焦点部分群定理

フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』より

抽象代数学において、焦点部分群定理は有限群のシロー部分群における元の融合を記述する。焦点部分群定理は（Higman 1953 ）で導入され、（ Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 、p. 90）によれば「転移の最初の主要な応用」である。焦点部分群定理は、 Otto Grünが（Grün 1936 ）で述べた転移と融合の考え方を関連付ける。これらの考え方の様々な応用には、 p-冪零性の局所的基準や、有限群が指数pの正規部分群を持つことを示すことに重点を置いた様々な非単純性基準などがある。

背景

焦点部分群定理は、有限群論におけるいくつかの研究分野、すなわち指数pのべき乗の正規部分群、転移準同型、および元の融合に関連しています

部分群

次の3つの指数pのべき乗の正規部分群は自然に定義され、商が（ある種の）p群となるような最小の正規部分群として生じます。正式には、これらはp群の鏡映部分圏への鏡映の核（それぞれ、基本アーベルp群、アーベルp群）です

E ^p ( G ) はすべての指数p の正規部分群の共通部分です。G / E ^p ( G ) は基本アーベル群であり、G が射影する最大の基本アーベルp群です。
A ^p ( G ) (( Isaacs 2008、5D、p. 164 からの表記) は、G / Kがアーベルp群 (つまり、Kが導出群を含むインデックス正規部分群)となるようなすべての正規部分群Kの共通部分です。G / A ^p ( G ) は、 Gが射影する最大のアーベルp群 (必ずしも基本群ではない)です。 $p^{k}$ $[G,G]$
O ^p ( G ) は、G / K が（非可換な場合もある）p群（つまり、K が指数正規部分群である）であるような、G のすべての正規部分群 K の共通部分である。G / O p ( G )は、Gが射影する最大のp群（^必ずしも可換で^はない）である。O p ( G )は、 $p^{k}$ p残差サブグループ。

まず、これらはグループKのより弱い条件であるため、包含関係が得られます。これらはさらに次のように関連しています。 $\mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).$

A ^p ( G ) = O ^p ( G )[ G , G ]。

O ^p ( G ) には、 q ≠ pであるGのすべての Sylow q部分群によって生成される部分群が、 pとは異なるGの位数の素因数全体にわたる範囲であるという次の代替的な特徴付けがあります。

O ^p ( G ) は下側のp系列を定義するために使用される。Gの、p コアで説明した上部のpシリーズと同様です。

転移準同型

転移準同型とは、任意の群 Gから、有限指数の部分群H ≤ G（すなわち [ G : H ] < ∞）によって定義されるアーベル群H /[ H , H ] へ定義される準同型である。有限群Gからそのシローp部分群への転移写像は、簡単に記述できる核を持つ。

有限群GからそのSylow p部分群Pへの転移準同型の核はA ^p ( G )を核として持ちます（ Isaacs 2008、定理5.20、p.165）。

言い換えれば、アーベルp群への「明白な」準同型は、実際にはそのような準同型の中で最も一般的なものなのです。

融合

Gにおける部分群Hの融合パターンとは、Hの2つの元h、kがG共役である場合、つまりGにh = k ^gとなるようなgが存在する場合に、Hの元に関する同値関係である。Gの通常構造は、そのシローp部分群の融合パターンに影響を与え、逆に、そのシローp部分群の融合パターンはGの通常構造に影響を与える( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 , p. 89)

焦点部分群

( Isaacs 2008 , p. 165)にあるように、 HのGに関する焦点部分群は次のように定義できます

Foc _G ( H ) = ⟨ x ⁻¹ y | x、yはHに含まれ、 xはyのG共役⟩である。

この焦点部分群は、 Hの元がGにおいてどの程度融合するかを測定するものである。一方、以前の定義では、群Gの特定のアーベルp群準同型像を測定していた。焦点部分群定理の内容は、これら2つの焦点部分群の定義が両立するというものである。

( Gorenstein 1980 , p. 246) は、GにおけるPの焦点部分群は、有限群Gのシローp部分群Pと G の導来部分群[ G , G ]との積P ∩[ G , G ] であることを示しています。焦点部分群は、導来部分群のシローp部分群であるため重要です。また、次の結果も得られます。

Gの正規部分群Kが存在し、 G / KはP / P ∩[ G , G ]と同型なアーベルp群である（ここでKはA ^p ( G )を表す）、そして

KがGの正規部分群でG / K がアーベル p 群である場合、 P ∩[ G , G ] ≤ Kであり、G / KはP / P ∩[ G , G ]の準同型像である( Gorenstein 1980、定理 7.3.1、p. 90)。

定理の記述

シローp部分群Pを持つ有限群Gの焦点部分群は次のように与えられる。

P ∩[ G , G ] = P ∩ A ^p ( G ) = P ∩ ker( v ) = Foc _G ( P ) = ⟨ x ⁻¹ y | x , yがPに存在し、xがyのG共役である⟩

ここでvはGからP /[ P , P ]への転移準同型である（Isaacs 2008、定理5.21、p.165）。

歴史と一般化

この転移と融合の関係は、( Higman 1953 ) ^{[ 1 ]}によるものとされ、そこでは別の言葉で、焦点部分群定理が様々な一般化とともに証明された。G / Kがアーベルであるという要件は削除されたため、Higman はO ^p ( G ) と冪零残差γ _∞ ( G ) を、いわゆる超焦点部分群として研究した。Higman はまた、単一の素数pに制限せず、素数πの集合に対してπ群を許可し、フィリップ・ホールのホール部分群の定理を使用して、ホールπ部分群への転移について同様の結果を証明した。π = { p } とすると、ホールπ部分群はシローp部分群であり、Higman の結果は上記のとおりである。

超焦点部分群への関心は、（Puig 2000）による、ある種の行儀のよいブロックのモジュラー表現論の理解に関する研究によって再び高まった。GにおけるPの超焦点部分群は、 P ∩γ _∞ ( G )、すなわちGのべき零残余のSylow p -部分群として定義できる。Pが有限群GのSylow p -部分群である場合、標準的な焦点部分群定理が成立する。

P ∩γ _∞ ( G ) = P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y : Pのx、y、 Gの g が pと互いに素であるときy = x ^g ⟩

そして、地域的な特徴づけ：

P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y : x、y はQ ≤ Pであり、y = x ^gはN _G ( Q ) に存在し、 gはpと互いに素である⟩ である。

これを焦点サブグループのローカルな特徴と比較すると次のようになります。

P ∩ A ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y : x、y （ Q ≤ P ）かつ y = x g （^N G ₍ Q ) ）⟩のいずれか。

プイグは、この状況を融合系へと一般化することに興味を持っている。融合系とは、有限群に関するシローp部分群の融合パターンの圏論的モデルであり、モジュラー表現論におけるpブロックの欠陥群の融合パターンもモデル化する。実際、融合系は、同変ホモトピー理論として知られる代数位相幾何学の分野において、多くの驚くべき応用とインスピレーションを見出してきた。この分野の主要な代数定理の中には、現時点では位相的な証明しか存在しないものもある。

その他の特徴

様々な数学者が、より小さな群から焦点部分群を計算する方法を提示してきました。例えば、影響力のある研究（Alperin 1967）は、融合の局所制御という考え方を発展させ、その応用例として以下を示しています

P ∩ A ^p ( G ) は交換子部分群 [ Q , N _G ( Q )] によって生成される。ただしQ はPの部分群の族Cにわたって変化する。

族Cの選択はさまざまな方法で行うことができます ( Cは ( Alperin 1967 )で「弱共役族」と呼ばれているものです)。いくつかの例が示されています。 CをPのすべての非単位部分群とすることも、より小さな方法として、N _P ( Q ) と N _P g ( Q ) が両方とも N _G ( _^Q )のシローp部分群であるような、Gのgに対する交差 Q = P ∩ P ^gのみを選択することもできます。後者の選択は ( Gorenstein 1980 、定理 7.4.1、p. 251 )で行われています。 ( Grün 1936 )の研究は転移と融合の側面も研究し、その結果、Grün の最初の定理が生まれました。

P ∩ A ^p ( G ) はP ∩ [ N , N ] とP ∩ [ Q , Q ] によって生成されます。ここでN = N _G ( P ) であり、Q はGのSylow p部分群の集合Q = P ^gにわたっています( Gorenstein 1980、定理 7.4.2、p. 252)。

応用

( Rose 1978 , pp. 254–264)、( Isaacs 2008 , Chapter 5)、( Hall 1959 , Chapter 14)、( Suzuki 1986 , §5.2, pp. 138–165) の教科書の解説には、融合、転移、そしてp-冪零性と呼ばれるある種の分裂に関連する焦点部分群定理のさまざまな応用が含まれています

アルペリン・ブラウアー・ゴレンシュタインの定理に従って、準二面体シロー 2 部分群を持つ有限単純群を分類する過程で、準二面体シロー 2 部分群を持つ 4 種類の群を区別することが必要になります。2 冪零群、焦点部分群が指数 2 の一般四元数群であるQ型群、焦点部分群が指数 2 の二面体群であるD型群、および焦点部分群が準二面体群全体であるQD型群です。融合の点では、2 冪零群には反転のクラスが 2 つと、位数 4 の巡回部分群が 2 つあります。Q型には反転のクラスが 2 つと、位数 4 の巡回部分群が 1 つあります。 QD型は、位数4の反転と巡回部分群のそれぞれ1つのクラスを持つ。言い換えれば、擬二面体シロー2-部分群を持つ有限群は、その焦点部分群、あるいはそれと同値な融合パターンに従って分類することができる。各融合パターンを持つ群の明示的なリストは、( Alperin, Brauer & Gorenstein 1970 )に記載されている。

注記

^ 焦点部分群定理および/または焦点部分群は、( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996、p. 90)、( Rose 1978、p. 255)、( Suzuki 1986 、p. 141)によれば、( Higman 1953 )によるものである。しかし、そこで述べられている焦点部分群定理はかなり古く、( Hall 1959、p. 215)に教科書的な形で既に登場している。そこでと( Puig 2000 )のアイデアは( Grün 1936 )によるものとされている。p-正規群の特殊なケースにおける( Grün 1936、Satz 5)や、ある意味で焦点部分群定理の改良であるSatz 9の一般的な結果と比較されたい。

参考文献

Alperin, JL (1967)、「Sylow 交差と融合」、Journal of Algebra、6 (2): 222– 241、doi : 10.1016/0021-8693(67)90005-1、ISSN 0021-8693、MR 0215913
Alperin, JL ; Brauer, R. ; Gorenstein, D. (1970) 「準二面体および輪状シロー2部分群を持つ有限群」アメリカ数学会誌、151 (1)、アメリカ数学会: 1– 261、doi : 10.2307/1995627、ISSN 0002-9947、JSTOR 1995627、MR 0284499
ゴレンスタイン、D.（1980）、有限群、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-0301-6、MR 0569209
ゴレンスタイン、D .、ライオンズ、リチャード、ソロモン、ロナルド (1996)、「有限単純群の分類」第2号、第1部、第G章、数学概説およびモノグラフ、第40巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0390-5、MR 1358135
グリュン、オットー (1936)、「グループ理論に関する論文。I.」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik（ドイツ語）、174 : 1– 14、doi : 10.1515/crll.1936.174.1、ISSN 0075-4102、Zbl 0012.34102
ホール、マーシャル・ジュニア（1959）『群論』ニューヨーク：マクミラン、MR 0103215
ヒグマン、ドナルド G. (1953)、「有限群の焦点級数」、カナダ数学ジャーナル、5 : 477–497、doi : 10.4153/cjm-1953-055-5、ISSN 0008-414X、MR 0058597
アイザックス、I.マーティン（2008）、有限群論、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4344-4
Puig, Lluis (2000)、「ブロックの超焦点部分代数」、Inventiones Mathematicae、141 (2): 365– 397、Bibcode : 2000InMat.141..365P、doi : 10.1007/s002220000072、ISSN 0020-9910、MR 1775217、S2CID 122330778
ローズ、ジョン・S.（1978）、群論講座、ニューヨーク：ドーバー出版（1994年出版）、ISBN 978-0-486-68194-8、MR 0498810
鈴木道雄(1986)、『群論 II数学科学の基礎原理』第248巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-10916-9、MR 0815926

抽象代数学において、焦点部分群定理は有限群のシロー部分群における元の融合を記述する。焦点部分群定理は(Higman 1953)で導入され、(Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, p. 90)によれば「転移の最初の主要な応用」である。焦点部分群定理は、 (Grün 1936)でOtto Grünが述べた転移と融合の考え方を関連付ける。これらの考え方の様々な応用には、 p-冪零性の局所的基準や、有限群が指数pの正規部分群を持つことを示すことに重点を置いた様々な非単純性基準などがある。

背景

焦点部分群定理は、有限群論におけるいくつかの研究分野、すなわち指数pのべき乗の正規部分群、転移準同型、および元の融合に関連しています

部分群

次の3つの指数pのべき乗の正規部分群は自然に定義され、商が（ある種の）p群となるような最小の正規部分群として生じます。正式には、これらはp群の鏡映部分圏への鏡映の核（それぞれ、基本アーベルp群、アーベルp群）です

E ^p ( G ) はすべての指数p の正規部分群の共通部分です。G / E ^p ( G ) は基本アーベル群であり、G が射影する最大の基本アーベルp群です。
A ^p ( G ) ((Isaacs 2008, 5D、p. 164) からの表記) は、G / Kがアーベルp群 (つまり、Kが導出群を含むインデックス正規部分群)となるようなすべての正規部分群Kの共通部分です。G / A ^p ( G ) は、 Gが射影する最大のアーベルp群 (必ずしも基本群とは限らない)です。 $p^{k}$ $[G,G]$
O ^p ( G ) は、G / K が（非可換な場合もある）p群（つまり、K が指数正規部分群である）であるような、G のすべての正規部分群 K の共通部分である。G / O p ( G )は、Gが射影する最大のp群（^必ずしも可換で^はない）である。O p ( G )は、 $p^{k}$ p残差サブグループ。

まず、これらはグループKのより弱い条件であるため、包含関係が得られます。これらはさらに次のように関連しています。 $\mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).$

A ^p ( G ) = O ^p ( G )[ G , G ]。

O ^p ( G ) には、 q ≠ pであるGのすべての Sylow q部分群によって生成される部分群が、 pとは異なるGの位数の素因数全体にわたる範囲であるという次の代替的な特徴付けがあります。

O ^p ( G ) は下側のp系列を定義するために使用される。Gの、p コアで説明した上部のpシリーズと同様です。

転移準同型

転移準同型とは、任意の群 Gから、有限指数の部分群H ≤ G（すなわち [ G : H ] < ∞）によって定義されるアーベル群H /[ H , H ] へ定義される準同型である。有限群Gからそのシローp部分群への転移写像は、簡単に記述できる核を持つ。

有限群GからそのSylow p部分群Pへの転移準同型の核はA ^p ( G )を核として持ちます（Isaacs 2008、定理5.20、p.165）。

言い換えれば、アーベルp群への「明白な」準同型は、実際にはそのような準同型の中で最も一般的なものなのです。

融合

Gにおける部分群Hの融合パターンとは、Hの元に関する同値関係であり、 Hの2つの元h、kがG共役である場合、つまり、Gにh = k ^gとなるgが存在する場合に、これらの元が融合される。Gの通常構造は、その Sylow p部分群の融合パターンに影響を与え、逆に、その Sylow p部分群の融合パターンはGの通常構造に影響を与える(Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, p. 89)。

焦点部分群

(Isaacs 2008, p. 165) にあるように、HのGに関する焦点部分群は次のように定義できます

Foc _G ( H ) = ⟨ x ⁻¹ y | x、yはHに含まれ、 xはyのG共役⟩である。

この焦点部分群は、 Hの元がGにおいてどの程度融合するかを測定するものである。一方、以前の定義では、群Gの特定のアーベルp群準同型像を測定していた。焦点部分群定理の内容は、これら2つの焦点部分群の定義が両立するというものである。

(Gorenstein 1980, p. 246) は、有限群 G のシロー p 部分群 P と G の導来部分群[ G , G ]との積P ∩ [ G , G ] であることを示しています。この焦点部分群は、導来部分群のシローp部分群であるため重要です。また、次の結果も得られます。

Gの正規部分群Kが存在し、 G / KはP / P ∩[ G , G ]と同型なアーベルp群である（ここでKはA ^p ( G )を表す）、そして

KがGの正規部分群でG / K がアーベル p 群である場合、 P ∩[ G , G ] ≤ Kであり、G / KはP / P ∩[ G , G ]の準同型像である(Gorenstein 1980、定理 7.3.1、p. 90)。

定理の記述

シローp部分群Pを持つ有限群Gの焦点部分群は次のように与えられる。

P ∩[ G , G ] = P ∩ A ^p ( G ) = P ∩ ker( v ) = Foc _G ( P ) = ⟨ x ⁻¹ y | x , yがPに存在し、xがyのG共役である⟩

ここでvはGからP /[ P , P ]への転移準同型である（Isaacs 2008、定理5.21、p.165）。

歴史と一般化

転移と融合のこの関連は、(Higman 1953) ^[1]によるものとされています。そこでは、異なる言葉で、焦点部分群定理が様々な一般化とともに証明されました。G / K がアーベルであるという要件は削除されたため、Higman はO ^p ( G ) と冪零残差γ _∞ ( G ) を、いわゆる超焦点部分群として研究しました。Higman はまた、単一の素数pに限定せず、素数πの集合に対してπ群を許容し、フィリップ・ホールのホール部分群の定理を用いて、ホールπ部分群への転移に関する同様の結果を証明しました。π = { p }とすると、ホールπ部分群はシローp部分群であり、Higman の結果は上記のとおりです

超焦点部分群への関心は、特定の行儀の良いブロックのモジュラー表現論を理解するための (Puig 2000 )の研究によって再燃した。GにおけるPの超焦点部分群は、 P ∩ γ _∞ ( G ) 、すなわちGのべき零残余のSylow p -部分群として定義できる。Pが有限群GのSylow p -部分群である場合、標準的な焦点部分群定理が成立する。

P ∩γ _∞ ( G ) = P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y : Pのx、y、 Gの g が pと互いに素であるときy = x ^g ⟩

そして、地域的な特徴づけ：

P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y : x、y はQ ≤ Pであり、y = x ^gはN _G ( Q ) に存在し、 gはpと互いに素である⟩ である。

これを焦点サブグループのローカルな特徴と比較すると次のようになります。

P ∩ A ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y : x、y （ Q ≤ P ）かつ y = x g （^N G ₍ Q ) ）⟩のいずれか。

プイグは、この状況を融合系へと一般化することに興味を持っている。融合系とは、有限群に関するシローp部分群の融合パターンの圏論的モデルであり、モジュラー表現論におけるpブロックの欠陥群の融合パターンもモデル化する。実際、融合系は、同変ホモトピー理論として知られる代数位相幾何学の分野において、多くの驚くべき応用とインスピレーションを見出してきた。この分野の主要な代数定理の中には、現時点では位相的な証明しか存在しないものもある。

その他の特徴

様々な数学者が、より小さな群から焦点部分群を計算する方法を提示してきました。例えば、影響力のある研究（Alperin 1967）は、融合の局所制御という概念を発展させ、その応用例として以下を示しています。

P ∩ A ^p ( G ) は交換子部分群 [ Q , N _G ( Q )] によって生成される。ただしQ はPの部分群の族Cにわたって変化する。

族Cの選択は多くの方法で行うことができ（Cは (Alperin 1967) で「弱共役族」と呼ばれるものである）、いくつかの例が示されている：C をPのすべての非恒等部分群とするか、またはN _P ( Q ) と N P g ( _Q ) が両方とも N G ( _^Q )のシローp部分群であるような、Gのgに対する交差Q = P ∩ P ^{gのみというより小さな選択である。後者の選択は (}_Gorenstein 1980、定理 7.4.1、p. 251) で行われている。 (Grün 1936) の研究では転移と融合の側面も研究され、その結果Grün の最初の定理が得られた。

P∩Ap ( G ) は P∩ [ N , N ]とP∩ [ Q , Q ]によって生成されます。ここでN = _NG ( P )であり、^QはGのSylowp部分群Q = Pg^の集合にわたります(Gorenstein 1980、定理7.4.2、p.252)。

応用

(Rose 1978, pp. 254–264)、(Isaacs 2008, Chapter 5)、(Hall 1959, Chapter 14)、(Suzuki 1986, §5.2, pp. 138–165) の教科書の解説には、融合、転移、そしてp-冪零性と呼ばれるある種の分裂に関連する焦点部分群定理のさまざまな応用が含まれています

アルペリン・ブラウアー・ゴレンシュタインの定理に従って、準二面体シロー 2 部分群を持つ有限単純群を分類する過程で、準二面体シロー 2 部分群を持つ 4 種類の群を区別することが必要になります。2 冪零群、焦点部分群が指数 2 の一般四元数群であるQ型群、焦点部分群が指数 2 の二面体群であるD型群、および焦点部分群が準二面体群全体であるQD型群です。融合の点では、2 冪零群には反転のクラスが 2 つと、位数 4 の巡回部分群が 2 つあります。Q型には反転のクラスが 2 つと、位数 4 の巡回部分群が 1 つあります。 QD型は、反転と位数4の巡回部分群のそれぞれ1つのクラスを持つ。言い換えれば、擬二面体シロー2-部分群を持つ有限群は、その焦点部分群、あるいはそれと同値な融合パターンに従って分類することができる。各融合パターンを持つ群の明示的なリストは、(Alperin, Brauer & Gorenstein 1970) に含まれている。

注記

^ 焦点部分群定理および／または焦点部分群は、(Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, p. 90)、(Rose 1978, p. 255)、(Suzuki 1986, p. 141)によれば、(Higman 1953)によるものです。しかし、そこで述べられている焦点部分群定理はかなり古く、(Hall 1959, p. 215)に教科書的な形ですでに登場しています。そこでと(Puig 2000)のアイデアは(Grün 1936)によるものです。p正規群の特殊な場合における(Grün 1936, Satz 5)、およびある意味で焦点部分群定理の改良であるSatz 9の一般的な結果と比較してください

参考文献

Alperin, JL (1967)、「Sylow 交差と融合」、Journal of Algebra、6 (2): 222– 241、doi : 10.1016/0021-8693(67)90005-1、ISSN 0021-8693、MR 0215913
Alperin, JL ; Brauer, R. ; Gorenstein, D. (1970)、「準二面体および輪状シロー2-部分群を持つ有限群」、アメリカ数学会誌、151 (1)、アメリカ数学会: 1– 261、doi :10.2307/1995627、ISSN 0002-9947、JSTOR 1995627、MR 0284499
ゴレンスタイン、D.（1980）、有限群、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-0301-6、MR 0569209
ゴレンスタイン, D. ; リチャード・ライオンズ; ロナルド・ソロモン (1996)「有限単純群の分類」第2号、第1部、第G章、数学概説と研究論文集、第40巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0390-5、MR 1358135
グリュン、オットー (1936)、「グループ理論に関する論文。I.」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik（ドイツ語）、174 : 1– 14、doi :10.1515/crll.1936.174.1、ISSN 0075-4102、Zbl 0012.34102
ホール、マーシャル・ジュニア（1959）『群論』ニューヨーク：マクミラン、MR 0103215
ヒグマン、ドナルド・G. (1953)、「有限群の焦点級数」、カナダ数学ジャーナル、5 : 477–497、doi : 10.4153/cjm-1953-055-5、ISSN 0008-414X、MR 0058597
アイザックス、I.マーティン（2008）、有限群論、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4344-4
Puig, Lluis (2000)、「ブロックの超焦点部分代数」、Inventiones Mathematicae、141 (2): 365– 397、Bibcode :2000InMat.141..365P、doi :10.1007/s002220000072、ISSN 0020-9910、MR 1775217、S2CID 122330778
ローズ、ジョン・S.（1978）、群論講座、ニューヨーク：ドーバー出版（1994年出版）、ISBN 978-0-486-68194-8、MR 0498810
鈴木道雄(1986)、『群論 II数学科学の基礎原理』第248巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-10916-9、MR 0815926

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[1] 焦点部分群定理および/または焦点部分群は、( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996、p. 90)、( Rose 1978、p. 255)、( Suzuki 1986 、p. 141)によれば、( Higman 1953 )によるものである。しかし、そこで述べられている焦点部分群定理はかなり古く、( Hall 1959、p. 215)に教科書的な形で既に登場している。そこでと( Puig 2000 )のアイデアは( Grün 1936 )によるものとされている。p-正規群の特殊なケースにおける( Grün 1936、Satz 5)や、ある意味で焦点部分群定理の改良であるSatz 9の一般的な結果と比較されたい。

[1] 焦点部分群定理および／または焦点部分群は、(Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, p. 90)、(Rose 1978, p. 255)、(Suzuki 1986, p. 141)によれば、(Higman 1953)によるものです。しかし、そこで述べられている焦点部分群定理はかなり古く、(Hall 1959, p. 215)に教科書的な形ですでに登場しています。そこでと(Puig 2000)のアイデアは(Grün 1936)によるものです。p正規群の特殊な場合における(Grün 1936, Satz 5)、およびある意味で焦点部分群定理の改良であるSatz 9の一般的な結果と比較してください

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