンベルク群のリー代数と同型である、可換リー代数 の 1 次元中心拡大です 。 R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} { x i , p j } = δ i , j . {\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}=\delta _{i,j}.} R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
シンプレクティックベクトル空間について ハイゼンベルク群の一般的な抽象化は、任意のシンプレクティックベクトル空間 から構成される 。 [6] 例えば、( V ,ω)を有限次元実シンプレクティックベクトル空間とする（したがってωは V 上の 非退化 歪対称 双線型形式である）。( V , ω )（あるいは簡略化のため単に V ）上のハイゼンベルク群H( V ) は、集合 V × R に群法則が与えられたもの
である。
( v , t ) ⋅ ( v ′ , t ′ ) = ( v + v ′ , t + t ′ + 1 2 ω ( v , v ′ ) ) . {\displaystyle (v,t)\cdot \left(v',t'\right)=\left(v+v',t+t'+{\frac {1}{2}}\omega \left(v,v'\right)\right).} ハイゼンベルク群は 加法群 Vの 中心拡張である。したがって、 正確な列 が存在する。
0 → R → H ( V ) → V → 0. {\displaystyle 0\to \mathbf {R} \to H(V)\to V\to 0.} 任意のシンプレクティックベクトル空間は 、ω ( e j , f k ) = δ j k かつ 2 nを V の次元とする（ V の次元は必ず偶数となる） ダルブー基底 { e j , f k } 1 ≤ j , k ≤ n を 許容する 。この基底を用いると、任意のベクトルは次のように分解される。
v = q a e a + p a f a . {\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.} q a と p a は 標準 共役座標 です 。
{ e j , f k } 1 ≤ j , k ≤ n がV のダルブー基底である とき 、 { E } を R の基底とし 、 { e j , f k , E } 1 ≤ j , k ≤ n をV × R の対応する基底とする。すると、 H( V )のベクトル は次のように与えられる。
v = q a e a + p a f a + t E {\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE} そしてグループ法則は
( p , q , t ) ⋅ ( p ′ , q ′ , t ′ ) = ( p + p ′ , q + q ′ , t + t ′ + 1 2 ( p q ′ − p ′ q ) ) . {\displaystyle (p,q,t)\cdot \left(p',q',t'\right)=\left(p+p',q+q',t+t'+{\frac {1}{2}}(pq'-p'q)\right).} ハイゼンベルク群の基礎多様体は線型空間であるため、リー代数のベクトルは群のベクトルと正準的に同一視できる。ハイゼンベルク群のリー代数は交換関係によって与えられる。
[ ( v 1 , t 1 ) , ( v 2 , t 2 ) ] = ω ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})\end{bmatrix}}=\omega (v_{1},v_{2})} あるいはダルブー基底で表すと
[ e a , f b ] = δ a b {\displaystyle \left[\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}\right]=\delta _{a}^{b}} そして他の交換子はすべて消えます。
群則を別の方法で定義することも可能ですが、その場合、先ほど定義した群と同型な群が得られます。混乱を避けるため、 t ではなく uを 使用します。つまり、ベクトルは次のように与えられます。
v = q a e a + p a f a + u E {\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE} そしてグループ法則は
( p , q , u ) ⋅ ( p ′ , q ′ , u ′ ) = ( p + p ′ , q + q ′ , u + u ′ + p q ′ ) . {\displaystyle (p,q,u)\cdot \left(p',q',u'\right)=\left(p+p',q+q',u+u'+pq'\right).} グループの要素
v = q a e a + p a f a + u E {\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE} 行列として表現できる
[ 1 p u 0 I n q 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&u\\0&I_{n}&q\\0&0&1\end{bmatrix}}} 、 これはH( V )の忠実な 行列表現 を与える。 この定式化における uは 、前の定式化における t と関係しており、 積の t値は次のようになる。 u = t + 1 2 p q {\displaystyle u=t+{\tfrac {1}{2}}pq}
u + u ′ + p q ′ − 1 2 ( p + p ′ ) ( q + q ′ ) = t + 1 2 p q + t ′ + 1 2 p ′ q ′ + p q ′ − 1 2 ( p + p ′ ) ( q + q ′ ) = t + t ′ + 1 2 ( p q ′ − p ′ q ) {\displaystyle {\begin{aligned}&u+u'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+{\frac {1}{2}}pq+t'+{\frac {1}{2}}p'q'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+t'+{\frac {1}{2}}\left(pq'-p'q\right)\end{aligned}}} 、 以前と同じです。
上三角行列を用いた群への同型性は、 Vをダルブー基底に分解することに依存しており、これは同型性 V ≅ U ⊕ U *の選択に等しい 。新しい群法則は、前述の群法則と同型な群をもたらすが、この群法則が基底の選択（ V のラグランジアン部分空間の選択は 分極で ある）に依存していることを念頭に置いて、この法則を持つ 群は分極ハイゼンベルク群 と呼ばれることがある。
任意のリー代数には、一意の連結 な 単連結 リー群 G が存在する。 G と同じリー代数を持つ他のすべての連結リー群は、 G / N の形式をとり、 ここで Nは G の中心離散群である。この場合、 H( V ) の中心は R であり、離散部分群のみが Z と同型である。したがって、 H( V )/ Z はこのリー代数を共有する別のリー群である。このリー群に関して注目すべき点は、忠実な有限次元表現を許容しないこと、つまりどの行列群とも同型ではないことである。ただし、この群にはよく知られた無限次元ユニタリ表現の族が存在する。
ワイル代数との関連 ハイゼンベルク群のリー代数 は、上記(1)において、行列のリー代数として記述された。 ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理は、 普遍包絡代数 を決定するために適用される 。普遍包絡代数は、他の性質の中でも、 結合代数 であり、そこに を 射影的に埋め込むことができる。 h n {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}} U ( h n ) {\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})} h n {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}
ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理によれば、これは 単項式によって生成される 自由ベクトル空間である。
z j p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p n k n q 1 ℓ 1 q 2 ℓ 2 ⋯ q n ℓ n , {\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,} ここで指数はすべて非負です。
その結果、 実多項式から構成される U ( h n ) {\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}
∑ j , k → , ℓ → c j k → ℓ → z j p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p n k n q 1 ℓ 1 q 2 ℓ 2 ⋯ q n ℓ n , {\displaystyle \sum _{j,{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{j{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,} 交換関係
p k p ℓ = p ℓ p k , q k q ℓ = q ℓ q k , p k q ℓ − q ℓ p k = δ k ℓ z , z p k − p k z = 0 , z q k − q k z = 0 . {\displaystyle p_{k}p_{\ell }=p_{\ell }p_{k},\quad q_{k}q_{\ell }=q_{\ell }q_{k},\quad p_{k}q_{\ell }-q_{\ell }p_{k}=\delta _{k\ell }z,\quad zp_{k}-p_{k}z=0,\quad zq_{k}-q_{k}z=0~.} この代数は 、多項式係数を持つ微分作用素の代数と密接に関連している 。なぜなら、そのような作用素は、次のような形式で一意に表現されるからである。 U ( h n ) {\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
P = ∑ k → , ℓ → c k → ℓ → ∂ x 1 k 1 ∂ x 2 k 2 ⋯ ∂ x n k n x 1 ℓ 1 x 2 ℓ 2 ⋯ x n ℓ n . {\displaystyle P=\sum _{{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.} この代数は ワイル代数と呼ばれます。 抽象的なナンセンスから、 ワイル代数 W n が の商である こと が分かります 。しかし、これは上記の表現から直接見るのも容易です。つまり、 写像によってです 。 U ( h n ) {\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}
z j p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p n k n q 1 ℓ 1 q 2 ℓ 2 ⋯ q n ℓ n ↦ ∂ x 1 k 1 ∂ x 2 k 2 ⋯ ∂ x n k n x 1 ℓ 1 x 2 ℓ 2 ⋯ x n ℓ n . {\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}\,\mapsto \,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}
アプリケーション
ワイルの量子力学のパラメータ化 ヘルマン・ワイルが ハイゼンベルク群の明示的実現に 至った応用は、 シュレーディンガー描像 と ハイゼンベルク描像 がなぜ物理的に同値なのかという問題であった。抽象的に言えば、その理由は ストーン＝フォン・ノイマンの定理で ある。すなわち、リー代数の中心元 zの作用が与えられた場合、ユニタリ同値性を除き、 ユニタリ表現が 唯一存在し 、代数の非自明な元はすべて通常の位置作用素と運動量作用素と同値であるという定理である。
したがって、シュレーディンガーの描像とハイゼンベルクの描像は同等であり、本質的に唯一の表現を実現するための異なる方法にすぎません。
シータ表現 同じ一意性の結果は、 デイヴィッド・マンフォードによって、 アーベル多様体を定義する方程式 の理論において、離散ハイゼンベルク群に対して用いられた 。これは、 8次の法2ハイゼンベルク群の場合である ヤコビの楕円関数で用いられたアプローチの大幅な一般化である。最も単純なケースはハイゼンベルク群の シータ表現 であり、離散的な場合は シータ関数 を与える。
フーリエ解析 ハイゼンベルク群は フーリエ解析にも現れ、 ストーン＝フォン・ノイマンの定理 のいくつかの定式化に用いられる。この場合、ハイゼンベルク群は 平方可積分 関数の空間に作用すると理解でき 、その結果はハイゼンベルク群の表現、いわゆるワイル表現となる。
リーマン多様体より小さい ハイゼンベルク群の測地線のアニメーション 実数上の 3次元ハイゼンベルク群 H 3 ( R )は滑らかな 多様体 、具体的には サブリーマン多様体 の簡単な例として理解することもできる。 [7] R 3 上の点 p = ( x , y , z )が与えられたとき、 この点における 微分 1形式Θを次のように定義する。
Θ p = d z − 1 2 ( x d y − y d x ) . {\displaystyle \Theta _{p}=dz-{\frac {1}{2}}\left(xdy-ydx\right).} この 一形式は R 3 の 余接束 に属する 。つまり、
Θ p : T p R 3 → R {\displaystyle \Theta _{p}:T_{p}\mathbf {R} ^{3}\to \mathbf {R} } は接束上 の写像である 。
H p = { v ∈ T p R 3 ∣ Θ p ( v ) = 0 } . {\displaystyle H_{p}=\left\{v\in T_{p}\mathbf {R} ^{3}\mid \Theta _{p}(v)=0\right\}.} H は接束 T R 3の 部分束で ある ことが分かる 。H 上の余接線は、 x 方向と y 方向のベクトルが張る2次元空間にベクトルを射影することによって与えられる 。つまり、T R 3 上のベクトルとが与えられた とき 、 内積 は 次 のように与えられる。 v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) {\displaystyle v=(v_{1},v_{2},v_{3})} w = ( w 1 , w 2 , w 3 ) {\displaystyle w=(w_{1},w_{2},w_{3})}
⟨ v , w ⟩ = v 1 w 1 + v 2 w 2 . {\displaystyle \langle v,w\rangle =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}.} 結果として得られる構造は、 Hを ハイゼンベルク群の多様体に変換する。多様体上の直交座標系は、リー ベクトル場によって与えられる。
X = ∂ ∂ x − 1 2 y ∂ ∂ z , Y = ∂ ∂ y + 1 2 x ∂ ∂ z , Z = ∂ ∂ z , {\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {1}{2}}y{\frac {\partial }{\partial z}},\\Y&={\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {1}{2}}x{\frac {\partial }{\partial z}},\\Z&={\frac {\partial }{\partial z}},\end{aligned}}} これらは[ X , Y ] = Z および[ X , Z ] = [ Y , Z ] = 0という関係に従う。 これらはリーベクトル場であるため、群作用の左不変基底を形成する。多様体上の 測地線 は螺旋であり、2次元の円に投影される。つまり、
γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) {\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))} 測地線であれば、その曲線 は円弧であり、 c ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}
z ( t ) = 1 2 ∫ c x d y − y d x {\displaystyle z(t)={\frac {1}{2}}\int _{c}xdy-ydx} 積分は2次元平面に限定されます。つまり、曲線の高さは 円弧 によって囲まれる円の面積に比例し、これは グリーンの定理 に従います。
局所コンパクトアーベル群のハイゼンベルク群 より一般的には、ハール測度 を備えた 局所コンパクトアーベル群 K のハイゼンベルク群を定義することが可能である 。 [8] このような群は、 K 上のすべての連続 - 値指標からなる ポントリャギン双対 を持ち、 コンパクト開位相 が備わっている場合、これも局所コンパクトアーベル群となる。局所コンパクトアーベル群 K に関連付けられたハイゼンベルク群は、 K からの平行移動 と の元による乗算によって生成される のユニタリ群の部分群である 。 K ^ {\displaystyle {\hat {K}}} U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} L 2 ( K ) {\displaystyle L^{2}(K)} K ^ {\displaystyle {\hat {K}}}
より詳細には、 ヒルベルト空間は K 上の 平方可積分な複素数値関数から構成される。K 上 の変換は、 上の作用素として K の ユニタリ表現を 形成する 。 L 2 ( K ) {\displaystyle L^{2}(K)} f {\displaystyle f} L 2 ( K ) {\displaystyle L^{2}(K)}
( T x f ) ( y ) = f ( x + y ) {\displaystyle (T_{x}f)(y)=f(x+y)} の場合 。文字による乗算も同様です。 x , y ∈ K {\displaystyle x,y\in K}
( M χ f ) ( y ) = χ ( y ) f ( y ) {\displaystyle (M_{\chi }f)(y)=\chi (y)f(y)} に対して 。これらの演算子は可換ではなく、代わりに χ ∈ K ^ {\displaystyle \chi \in {\hat {K}}}
( T x M χ T x − 1 M χ − 1 f ) ( y ) = χ ( x ) ¯ f ( y ) {\displaystyle \left(T_{x}M_{\chi }T_{x}^{-1}M_{\chi }^{-1}f\right)(y)={\overline {\chi (x)}}f(y)} 固定単位を法とする複素数による乗算。
したがって、 K に関連付けられた ハイゼンベルク群は 、正確な群の列を介した の 中心拡大 の一種です。 H ( K ) {\displaystyle H(K)} K × K ^ {\displaystyle K\times {\hat {K}}}
1 → U ( 1 ) → H ( K ) → K × K ^ → 0. {\displaystyle 1\to U(1)\to H(K)\to K\times {\hat {K}}\to 0.} より一般的なハイゼンベルク群は、コホモロジー群 の2-コサイクルによって記述される 。 と の間に双対性が存在する場合 、 標準的なコサイクルが生じるが、一般に他にもコサイクルが存在する。 H 2 ( K , U ( 1 ) ) {\displaystyle H^{2}(K,U(1))} K {\displaystyle K} K ^ {\displaystyle {\hat {K}}}
ハイゼンベルク群は に既約に作用する 。実際、連続指標は点を分離する [9] ので、それらと可換な のユニタリ作用素は 乗数 となる。しかし、並進と可換であることから、乗数は定数となる。 [10] L 2 ( K ) {\displaystyle L^{2}(K)} L 2 ( K ) {\displaystyle L^{2}(K)} L ∞ {\displaystyle L^{\infty }}
ストーン・フォン・ノイマンの定理 の一種は、 ジョージ・マッキー によって証明され 、ハイゼンベルク群 に対して成り立つ 。 [11] [12] フーリエ 変換は 、と の表現を唯一結びつけるものである。詳細については 、ストーン・フォン・ノイマンの定理#フーリエ変換との関係の 項を参照のこと 。 H ( K ) {\displaystyle H(K)} L 2 ( K ) {\displaystyle L^{2}(K)} L 2 ( K ^ ) {\displaystyle L^{2}\left({\hat {K}}\right)}
参照
注記 ^ Woit, Peter. 表現論の話題：ハイゼンベルク代数 (PDF) . ^ ホール 2015.命題3.26. ^ ホール 2015.第2章、演習9。 ^ ホール 2013. 命題 14.7. ^ ホール 2013. 定理 14.8. ^ Hans Tilgner、「A class of solvable Lie groups and their relation to the canonical formalism Archived 2011-06-05 at the Wayback Machine 」、 Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique 、 13 no. 2 (1970)、pp. 103-127。 ^ リチャード・モンゴメリー『 スブリーマン幾何学、測地線とその応用の旅』（数学概論とモノグラフ、第91巻） 、（2002年）アメリカ数学会、 ISBN 0-8218-1391-9 。 ^ David Mumford (1991)、「Tata lectures on theta III」、 Progress in Mathematics 、 97 、Birkhauser ^ Karl Heinrich Hofmann、Sidney A. Morris (2006)、「 コンパクト群の構造：学生のための入門書、専門家のためのハンドブック」 、De Gruyter studies in math 25（第2改訂版）、Walter de Gruyter、 ISBN 9783110190069 ^ この議論は 、ロジャー・ハウ（1980）「調和解析におけるハイゼンベルク群の役割について」 アメリカ数学会報 、 3 （2）： 821-844 、 doi ： 10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 、 MR 0578375に、やや異なる設定で登場している。 ^ ジョージ・マッキー (1949)、「ストーンとフォン・ノイマンの定理について」 デューク数学ジャーナル 、 16 (2): 313– 326、 doi :10.1215/s0012-7094-49-01631-2 ^ A Prasad (2009)、「ストーン・フォン・ノイマン・マッキー定理の簡単な証明」、 Expositiones Mathematicae 、 29 : 110–118 、 arXiv : 0912.0574 、 doi :10.1016/j.exmath.2010.06.001、 S2CID 56340220
参考文献
外部リンク Groupprops、グループプロパティWiki 単位三角行列群 UT(3,p)
![{\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b050f4adae479b95baa95eb2043c21d7a0edce)
![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar I,\quad [{\hat {x}},i\hbar I]=0,\quad [{\hat {p}},i\hbar I]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4976e8df465295b4e0eb1f77541883d8d8b699a4)
![{\displaystyle [a_{n},a_{m}]=\delta _{n+m,0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3aeebc4ad0eaf5b86249726424732dc3602877)
=e^{i\hbar c}e^{i\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} }\psi (\mathbf {x} +\hbar \mathbf {a} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac06905dec90ca0f633ad496efb56abe903c43f)
![{\displaystyle \left[\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}\right]=\delta _{a}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b69ef660164760f5a0b8c08b86ac6745ea2a0f34)
