Number system extending the rational numbers
3進整数と、その ポンチャギン双対 群上の対応する文字の選択 数論 では 、 素数 p が与えられると、 [注 1] p 進数は 有理数 の 拡張を形成しますが、 実数 とは異なります 。ただし、いくつかの類似した特性があります。p 進数は、(おそらく 無限の ) 小数 に似た形式で表記できます が、桁は 10 ではなく素数 p に基づき、右ではなく左に拡張されます。
例えば、有理数の 3 進 展開と 3 進展開
を比較する と、 1 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}} 1 5 = 0.01210121 … ( base 3 ) = 0 ⋅ 3 0 + 0 ⋅ 3 − 1 + 1 ⋅ 3 − 2 + 2 ⋅ 3 − 3 + ⋯ 1 5 = … 121012102 ( 3-adic ) = ⋯ + 2 ⋅ 3 3 + 1 ⋅ 3 2 + 0 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 . {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}
正式には、素数 p が与えられたとき、 p進数は k が 整数 （負の場合もある）
で それぞれが 次の整数 である級数 として定義できる。p 進 整数は p 進数 であり 、 s = ∑ i = k ∞ a i p i = a k p k + a k + 1 p k + 1 + a k + 2 p k + 2 + ⋯ {\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots } a i {\displaystyle a_{i}} 0 ≤ a i < p . {\displaystyle 0\leq a_{i}<p.} k ≥ 0. {\displaystyle k\geq 0.}
一般に、 p 進数 を表す級数は 、通常の意味では 収束しませんが、 p 進絶対値 に対しては収束します。ここで、 k は 、次の最小の整数 i です(すべてがゼロの場合、 0が p 進絶対値である ゼロの p 進数があります )。 | s | p = p − k , {\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},} a i ≠ 0 {\displaystyle a_{i}\neq 0} a i {\displaystyle a_{i}}
あらゆる有理数は、 p 進絶対値に関する上記の級数の和として一意に表現できます 。これにより、有理数を特別な p 進数とみなすことができ、あるいは、実数が通常の絶対値 に対する有理数の 完備化であるのと同様に、 p 進数を p 進絶対値に対する有理数の完備化として定義することもできます。
p 進数は1897年に クルト・ヘンゼル によって初めて記述されたが [1] 、後から考えてみると、 エルンスト・クンマーの初期の著作のいくつかは暗黙的に p 進数を使用していたと解釈できる 。 [注 2]
モチベーション 大まかに言えば、 正の整数 n を法とする モジュラー演算は、 任意の 整数を n で割った ときの剰余（ n を法とする剰余）で「近似」する演算です。この剰余は n を法とする剰余と呼ばれます 。モジュラー演算の主な性質は、整数に対する一連の演算の結果の nを法とする剰余が、同じ一連の演算を n を法とする剰余に対して行った結果と同じになることです 。
ディオファントス方程式 を研究する際には、素数 p を法として方程式を簡約すると便利な場合があります。これは、方程式自体についてより深い洞察が得られるためです。しかし残念ながら、この簡約は 単射ではない ため、一部の情報が失われます。 Z ↠ Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}
より多くの情報を保存する一つの方法は、より大きな素数冪、例えば p 2 、 p 3 、… といった大きなモジュラスを用いることです。しかし、これは体ではないという欠点があり 、体で表現される多くの代数的性質が失われます 。 [2] Z / p e {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{e}} Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p}
クルト・ヘンゼルは、素数 p を法とし、 ヘンゼルの補題を適用して p を法とする解を p 2 、 p 3 、… を法とする解に引き上げる 手法を発見しました 。このプロセスにより無限の剰余列が生成され、 p 進数はそのような列の「極限」として定義されます。
本質的に、 p進数は「すべての e について 一度に p e を法として計算する」ことを可能にする。p 進 数と通常の法算術との違いは、 p 進数の集合が 体 を形成するため、 p による除算が 可能になることである（ p e を法として計算する場合とは異なり）。さらに、写像は 単射で あるため、 p 進数に簡約しても多くの情報は失われない 。 [2] Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Z ↪ Z p {\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Z} _{p}}
p 進数を 理解する方法は複数あります。
ベースとして p 拡大 p 進整数 を考える一つの方法は、「 p 」を基数として用いることです。例えば、すべての整数は pを 基数として表すことができます。
50 = 1212 3 = 1 ⋅ 3 3 + 2 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 {\displaystyle 50=1212_{3}=1\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}}
非公式には、 p 進整数は p を底とする整数と考えることができる が、その数字は 左に無限に 広がる。 [2]
… 121012102 3 = ⋯ + 2 ⋅ 3 3 + 1 ⋅ 3 2 + 0 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 {\displaystyle \ldots 121012102_{3}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}}
p 進整数の加算と乗算は p 進整数と同様に実行できます 。 [3]
たとえば、2 つの p 進整数を加算する場合、 その桁は右から左へ繰り上がりながら加算されます。 … 012102 3 + … 101211 3 {\displaystyle \ldots 012102_{3}+\ldots 101211_{3}}
1 1 1 ⋯ 0 1 2 1 0 2 3 + ⋯ 1 0 1 2 1 1 3 ⋯ 1 2 1 0 2 0 3 {\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}&&&_{1}&_{1}&&_{1}&\\&\cdots &0&1&2&1&0&2\,_{3}\\+&\cdots &1&0&1&2&1&1\,_{3}\\\hline &\cdots &1&2&1&0&2&0\,_{3}\end{array}}}
p 進整数 の乗算は、 長乗算を介して同様に機能します。p 進 整数は加算と乗算を実行できるため、 または で 表される 環 を形成します 。 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}
有理数の中には、真の意味で整数ではないとしても、 p 進整数になり得るものがあることに注意してください。例えば、有理数 1 / 5 は3進整数であり、3進展開 を持ちます 。しかし、 のような一部の有理数は p 進整数として表すことができません 。そのため、 p進整数はさらに p 進数へと一般化されます 。 1 5 = … 121012102 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}=\ldots 121012102_{3}} 1 p {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}}
p 進数は、 小数点以下の桁数が有限である p 進整数 と考えることができる 。3進数の例は以下の通りである。
… 121012.102 3 = ⋯ + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 + 1 ⋅ 3 − 1 + 0 ⋅ 3 − 2 + 2 ⋅ 3 − 3 {\displaystyle \ldots 121012.102_{3}=\cdots +1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}+1\cdot 3^{-1}+0\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}}
同様に、すべての p 進数は の形式になります 。ここで、 xは p 進整数です 。 x p k {\displaystyle {\tfrac {x}{p^{k}}}}
任意のp 進数 x に対して 、その 逆数も p 進数であり、 長除法 の変形を使用して計算できます 。 [3] このため、 p 進数は 体 を形成し、 またはで表されます 。 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q p {\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}
残基の配列としてmod p け p 進整数を定義する別の方法は、 各整数を modで 割った剰余の列として表すことである 。 [2] x e {\displaystyle x_{e}} p e {\displaystyle p^{e}} e {\displaystyle e}
x = ( x 1 mod p , x 2 mod p 2 , x 3 mod p 3 , … ) {\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}
の 互換性関係を満たす 。この表記法では、 p 進整数の加算と乗算は成分ごとに定義される。 x i ≡ x j ( mod p i ) {\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})} i < j {\displaystyle i<j}
x + y = ( x 1 + y 1 mod p , x 2 + y 2 mod p 2 , x 3 + y 3 mod p 3 , … ) {\displaystyle x+y=(x_{1}+y_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}+y_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}+y_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )} x ⋅ y = ( x 1 ⋅ y 1 mod p , x 2 ⋅ y 2 mod p 2 , x 3 ⋅ y 3 mod p 3 , … ) {\displaystyle x\cdot y=(x_{1}\cdot y_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\cdot y_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\cdot y_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}
これは基数 p の 定義と同等です。基数 p の展開の最後の k桁によって、 mod p k の値が一意に定義され 、その逆も同様です。
この形式は、有理数が整数ではないにもかかわらず、 p 進整数となる理由も説明できます。例えば、 1 / 5 は 3 進整数です。その 3 進展開は 5 mod 3、3 2、3 3 、...
の 逆数で構成されるためです 。
1 5 = ( 1 5 mod 3 , 1 5 mod 3 2 , 1 5 mod 3 3 , 1 5 mod 3 4 , … ) = ( 2 mod 3 , 2 mod 3 2 , 11 mod 3 3 , 65 mod 3 4 , … ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{5}}&=({\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3,~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{2},~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{3},~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{4},~\ldots )\\&=(2\operatorname {mod} 3,~2\operatorname {mod} 3^{2},~11\operatorname {mod} 3^{3},~65\operatorname {mod} 3^{4},~\ldots )\end{aligned}}}
意味 p 進数には同値な定義がいくつかあります 。以下に示す2つのアプローチは比較的初歩的です。
p 進整数は、多くの場合 、 それぞれが「 p 進数の数字」を表す 形式の 正式な累乗級数 として定義されます 。 r = ∑ i = 0 ∞ a i p i = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + a 3 p 3 + ⋯ {\displaystyle r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+a_{3}p^{3}+\cdots } a i ∈ { 0 , 1 , … , p − 1 } {\displaystyle a_{i}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}}
p 進単位 とは、 最初 の桁が0でない p進整数、すなわち である。すべての p 進整数の集合は 通常 と表記される 。 [4] a 0 ≠ 0 {\displaystyle a_{0}\neq 0} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
p 進数は 、 形式 ローラン級数 として定義されます。 ここで、 v は（負の場合もある）整数で、各 です 。 [5] 同様に、 p 進数は の形式であり 、 xは p 進整数です 。 r = ∑ i = v ∞ a i p i = a v p v + a v + 1 p v + 1 + a v + 2 p v + 2 + a v + 3 p v + 3 + ⋯ {\displaystyle r=\sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{v}p^{v}+a_{v+1}p^{v+1}+a_{v+2}p^{v+2}+a_{v+3}p^{v+3}+\cdots } a i ∈ { 0 , 1 , … , p − 1 } {\displaystyle a_{i}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}} x p k {\displaystyle {\tfrac {x}{p^{k}}}}
r において数字 が0でない 最初の添え字 v は、 r の p 進値 と呼ばれ 、 と表記されます 。 の場合 、そのような添え字は存在しないため、慣例により となります 。 a v {\displaystyle a_{v}} v p ( r ) {\displaystyle v_{p}(r)} r = 0 {\displaystyle r=0} v p ( 0 ) = ∞ {\displaystyle v_{p}(0)=\infty }
この定義では、 p 進数の加算、減算、乗算、除算は p 進数の場合と同様に実行され 、「繰り上がり」や「繰り下がり」は右から左ではなく左から右に移動します。 [6] の例として 、 Q 3 {\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}
1 1 1 2 ⋅ 3 0 + 0 ⋅ 3 1 + 1 ⋅ 3 2 + 2 ⋅ 3 3 + 1 ⋅ 3 4 + ⋯ + 1 ⋅ 3 0 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 3 + 0 ⋅ 3 4 + ⋯ 0 ⋅ 3 0 + 2 ⋅ 3 1 + 0 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 3 + 2 ⋅ 3 4 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{lllllllllll}&&&_{1}&&&&_{1}&&_{1}\\&2\cdot 3^{0}&+&0\cdot 3^{1}&+&1\cdot 3^{2}&+&2\cdot 3^{3}&+&1\cdot 3^{4}&+\cdots \\+&1\cdot 3^{0}&+&1\cdot 3^{1}&+&2\cdot 3^{2}&+&1\cdot 3^{3}&+&0\cdot 3^{4}&+\cdots \\\hline &0\cdot 3^{0}&+&2\cdot 3^{1}&+&0\cdot 3^{2}&+&1\cdot 3^{3}&+&2\cdot 3^{4}&+\cdots \end{array}}}
p 進数の除算は、 繰り上がりに注意すれば、 形式的な冪級数の除算 によって「形式的に」行うこともできる。 [5]
これらの演算により、 p 進数 の集合は と表記される 体 を形成します。 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
同値類として p 進数は、実数を コーシー列 の同値類として定義するのと同様に、同値類として定義することもできます 。これは基本的に以下の補題に基づいています。
すべての非ゼロ有理数 r は、 v 、 m 、 n が整数 で、 m も nも p で割り切れない数である と表記できます 。 r = p v m n , {\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},} 指数 vは r によって一意に決定され 、その p 進評価 と呼ばれ、 と表記される 。この補題の証明は、 算術の基本定理 から直接導かれる。 v p ( r ) {\displaystyle v_{p}(r)}
p 進級数は 、 が（負の可能性のある）整数であり、 が ゼロであるか負でない値を持つ有理数（つまり、 の分母が p で割り切れない ） である形式の ローラン級数 です。 ∑ i = v ∞ r i p i , {\displaystyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},} v {\displaystyle v} r i {\displaystyle r_{i}} r i {\displaystyle r_{i}}
すべての有理数は、単一の非ゼロ項を持つ p進数級数として考えることができ、 m と n が 両方とも p と互いに素である 形式の因数分解で構成されます 。 p k m n , {\displaystyle p^{k}{\tfrac {m}{n}},}
2 つの p 進級数 と は 、すべての整数に対して 有理数が 0 であるか、または p進値が n より大きい整数 N が存在する場合に 同等 です 。 ∑ i = v ∞ r i p i {\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}} ∑ i = w ∞ s i p i {\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}} n > N , {\displaystyle n>N,} ∑ i = v n r i p i − ∑ i = w n s i p i {\displaystyle \sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}}
p 進級数は 、 すべてが 整数でかつとなる か、 すべてが零である場合に 正規化され ます 。後者の場合、級数は 零級数 と呼ばれます。 ∑ i = v ∞ a i p i {\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}} a i {\displaystyle a_{i}} 0 ≤ a i < p , {\displaystyle 0\leq a_{i}<p,} a v > 0 , {\displaystyle a_{v}>0,} a i {\displaystyle a_{i}}
あらゆる p 進級数は、ちょうど1つの正規化級数と同値である。この正規化級数は、級数の同値性である一連の変換によって得られる。後述の「p進級数の正規化」を参照。
言い換えれば、 p 進級数の同値性は 同値関係 であり、各 同値類 には正確に 1 つの正規化された p 進級数が含まれます。
級数の通常の演算（加算、減算、乗算、除算）は、 p進級数の同値性と両立する。つまり、 S 、 T 、 U が非零の p 進級数であって 、以下の式が成り立つ とき、 同値性を ~で表す。 S ∼ T , {\displaystyle S\sim T,} S ± U ∼ T ± U , S U ∼ T U , 1 / S ∼ 1 / T . {\displaystyle {\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}}
これにより、 p 進数は p 進数 の 同値類 として定義されます。
正規化の一意性により、任意の p進数は、対応する正規化された p 進級数によって一意に表すことができます。級数同値性の互換性は、 p 進数の基本的性質をほぼ即座に導き出します 。
p 進数の 加算 、 乗算 、 逆乗は、 形式的な冪級数 の場合と同様に定義され 、その後に結果の正規化が行われます。 これらの演算により、 p 進数は 有理数の 拡大体 で ある体を形成します。 非零 p 進数 x の値 は 通常、 対応する正規化された級数の最初の非零項における p の指数と表記される。零の値は次のようになる。 v p ( x ) {\displaystyle v_{p}(x)} v p ( 0 ) = + ∞ {\displaystyle v_{p}(0)=+\infty } 非ゼロの p 進数 xの p 進絶対値は 、 ゼロ の p 進数の場合、 | x | p = p − v ( x ) ; {\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)};} | 0 | p = 0. {\displaystyle |0|_{p}=0.}
正規化 p -adic シリーズ 級数から始めて、の p 進値 (valuation) が0 に なるような同値級数を求めます 。そのためには、最初の 0 でない を考えます。 その p進値 (valuation) が 0 の場合、 v を i に 変更するだけで十分です。つまり、 v から合計を開始します 。それ以外の場合、 の p 進値 (valuation)は で あり、 の値 (valuation) は0 です。したがって、 を 0 に、を に 変更することで同値級数が得られます。このプロセスを繰り返す と 、おそらく無限に多くのステップを経た後、最終的に、 0 級数であるか、 の値 (valuation) が 0 である級数であるかのいずれかの同値級数が得られます 。 ∑ i = v ∞ r i p i , {\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},} r v {\displaystyle r_{v}} r i . {\displaystyle r_{i}.} r i {\displaystyle r_{i}} j > 0 , {\displaystyle j>0,} r i = p j s i {\displaystyle r_{i}=p^{j}s_{i}} s i {\displaystyle s_{i}} r i {\displaystyle r_{i}} r i + j {\displaystyle r_{i+j}} r i + j + s i . {\displaystyle r_{i+j}+s_{i}.} r v {\displaystyle r_{v}}
次に、級数が正規化されていない場合、 区間 内の整数でない最初の非ゼロの級数を考えます 。ベズーの補題 を用いて 、これを と書きます。 ここで、 と は非負の値を持ちます。次に、 を で置き換え 、 を に加えることで、同値級数が得られます。 このプロセスを、場合によっては無限回繰り返すことで、最終的に目的の正規化された p 進級数が得られます。 r i {\displaystyle r_{i}} [ 0 , p − 1 ] . {\displaystyle [0,p-1].} r i = a i + p s i {\displaystyle r_{i}=a_{i}+ps_{i}} a i ∈ [ 0 , p − 1 ] {\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]} s i {\displaystyle s_{i}} r i {\displaystyle r_{i}} a i , {\displaystyle a_{i},} s i {\displaystyle s_{i}} r i + 1 . {\displaystyle r_{i+1}.}
その他の同等の定義 他の同等の定義では、 離散評価環 の 完備化 （§ p 進整数を参照）、 距離空間の完備化 （§ 位相的性質を参照）、または 逆極限 （§ モジュラー的性質を参照）が使用されます。
p進数は 、 正規化された p 進数列 として定義できます 。一般的に用いられる他の同等の定義が存在するため、正規化された p 進数列は p 進数 である と言う代わりに、 p進数 を 表す とよく言われます。
あらゆるp 進級数は、 唯一の正規化された p 進級数と同値であるため、任意のp進級数はp進数 を 表す とも言える 。これは p 進数の演算（加算、減算、乗算、除算）を定義する際に有用である。このような演算の結果は、級数に対する対応する演算の結果を正規化することによって得られる。級数演算は p 進級数の同値性と互換性があるため、これは p 進数に対する演算を適切に定義する。
これらの演算により、 p 進数は p 進数 体と 呼ばれる 体 を形成し、 または と表記されます 。有理数から p進数への 体準同型は 唯一存在し 、これは有理数をその p 進展開に写します。この準同型の 像は 、一般に有理数体と同一視されます。これにより、 p 進数を有理数の 拡大体 、有理数を p 進数の 部分体 として考えることができます。 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q p . {\displaystyle \mathbf {Q} _{p}.}
非零の p 進数 x の値 は 、一般的には xを表すすべての p 進級数 の最初の非零項における p の指数と表記されます 。慣例により、 つまり、ゼロの値は次のようになります。 この値は 離散値 です。この値を有理数に限定すると、 p 進値、 つまり、 n と dが p と 互いに素 である ような有理数の因数分解における指数 v になります。 v p ( x ) , {\displaystyle v_{p}(x),} v p ( 0 ) = ∞ ; {\displaystyle v_{p}(0)=\infty ;} ∞ . {\displaystyle \infty .} Q , {\displaystyle \mathbb {Q} ,} n d p v , {\displaystyle {\tfrac {n}{d}}p^{v},}
表記 p 進展開の 表記にはいくつかの異なる慣例があります。この記事ではこれまで、 p の べき乗が右から左へ増加する p 進展開の表記法を用いてきました。この右から左への表記法を用いると 、例えば の3進展開は次のように書きます。 1 5 , {\displaystyle {\tfrac {1}{5}},} 1 5 = … 121012102 3 . {\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}
この表記法で算術演算を行う際、桁は左に 繰り上がります。また、 p進展開を記述して、 p のべき乗が左から右に増加し、桁が右に繰り上がるように 書くことも可能です 。この左から右への表記法を用いると、の 3 進展開は次のように なります。 1 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}} 1 5 = 2.01210121 … 3 or 1 15 = 20.1210121 … 3 . {\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}
p 進展開は、 {0, 1, ..., p − 1 }の代わりに 他の数字の組 で表すこともできる。例えば、の 3 進展開は、 { 1 , 0, 1 }という 3進 数 で表すことができ 、 1 は負の1を表す。 1 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}} 1 5 = … 1 _ 11 11 _ 11 11 _ 11 1 _ 3 . {\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}
実際、 pを法とする異なる 剰余類 に属する p 個の整数の任意の集合は 、p 進 数字として用いることができる 。数論では、 タイヒミュラー表現が 数字として用いられることがある。 [7]
引用符記法は 、有理数 p 進表現 の変形であり 、1979年に エリック・ヘーナー と ナイジェル・ホースプール コンピュータ上でこれらの数を用いた（正確な）算術演算を実装するために用いられました。 [8] これは、無限周期の数字列を持つ有理数を簡潔に表現する方法として用いられます。この記法では、引用符（'）を用いて繰り返し部分と非繰り返し部分を区切ります。 1 5 = 1210 ′ 2 3 {\displaystyle {\frac {1}{5}}=1210\,'2_{3}}
p 有理数の -進展開 正の 有理数の小数 展開は 、 が整数で、それぞれが と なる 整数で ある級数 として表現されます。この展開は 、分子を分母で 長除算する こと で計算できます。この長 除算 自体は、次の定理に基づいています。 が有理数で、 と なる 整数が存在し、 となります。小数展開 は、 この結果を反復的に剰余に適用することで得られ、 反復では、剰余は元の有理数の役割を担います 。 r {\displaystyle r} r = ∑ i = k ∞ a i 10 − i , {\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},} k {\displaystyle k} a i {\displaystyle a_{i}} 0 ≤ a i < 10. {\displaystyle 0\leq a_{i}<10.} r = n d {\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}} 0 ≤ r < 1 , {\displaystyle 0\leq r<1,} a {\displaystyle a} 0 ≤ a < 10 , {\displaystyle 0\leq a<10,} 10 r = a + r ′ , {\displaystyle 10r=a+r',} 0 ≤ r ′ < 1. {\displaystyle 0\leq r'<1.} r ′ {\displaystyle r'} r {\displaystyle r}
有理数のp進展開も同様に計算できますが、除算の手順が異なります。dが非負の有理数（つまり、dはpで割り切れない）であるとします 。 除算 の 手順 は 次 の よう に書きます。 r = n d {\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}} r = a + p r ′ {\displaystyle r=a+p\,r'} ここで、は 、負でない値を持つ 整数です 。 a {\displaystyle a} 0 ≤ a < p , {\displaystyle 0\leq a<p,} r ′ {\displaystyle r'}
整数 aは モジュラー逆数 として計算できます : 。そのため、 rを このように表記することは常に可能であり、そのような表現は一意です。 a = n d − 1 mod p {\displaystyle a=nd^{-1}\operatorname {mod} p}
有理数の p 進展開は、最終的には周期的となる 。 逆 に 、 の 級数 が （ p 進絶対値に関して）有理数に収束する 場合、それが最終的には周期的となる場合と同値 である。この場合、級数は その有理数の p進展開となる。 証明は、 循環小数 の場合の同様の結果の証明と同様である 。 ∑ i = k ∞ a i p i , {\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},} 0 ≤ a i < p {\displaystyle 0\leq a_{i}<p}
例 の5進展開を計算してみましょう。 この数は と書くことができます 。したがって、 最初のステップでは を使用します。 次のステップでは、「剰余」 を と書くことができます 。したがって、 を使用します 。 「剰余」 を と書くことができます 。したがって、 を使用します 。 「剰余」を再び得ることに注意してください 。つまり、この時点以降は数字が繰り返されるだけです。 標準的な5進記法では、これを と書き、 左側に 省略記号を付けます。 1 3 . {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}.} 1 3 = 2 + 5 ⋅ − 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}=2+5\cdot {\tfrac {-1}{3}}} a = 2 {\displaystyle a=2} 1 3 = 2 + 5 1 ⋅ ( − 1 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5^{1}\cdot \left({\frac {-1}{3}}\right)} − 1 3 {\displaystyle {\tfrac {-1}{3}}} − 1 3 = 3 + 5 ⋅ − 2 3 {\displaystyle {\tfrac {-1}{3}}=3+5\cdot {\tfrac {-2}{3}}} a = 3 {\displaystyle a=3} 1 3 = 2 + 3 ⋅ 5 1 + 5 2 ⋅ ( − 2 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+5^{2}\cdot \left({\frac {-2}{3}}\right)} − 2 3 {\displaystyle {\tfrac {-2}{3}}} − 2 3 = 1 + 5 ⋅ − 1 3 {\displaystyle {\tfrac {-2}{3}}=1+5\cdot {\tfrac {-1}{3}}} a = 1 {\displaystyle a=1} 1 3 = 2 + 3 ⋅ 5 1 + 1 ⋅ 5 2 + 5 3 ⋅ ( − 1 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+1\cdot 5^{2}+5^{3}\cdot \left({\frac {-1}{3}}\right)} − 1 3 {\displaystyle {\tfrac {-1}{3}}} 1 3 = 2 + 3 ⋅ 5 1 + 1 ⋅ 5 2 + 3 ⋅ 5 3 + 1 ⋅ 5 4 + 3 ⋅ 5 5 + 1 ⋅ 5 6 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+1\cdot 5^{2}+3\cdot 5^{3}+1\cdot 5^{4}+3\cdot 5^{5}+1\cdot 5^{6}+\cdots } 1 3 = … 1313132 5 {\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}} … {\displaystyle \ldots }
p -進整数 p 進整数は 、 非負の値を持つ p 進数です。
-進整数は 、各整数 を mod する 剰余の シーケンスとして表すことができ
、 の 互換性関係を満たします 。 p {\displaystyle p} x = ( x 1 mod p , x 2 mod p 2 , x 3 mod p 3 , … ) {\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )} x e {\displaystyle x_{e}} p e {\displaystyle p^{e}} e {\displaystyle e} x i ≡ x j ( mod p i ) {\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})} i < j {\displaystyle i<j}
すべての 整数 は -進整数です （ なので、ゼロも含みます）。 と が 互いに素 である 形の有理数 も -進整数です（ は 任意の に対して 逆数の mod を持つ ため ）。 p {\displaystyle p} 0 < ∞ {\displaystyle 0<\infty } n d p k {\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}} d {\displaystyle d} p {\displaystyle p} k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} p {\displaystyle p} d {\displaystyle d} p e {\displaystyle p^{e}} e {\displaystyle e}
p 進整数は 、 または と表記される 可換環 を形成し、次の特性を持ちます 。 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}
これは体の部分環 であるか、または 2 つの非ゼロ p 進級数 の積の級数表現の最初の項がそれらの最初の項の積であるため、 整域 です。 の単位 （可逆元）は 、 価数がゼロの p 進数です。 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} これは 主イデアル領域 であり、各 イデアルは p のべき乗によって生成されます 。 これは、その唯一の素イデアルが 零イデアル と、 p によって生成されるイデアル 、すなわち唯一の 最大イデアル であるため、 Krull 次元 1の 局所環 です 。 これは前述の特性から得られるため、離散評価環 である 。 これは、 素イデアルにおける 局所化で ある 局所 環の 完成である。 Z ( p ) = { n d | n , d ∈ Z , d ∉ p Z } , {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}={\bigl \{}{\tfrac {n}{d}}\mathbin {\big |} n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} {\bigr \}},} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } p Z . {\displaystyle p\mathbb {Z} .} 最後の特性は、上記の定義と同等の p 進数の定義を提供します。 p 進数の体とは、 p によって生成される素イデアルにおける整数の局所化の完備化の 分数の体 です。
位相的性質 3進整数を 距離空間として視覚的に表現したもの Z 3 {\displaystyle \mathbb {Z} _{3}} p 進評価は p 進数の絶対値を定義することを可能にする 。 非 ゼロ の p 進数 x の p 進絶対値は で ある 。 ここ で は x の p 進評価である 。の p 進絶対値は である。これは、任意の x と y に対して、以下の式を満たす 強三角不等式 を満たす絶対値である 。 | x | p = p − v p ( x ) , {\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},} v p ( x ) {\displaystyle v_{p}(x)} 0 {\displaystyle 0} | 0 | p = 0. {\displaystyle |0|_{p}=0.}
| x | p = 0 {\displaystyle |x|_{p}=0} もし、そして、もし、 x = 0 ; {\displaystyle x=0;} | x | p ⋅ | y | p = | x y | p ; {\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p};} | x + y | p ≤ max ( | x | p , | y | p ) ≤ | x | p + | y | p . {\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}\leq |x|_{p}+|y|_{p}.} さらに、 もし | x | p ≠ | y | p , {\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},} | x + y | p = max ( | x | p , | y | p ) . {\displaystyle |x+y|_{p}=\max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}.}
これにより、 p 進数は 距離空間 となり、さらには 超距離空間 となり、 p 進距離は次のように定義される。 d p ( x , y ) = | x − y | p . {\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}
計量空間として、 p 進数は p 進絶対値を備えた有理数の 完備化を形成する。これは p 進数を定義する別の方法を提供する 。
計量は 離散値 から定義されるため、すべての 開いた球は 閉じた球 でもある 。より正確には、開いた球は 閉じた球 に等しく、 v は最小の整数である。同様 に 、 w は最大の整数である。 B r ( x ) = { y ∣ d p ( x , y ) < r } {\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}} B p − v [ x ] = { y ∣ d p ( x , y ) ≤ p − v } , {\displaystyle \textstyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},} p − v < r . {\displaystyle \textstyle p^{-v}<r.} B r [ x ] = B p − w ( x ) , {\displaystyle \textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),} p − w > r . {\displaystyle \textstyle p^{-w}>r.}
これは p 進数が 局所コンパクト空間 （ 局所コンパクト体 ）を形成し 、 p 進整数 （つまり球体）が コンパクト空間 を形成することを意味します 。 [9] Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} B 1 [ 0 ] = B p ( 0 ) {\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}
2進整数の空間は カントール集合 に 同相で ある 。 [10] [11] これは、によって定義される 連続1対1写像を考えるとわかる。 さらに、任意の p に対して、 はに同相であり 、したがってカントール集合にも同相である。 [12] Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} ψ : Z 2 → C {\displaystyle \psi :\mathbb {Z} _{2}\to {\mathcal {C}}} ψ : a 0 + a 1 2 + a 2 2 2 + a 3 2 3 + ⋯ ⟼ 2 a 0 3 + 2 a 1 3 2 + 2 a 2 3 3 + 2 a 3 3 4 + ⋯ {\displaystyle \psi :~a_{0}+a_{1}2+a_{2}2^{2}+a_{3}2^{3}+\cdots ~\longmapsto ~{\frac {2a_{0}}{3}}+{\frac {2a_{1}}{3^{2}}}+{\frac {2a_{2}}{3^{3}}}+{\frac {2a_{3}}{3^{4}}}+\cdots } Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
p 進整数 群の ポンチャギン 双対は プリューファー p 群であり、プリューファー p 群のポンチャギン双対は p 進整数群である 。 [13] Z ( p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}
モジュラープロパティ 商環 はを 法 とする整数 環 と同一視できる。 これは 、正規化された p 進数級数で表されるすべての p 進整数が、その値が区間内の整数 である 部分 和を法として合同であることを示すことによって示される。簡単な検証により、これが から への 環同型を定義することがわかる。 Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} Z / p n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } p n . {\displaystyle p^{n}.} p n {\displaystyle p^{n}} ∑ i = 0 n − 1 a i p i , {\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},} [ 0 , p n − 1 ] . {\displaystyle [0,p^{n}-1].} Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} Z / p n Z . {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}
環の 逆 極限 は、任意の i に対してと なるような シーケンスによって形成される環として定義されます 。 Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} a 0 , a 1 , … {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots } a i ∈ Z / p i Z {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} } a i ≡ a i + 1 ( mod p i ) {\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}
正規化されたp 進級数をその部分和のシーケンスにマッピングするマッピングは、から の 逆極限への 環同型です。これにより、 p 進整数 ( 同型 まで )を定義する別の方法が提供されます。 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Z p / p n Z p . {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}
この p 進整数の定義は、逐次近似によって p 進整数を構築できるため、実用的な計算に特に役立ちます。
例えば、整数の p進逆数（乗法逆数）を計算するには、 ニュートン法を 使って 、逆数を法 p から開始します。そして、各ニュートンステップで逆数を 法pから法逆数を計算します。 p n 2 {\textstyle p^{n^{2}}} p n . {\textstyle p^{n}.}
同じ方法は、 pを法とする 平方剰余 で ある整数の p 進 平方根 を計算するのにも使えます 。これは、大きな整数が平方数かどうかを判定する最も高速な既知の方法のようです。与えられた整数が にある値の平方数であるかどうかを判定するだけで十分です 。ニュートン法を用いて平方根を求めるには、 が与えられた整数の2倍よりも大きいことが必要ですが、これはすぐに満たされます。 Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} p n {\textstyle p^{n}}
ヘンゼルリフティングは、整数係数を持つ多項式の p を法とする因数分解を、大きな n の値を持つ因数分解に 「持ち上げる」ことを可能にする同様の手法です。これは、 多項式因数分解 アルゴリズムでよく使用されます 。 p n {\textstyle p^{n}}
基数 と はどちら も 非可算で あり、 連続体 の濃度 を持ちます 。 [14] これは p 進表現から生じ 、の 冪集合 上の 一対一 表現 を定義します。これは のコピーの 可算無限 和 として表現されることから生じます 。 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Z p , {\displaystyle \mathbb {Z} _{p},} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} { 0 , … , p − 1 } N . {\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Q p = ⋃ i = 0 ∞ 1 p i Z p . {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}
代数的閉包 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} を含み、 特性 0 の体です 。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
0は 平方和として表すことができる ため、 [注3]を 順序付き体 に変換することはできません 。 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
実数 体には 、複素数という 唯一の適切な代数的拡大が存在する 。 言い換えれ ば、この 二次拡大は 既に 代数的に閉じて いる。対照的に、 の 代数的閉包 は無限次数を持ち、 [ 15] つまり、は無限個の非同値な代数的拡大を持つ。また、実数の場合と対照的に、後者への p 進付値 の唯一の拡大が存在するものの、 （計量的に）完全ではない。 [16] [17] R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q p ¯ , {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q p ¯ , {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}
その（計量）完備化はまたは と 表記され 、 [17] [18] 、 複素数との類推から 複素 p 進数 と呼ばれることもある。ここで終点に達し、は代数的に閉じている。 [17] [19] しかし、これと は異なり、 は 局所コンパクト ではない。 [18] C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} Ω p {\displaystyle \Omega _{p}} C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} C {\displaystyle \mathbb {C} }
C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} と は 環として同型であるため [注 4] 、エキゾチックな計量を備えていると 見なすことができます 。このような体同型の存在証明は 選択公理 に依存しており、そのような同型の明示的な例は示されていません（つまり、 構成的で はありません）。 C {\displaystyle \mathbb {C} } C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} C {\displaystyle \mathbb {C} }
がガロア群 の 任意の 有限 ガロア拡大 である場合、ガロア群は 可解で ある 。したがって、ガロア群は 可解で ある 。 K {\displaystyle K} Q p , {\displaystyle \mathbb {Q} _{p},} Gal ( K / Q p ) {\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)} Gal ( Q p ¯ / Q p ) {\displaystyle {\operatorname {Gal} }{\bigl (}\,{\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}{\bigr )}}
乗法群 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} にn - 次元円分体 ( n > 2 )が含まれるのは、 n | p − 1 の場合に限ります 。 [20] 例えば、 n -次元円分体が の部分体となるのは、 n = 1, 2, 3, 4, 6 , 12 の場合に 限ります。特に、 p > 2 の場合 、 には乗法的な p - 捩れは 存在しません。また、 の唯一の非自明な捩れ元は −1 です。 Q 13 {\displaystyle \mathbb {Q} _{13}} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q 2 {\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}
自然数 k が与えられたとき 、 その中 の非ゼロ元の k 乗の乗法群の 指数は 有限である。 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q p × {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}
階乗 の 逆数 の和として定義される 数 e は、どのp 進体 の元でもありません。ただし については です 。p = 2 の 場合には 、少なくとも 4 乗をとらなければなりません。 [21] (したがって、 e と同様の特性を持つ数、 つまり e p のp 乗根は、 すべての p に対しての元です 。) e p ∈ Q p {\displaystyle e^{p}\in \mathbb {Q} _{p}} p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
ローカル・グローバル原則 ヘルムート・ハッセ の 局所・大域原理は 、方程式が有理数上で解けることと、実数上でかつ任意の素数 pに対して p 進数 上で解けることが同値である とき 、かつその方程式に対して成立すると言われる。この原理は、例えば 二次形式 で表される方程式には成立するが、複数の不定元を含む高次多項式には成立しない。
ヘンゼルリフトによる有理数演算
アプリケーション p進数 は 物理学だけでなく数学のいくつかの分野でも登場しています。
分析 実数 解析と 複素数解析 という、それぞれ実数と複素数上の関数を扱う より古典的な分野と同様に、 p 進解析は p 進数上の関数を研究します。p 進数 上の複素数値関数の理論は、 局所コンパクト群 の理論 （ 抽象調和解析）の一部です。p 進 解析というと、通常、関心のある空間上の p 進値関数 の理論を指します。
p 進解析の応用は 主に数論において行われており、 ディオファントス幾何学 と ディオファントス近似において重要な役割を果たしている。一部の応用では、 p 進 関数解析 と スペクトル理論 の発展が必要となった 。多くの点で p進解析は 古典解析 よりも複雑ではない。これは、 超計量不等式 によって 、例えば p 進数の 無限級数 の収束がはるかに単純になることを意味するためである。p進体 上の 位相ベクトル空間は 独特の特徴を示し、例えば 凸性 や ハーン・バナッハの定理 に関する側面 が異なる。
p 進解析 からの 2 つの重要な概念は、すべての連続 p 進関数を多項式で 特徴付ける マーラーの定理と、 p 進関数 の 積分 法を提供する フォルケンボルン積分です。
ホッジ理論 p 進ホッジ理論 は、残差特性 pを持つ 特性 0 の 局所体( Q p など ) の p 進ガロア表現を 分類および研究する方法を提供する理論です 。この理論は、ジャン＝ピエール・セール と ジョン・テイトによる アーベル多様体 の テイト加群 の研究 とホッジ・テイト表現 の概念 に端を発しています。ホッジ・テイト表現は、ホッジ分解 に類似した p 進 コホモロジー 理論の特定の分解に関連している ため、 p 進ホッジ理論という名前が付けられ ています。その後の発展は、多様体 の エタール・コホモロジー から生じる p 進ガロア表現の特性に触発されました 。 ジャン＝マルク・フォンテーヌは、 この体の基本概念の多くを導入しました。
タイヒミュラー理論 p 進タイヒミュラー理論は、 p 進曲線とその モジュライ の「均一化」を記述するものであり 、リーマン面 とそのモジュライの 均一化を 記述する 通常の タイヒミュラー理論を一般化したものである。この理論は 望月新一 によって導入・発展された 。
量子物理学 p 進量子力学は、 量子物理学における実数を p 進数 に置き換える 関連研究の総体です 、実数上の積分を用いて計算される 開 ボソン弦の ヴェネツィアーノ振幅が p進数に一般化できるという発見に触発されました。この発見が p 進弦理論 の研究の始まりとなりました 。
実数体と p進数は有理数の完備化です。他の体、例えば一般 代数体 も同様の方法で 完備化できます。これについて以下に説明します。
Dが デデキント整域 で 、 E がその 分数体 であるとします。 D の 非ゼロ 素イデアル P を選びます。 x が E の非ゼロ元である場合 、 xDは 分数イデアル であり、 D の非ゼロ素イデアルの正と負の累乗として一意に因数分解できます。この因数分解における P の指数をord P ( x )と書き、 1 より大きい
数 c の任意の選択に対して、を設定できます。この絶対値 |⋅| P に関して完成させると、 p 進数の体をこの設定に 適切に一般化した体 E P が得られます。 c の選択によって完成は変わりません (異なる選択をしても同じコーシー列の概念が得られるため、同じ完成になります)。 留数体 D / Pが有限である場合、 cについて D / P のサイズを 取ると 便利です 。 | x | P = c − ord P ( x ) . {\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}
例えば、 Eが 数体 の場合 、オスト ロフ スキーの定理によれば、 E 上の すべての非自明な 非アルキメデス的絶対値は、 何らかの |⋅| P として生じる。E 上の残りの非自明な絶対値は、 E の実数または複素数への 異なる埋め込みから生じる。（実際、非アルキメデス的絶対値は、単に E の体 C p への異なる埋め込みと見なすことができ、これにより、数体上のすべての非自明な絶対値の記述が共通の基盤に置かれる。）
E が 数体（あるいはより一般的には 大域体 ）である場合、上述のすべての完備化を同時に追跡する必要があることがよくあります 。これらの完備化は「局所的」な情報を符号化するものとみなされます。これは アデール環 と イデール群 によって実現されます。
p進整数は p 進ソレノイド に拡張できます。 から p 進 整数を繊維とする 円群 へ の写像が存在し、これは から を 繊維とする円への 写像が存在することと類似しています 。 T p {\displaystyle \mathbb {T} _{p}} T p {\displaystyle \mathbb {T} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} R {\displaystyle \mathbb {R} } Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
p進整数は、 環の直積 として理解できる profinite 整数 に拡張することもできます。 素数累乗 p kのみを法として一般化する p 進整数
とは異なり 、 profinite 整数は すべての 自然数 n を 法として一般化します。 Z ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}} Z ^ = ∏ p Z p . {\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}
参照
注記 ^ この記事では、特に断りのない限り、 p は 一度だけ固定された素数を表します。 ^訳者序文、35ページ：「実際、後から考えてみると、クンマーの理想数の概念の背後には 離散的な評価が 存在していることが明らかになる 。」（デデキント＆ウェーバー 2012、35ページ） ^ ヘンゼルの補題 によれば 、 には−7 の平方根が含まれる ので、 p > 2 であれば に も 1 − p の平方根が含まれる ので、 Q 2 {\displaystyle \mathbb {Q} _{2}} 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ( − 7 ) 2 = 0 , {\displaystyle 2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+\left({\sqrt {-7}}\right)^{2}=0,} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} ( p − 1 ) × 1 2 + ( 1 − p ) 2 = 0. {\displaystyle (p-1)\times 1^{2}+\left({\sqrt {1-p}}\right)^{2}=0.} ^ 2 つの代数的に閉じた体は、それらが同じ特性と超越次数 (たとえば、Lang のAlgebra X §1 を参照) を持ち、両方とも 特性 0 と連続体の濃度を持つ 場合にのみ同型です。 C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} C {\displaystyle \mathbb {C} }
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![{\displaystyle [0,p-1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d784d3c09f6c16f2be810fc933b13c064cf70df)
![{\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1c9af12193f243aad75dc3ae4207b9654bc7e9)
![{\displaystyle \textstyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e04982ba33722f5f2d2804849a4bfdbd440333)
![{\displaystyle \textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09614c8c4f77c185e3bb97c0e46defd0ceb79474)
![{\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e7159da7964d6b254684541eb5542dcfd42203)
![{\displaystyle [0,p^{n}-1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb48ca2618ca918f1b5c06f0fa6991b711ec163)
